我们来逐步分析这道题目：

给定条件：

• 函数 $f(u,v)$ 满足 $f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$

我们需要求出当 $u=1$，$v=1$ 时，$\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 的值。

步骤：

1. 首先，我们需要将 $f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$ 中的 $x$ 和 $y$ 用 $u$ 和 $v$ 表示。注意到 $u=x+y$ 且 $v=\frac{y}{x}$，我们可以解出 $x=\frac{u}{1+v}$ 和 $y=\frac{uv}{1+v}$。

2. 将 $x$ 和 $y$ 的表达式代入原函数，得到 $f(u,v)={\left(\frac{u}{1+v}\right)}^2-{\left(\frac{uv}{1+v}\right)}^2$。

3. 现在，我们需要计算 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$。

   • 对于 $\frac{\partial f}{\partial u}$，我们有：
     $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{2u}{(1+v{)}^2}-\frac{2u{v}^2}{(1+v{)}^3}$

   • 对于 $\frac{\partial f}{\partial v}$，我们有：
     $\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{2u^2}{(1+v{)}^3}+\frac{6u^2{v}^2}{(1+v{)}^5}$

4. 将 $u=1$ 和 $v=1$ 代入上述偏导数表达式：

   • $\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{u=1,v=1}=\frac{2}{4}-\frac{2}{8}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

   • $\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{u=1,v=1}=-\frac{2}{8}+\frac{6}{32}=-\frac{1}{4}+\frac{3}{16}=-\frac{4}{16}+\frac{3}{16}=-\frac{1}{16}$

因此，当 $u=1$，$v=1$ 时，$\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{1}{4}$，$\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{1}{16}$。所以，正确答案是 D。