在数学中，奇异值（Singular Value）通常指的是奇异矩阵（Singular Matrix）的特征值。奇异矩阵是指那些行列式为零的矩阵。对于一个方阵 $A$，如果它的行列式 $\det (A)=0$，那么 $A$ 就是奇异矩阵。

奇异矩阵的特征值中，会有至少一个特征值为零，这些为零的特征值就被称为奇异值。

在线性代数和数值分析中，奇异值的概念非常重要，特别是在处理矩阵的分解和求解线性方程组时。

相关概念

• 特征值（Eigenvalue）：对于一个方阵 $A$，如果存在一个标量 $\lambda$ 和一个非零向量 $\mathbf{v}$，使得 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$，那么 $\lambda$ 就是矩阵 $A$ 的一个特征值，而 $\mathbf{v}$ 则是对应的特征向量。

• 行列式（Determinant）：对于一个方阵 $A$，行列式是其所有特征值的乘积，即 $\det (A)={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$，其中 ${\lambda }_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值。

• 奇异矩阵分解（Singular Value Decomposition, SVD）：对于一个任意形状的矩阵 $A$，可以将其分解为 $A=U\Sigma V^{\ast }$，其中 $U$ 和 $V^{\ast }$ 是酉矩阵（Unitary Matrix），而 $\Sigma$ 是对角线上有奇异值的对角矩阵。这种分解方式在信号处理、数据降维等领域有广泛应用。

举例说明

考虑一个 $2\text{timess}2$ 的矩阵：

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

计算其行列式：

$\det (A)=(2\text{timess}2-1\text{timess}1)-(1\text{timess}1-2\text{timess}2)=3-(-3)=0$

所以矩阵 $A$ 是奇异矩阵。求解其特征值：

$\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right]\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

得到特征方程：

$(2-\lambda {)}^2-1^2=0\Rightarrow (\lambda -3)(\lambda -1)=0$

所以特征值为 ${\lambda }_1=3$ 和 ${\lambda }_2=1$。由于行列式为零，矩阵是奇异矩阵，但在这个例子中，特征值都不为零，说明这个矩阵虽然奇异，但没有奇异值。这可能是因为行列式为零是由特征值的相对符号所致，而不是因为有零特征值。

总结

奇异值是指奇异矩阵中为零的特征值。理解这一概念有助于深入掌握矩阵的性质及其在实际应用中的意义。