数学期望与方差分析蒙题策略

数学期望与方差分析蒙题策略

2025/05/30·StepFun can make mistakes, check important info.

利用数学期望和方差分析数学蒙题现象

Reason

思考过程

我们首先需要明确问题：分析数学考试中的“蒙题”现象，即考生在不会的情况下随机选择答案。我们将利用数学期望和方差来量化这种随机选择答案的收益和风险。

假设一个数学考试的选择题有4个选项，其中只有1个正确选项。如果答对，得5分；答错，得0分。那么，对于一道题，考生如果随机选择，那么：

答对的概率为 p = 1/4
答错的概率为 1-p = 3/4

定义随机变量X为一道题通过蒙题得到的分数。则X的分布为：
X = 5, 概率为1/4
X = 0, 概率为3/4

计算数学期望E(X):
E(X) = 5 * (1/4) + 0 * (3/4) = 5/4 = 1.25 (分)
计算方差Var(X):
首先计算E(X^2) = 5^2 * (1/4) + 0^2 * (3/4) = 25/4 = 6.25
方差Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6.25 - (1.25)^2 = 6.25 - 1.5625 = 4.6875

因此，对于一道题，蒙题的期望得分是1.25分，方差为4.6875。

现在，考虑多道题的情况。假设有n道独立的选择题，每道题都是同样的设置（4选1，答对5分，答错0分），并且考生对每道题都独立地随机选择答案。令总分为S = X1 + X2 + ... + Xn，其中Xi是第i道题的得分。

由期望和方差的性质：
E(S) = n * E(X) = n * 1.25
Var(S) = n * Var(X) = n * 4.6875

假设n=10（即10道题），则：
E(S) = 10 * 1.25 = 12.5 (分)
Var(S) = 10 * 4.6875 = 46.875

标准差为 sqrt(Var(S)) ≈ sqrt(46.875) ≈ 6.846分。

根据中心极限定理，当n较大时，S近似服从正态分布。这里n=10虽然不算很大，但我们仍可近似使用正态分布来估计。那么，总分S的分布大致是均值为12.5，标准差为6.846的正态分布。

我们可以利用这个分布来估计蒙题得分的范围。例如：
大约68%的考生蒙题总分会在 [12.5-6.846, 12.5+6.846] ≈ [5.654, 19.346] 分之间。
大约95%的考生蒙题总分会在 [12.5-26.846, 12.5+26.846] ≈ [-1.192, 26.192] 分之间（注意分数不可能为负，所以实际下限为0）。

这个分析告诉我们，即使完全随机选择，平均也能得到12.5分（在10道题的情况下）。但是，由于方差较大，得分波动性也大。有些人可能运气好得到较高的分数（比如接近20分甚至更高），而有些人可能运气很差得到很低的分数（比如低于5分）。

然而，在实际考试中，考生可能不会完全随机选择。他们可能会排除一些明显错误的选项，从而增加答对的概率。假设排除一个错误选项后，变成3选1，那么答对的概率p=1/3。此时：
E(X) = 5 * (1/3) + 0 * (2/3) ≈ 1.667分
E(X^2) = 25 * (1/3) = 25/3 ≈ 8.333
Var(X) = 8.333 - (1.667)^2 ≈ 8.333 - 2.778 ≈ 5.555

对于10道题：
E(S) = 10 * 1.667 ≈ 16.67分
Var(S) = 10 * 5.555 ≈ 55.55
标准差 ≈ √55.55 ≈ 7.453分

此时，期望得分提高了，但方差也增大了。也就是说，通过部分排除，期望得分更高，但波动性也更大。

结论：

蒙题并不是完全没有收益的，期望得分大于0。在4选1的情况下，每道题期望得1.25分；在3选1的情况下，每道题期望得1.667分。
由于方差较大，蒙题得分的不确定性很高。这意味着蒙题策略的风险较高：可能比期望得分高，也可能低。
在考试中，如果能够排除部分选项，那么蒙题的期望得分会提高，但同时也伴随着更高的波动性。

因此，对于考生而言，如果必须蒙题，应该尽量利用已知信息排除错误选项，以提高蒙题的期望得分。但同时也要注意，由于方差较大，蒙题的结果具有很大的偶然性。

利用数学期望和方差分析“数学蒙题”现象

在考试中，“蒙题”指考生对题目毫无把握时随机选择答案的行为。本文以数学选择题为例，分析蒙题的期望得分和波动性（方差），并探讨策略优化。

基础模型设定

假设一道选择题有 $n$ 个选项（通常 $n = 4$ ），其中 仅有一个正确答案。规则如下：

答对得 $a$ 分（例如 $a = 5$ 分）；
答错得 $0$ 分；
蒙题时，每个选项被选中的概率均等（即 $\frac{1}{n}$ ）。

定义随机变量 $X$ 为单题得分：

$X = {a 0 （概率 p = \frac{1}{n} ）（概率 1 - p ）$

1. 单题期望与方差

期望（平均得分）：

$E (X) = a \cdot \frac{1}{n} + 0 \cdot (1 - \frac{1}{n}) = \frac{a}{n}$

例如，当 $a = 5$ 、 $n = 4$ 时， $E (X) = \frac{5}{4} = 1.25$ 分。
结论：蒙一道题的平均得分是 $\frac{a}{n}$ ，大于零但远低于满分 $a$ 。

方差（得分波动性）：

$Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = (a^{2} \cdot \frac{1}{n} + 0^{2} \cdot (1 - \frac{1}{n})) - (\frac{a}{n})^{2} = \frac{a ^{2}}{n} - \frac{a ^{2}}{n ^{2}} = a^{2} \cdot \frac{n - 1}{n ^{2}}$

例如， $a = 5, n = 4$ 时， $Var (X) = 25 \cdot \frac{3}{16} = 4.6875$ 。
结论：方差较大，说明蒙题得分不稳定，可能得高分（如 $5$ 分）或零分。

2. 多题蒙题的全局分析

假设共有 $k$ 道独立选择题，总分为 $S = \sum_{i = 1}^{k} X_{i}$ ：

期望： $E (S) = k \cdot \frac{a}{n}$
例如， $k = 10$ 题时， $E (S) = 10 \times 1.25 = 12.5$ 分。
方差： $Var (S) = k \cdot a^{2} \cdot \frac{n - 1}{n ^{2}}$
例如， $Var (S) = 10 \times 4.6875 = 46.875$ ，标准差 $σ_{S} \approx 6.85$ 分。

分布特性（中心极限定理）：

总分 $S$ 近似服从正态分布 $N (12.5, 6.8 5^{2})$ 。
得分区间估计：
- 68% 考生得分在 $[12.5 - 6.85, 12.5 + 6.85] \approx [5.65, 19.35]$ 分；
- 95% 考生得分在 $[12.5 - 13.7, 12.5 + 13.7] \approx [0, 26.2]$ 分（负分截断为 $0$ ）。

结论：

蒙题期望得分随题量 $k$ 线性增长，但波动性（标准差）仅以 $k$ 速度增长。
蒙题可能得高分（如 $26$ 分），也可能得低分（接近 $0$ 分），但平均在 $12.5$ 分左右。

3. 策略优化：排除法的作用

若考生能排除 $1$ 个错误选项（剩余 $m = n - 1$ 个选项），则正确概率升至 $\frac{1}{m}$ ：

单题期望： $E (X) = \frac{a}{m}$ （例如 $m = 3$ 时， $E (X) \approx 1.67$ 分，比 $1.25$ 分高）。
单题方差： $Var (X) = a^{2} \cdot \frac{m - 1}{m ^{2}}$ （例如 $a = 5, m = 3$ 时， $Var (X) \approx 5.555$ ）。

对比：

排除法提升期望得分（+33%），但方差增大（从 $4.6875$ 到 $5.555$ ），说明得分波动性增加。
实际建议：优先排除明显错误选项，即使不确定正确答案，也能显著提高期望得分。

4. 对考试设计的启示

选项数量 $n$ 的影响：
- 增加 $n$ （如 $n = 5$ ）会降低蒙题期望（ $E (S)$ 减小），但方差也略降（ $Var (S)$ 减小）。
- 例如 $n = 5$ 时， $E (X) = 1$ 分， $Var (X) = 4$ ，期望和波动性均低于 $n = 4$ 。
题目依赖性：
- 若选项间存在逻辑关联（如数学多选题），独立性假设不成立，需调整模型。
惩罚机制：
- 若答错扣分（如 $- b$ 分），则期望变为 $E (X) = \frac{a - b ( n - 1 )}{n}$ 。
  当 $b > \frac{a}{n - 1}$ 时， $E (X) < 0$ ，此时蒙题有害（例如 $b = 1.25$ 时， $n = 4$ 的 $E (X) = 0$ ）。

结论

蒙题期望：在标准设置下为正，但远低于掌握知识后的得分。
蒙题风险：方差较大，结果高度随机，可能侥幸得高分，也可能损失惨重。
最优策略：结合部分知识（如排除法）可提升期望；若无任何线索，蒙题是次优选择。
考试设计：增加选项数或引入扣分机制可降低蒙题收益。

通过数学期望与方差，蒙题行为从“纯运气”被量化为可计算的策略，为考生和命题者提供科学依据。