三线圈无线电能传输理论推导

三线圈无线电能传输理论推导

2025/06/16·StepFun can make mistakes, check important info.

学习上一个回答中的推导，帮我推导出三线圈结构的理论过程

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三线圈无线电能传输系统耦合机理研究

摘要：针对三线圈无线电能传输系统中继线圈位置变化会改变系统传输性能的实际问题，研究了三线圈无线电能传输系统耦合机理；通过建立三线圈无线电能传输系统等效电路模型，推导出系统输出功率增益和传输效率基本特性公式，分析了系统输出 ...

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思考过程

我们讨论的是三线圈无线电能传输系统。系统包括发射线圈、中继线圈（或称中继器）和接收线圈。目标是推导系统的输出功率增益和传输效率表达式。

关键参数定义：

L1, L2, L3：三个线圈的自感
C1, C2, C3：补偿电容
R1, R2, R3：线圈的等效电阻
M12：发射线圈与中继线圈之间的互感
M23：中继线圈与接收线圈之间的互感
M13：发射线圈与接收线圈之间的互感（通常较小，但为了完整性考虑）
ω：工作角频率
VS：发射线圈的源电压
RL：负载电阻

假设：

系统工作于谐振状态，即各线圈的谐振频率相同：ω0 = 1/√(L1C1) = 1/√(L2C2) = 1/√(L3C3)
忽略交叉互感（如M13）的影响，即M13=0（实际中，如果中继线圈位于发射和接收之间，M13通常很小）。

我们建立等效电路模型，并基于基尔霍夫电压定律（KVL）列写方程：

对于发射线圈回路：
VS = I1 * (R1 + jωL1 + 1/(jωC1)) - jωM12 * I2 - jωM13 * I3
由于谐振，jωL1 + 1/(jωC1) = 0，所以：
VS = I1 * R1 - jωM12 * I2 - jωM13 * I3 ...(1)

对于中继线圈回路：
0 = -jωM12 * I1 + I2 * (R2 + jωL2 + 1/(jωC2)) - jωM23 * I3
同样，谐振时：
0 = -jωM12 * I1 + I2 * R2 - jωM23 * I3 ...(2)

对于接收线圈回路：
0 = -jωM13 * I1 - jωM23 * I2 + I3 * (R3 + RL + jωL3 + 1/(jωC3))
谐振时：
0 = -jωM13 * I1 - jωM23 * I2 + I3 * (R3 + RL) ...(3)

由于我们假设M13=0，则方程简化为：
(1) VS = I1 R1 - jωM12 I2 ...(1a)
(2) 0 = -jωM12 I1 + I2 R2 - jωM23 I3 ...(2a)
(3) 0 = -jωM23 I2 + I3 (R3+RL) ...(3a)

现在，我们可以从方程(3a)中求解I3：
I3 = (jωM23 I2) / (R3+RL) ...(4)

将方程(4)代入方程(2a)：
0 = -jωM12 I1 + I2 R2 - jωM23 * [ (jωM23 I2) / (R3+RL) ]
= -jωM12 I1 + I2 R2 + (ω^2 M23^2 I2) / (R3+RL)

整理得：
jωM12 I1 = I2 [ R2 + (ω^2 M23^2) / (R3+RL) ] ...(5)

令 Req2 = (ω^2 M23^2) / (R3+RL) （这是接收回路反射到中继回路的等效电阻）
则：
jωM12 I1 = I2 (R2 + Req2) ...(5a)

所以：
I2 = (jωM12 I1) / (R2 + Req2) ...(6)

将方程(6)代入方程(1a)：
VS = I1 R1 - jωM12 * [ (jωM12 I1) / (R2 + Req2) ]
= I1 R1 + (ω^2 M12^2 I1) / (R2 + Req2)

所以：
VS = I1 [ R1 + (ω^2 M12^2) / (R2 + Req2) ] ...(7)

令 Req1 = (ω^2 M12^2) / (R2 + Req2) （这是中继回路反射到发射回路的等效电阻）
则：
VS = I1 (R1 + Req1) ...(7a)

因此，输入功率为：
Pin = (1/2) * Re[VS * I1*] = (1/2) * |I1|^2 * (R1 + Req1) （这里假设VS和I1同相，因为谐振）

负载功率：
Pout = (1/2) * |I3|^2 * RL

由方程(4)和(6)：
I3 = (jωM23 I2) / (R3+RL) = (jωM23) / (R3+RL) * [ (jωM12 I1) / (R2 + Req2) ]
= - (ω^2 M12 M23 I1) / [ (R3+RL) (R2 + Req2) ]

因此 |I3| = (ω^2 M12 M23 |I1|) / [ (R3+RL) (R2 + Req2) ]

所以：
Pout = (1/2) * [ (ω^4 M12^2 M23^2 |I1|^2) / ( (R3+RL)^2 (R2 + Req2)^2 ) ] * RL

由方程(7a)有 |I1| = |VS| / |R1 + Req1|，但注意Req1是实数（因为Req2是实数），所以：
|I1|^2 = |VS|^2 / (R1 + Req1)^2

因此：
Pout = (1/2) * [ (ω^4 M12^2 M23^2 |VS|^2 RL) ] / [ (R1 + Req1)^2 (R3+RL)^2 (R2 + Req2)^2 ]

将Req1和Req2展开：
Req2 = (ω^2 M23^2) / (R3+RL)
Req1 = (ω^2 M12^2) / (R2 + Req2) = (ω^2 M12^2) / [ R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL) ]

所以，传输效率η定义为 Pout / Pin：

η = Pout / Pin = { (ω^4 M12^2 M23^2 |VS|^2 RL) / [ (R1 + Req1)^2 (R3+RL)^2 (R2 + Req2)^2 ] }
/ { (1/2) |VS|^2 * (R1 + Req1) / (R1 + Req1)^2 * 1/2 } （注意：Pin = (1/2) |I1|^2 (R1+Req1) = (1/2) |VS|^2 / (R1+Req1)）

Pin = (1/2) * |VS|^2 / (R1+Req1) （因为输入阻抗为R1+Req1，且VS为峰值，所以平均功率为 (1/2) * |VS|^2 / (R1+Req1)）

因此：
η = Pout / Pin = [ (ω^4 M12^2 M23^2 |VS|^2 RL) / ( (R1+Req1)^2 (R3+RL)^2 (R2+Req2)^2 ) ]
/ [ |VS|^2 / (2 (R1+Req1)) ]
= [ (ω^4 M12^2 M23^2 RL) / ( (R1+Req1) (R3+RL)^2 (R2+Req2)^2 ) ] * 2

将Req2代入：
η = [ 2 ω^4 M12^2 M23^2 RL ] / [ (R1+Req1) (R3+RL)^2 (R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL))^2 ]

再代入Req1：
Req1 = ω^2 M12^2 / [ R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL) ]
=> R1+Req1 = R1 + ω^2 M12^2 / [ R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL) ]

令 D = R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL)
则 R1+Req1 = R1 + ω^2 M12^2 / D

因此效率表达式为：
η = [ 2 ω^4 M12^2 M23^2 RL ] / [ (R1 + ω^2 M12^2 / D) * (R3+RL)^2 * D^2 ]
= [ 2 ω^4 M12^2 M23^2 RL ] / [ (R1 D + ω^2 M12^2) * (R3+RL)^2 D ]
= [ 2 ω^4 M12^2 M23^2 RL ] / [ (R1 D^2 + ω^2 M12^2 D) * (R3+RL)^2 ] （这里分母展开有误，重新整理）

重新整理：
分子：2 ω^4 M12^2 M23^2 RL
分母：(R1 + ω^2 M12^2 / D) * (R3+RL)^2 * D^2
= (R1 D + ω^2 M12^2) * D * (R3+RL)^2 （因为 (R1+Req1) = (R1 D + ω^2 M12^2)/D，然后乘以D^2得到分子为(R1 D + ω^2 M12^2)*D）

所以：
η = [ 2 ω^4 M12^2 M23^2 RL ] / [ (R1 D + ω^2 M12^2) D (R3+RL)^2 ]

将 D = R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL) 代入：
η = [ 2 ω^4 M12^2 M23^2 RL ] / [ (R1 [R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL)] + ω^2 M12^2) * [R2 + (ω^2 M23^2)/(R3+RL)] * (R3+RL)^2 ]

这个表达式非常复杂。在实际应用中，通常会做进一步简化，比如忽略线圈自身电阻（R1,R2,R3很小），或者假设中继线圈与接收线圈的耦合占主导等。

另一种常见的效率表达式推导是采用反射阻抗逐级计算：

接收回路反射到中继回路的阻抗：Zr2 = (ω^2 M23^2) / (R3+RL)
中继回路总阻抗（包括反射阻抗）：Z2 = R2 + jωL2 + 1/(jωC2) + Zr2，谐振时：Z2 = R2 + Zr2 （实数）
中继回路反射到发射回路的阻抗：Zr1 = (ω^2 M12^2) / Z2 = (ω^2 M12^2) / (R2+Zr2)
发射回路总阻抗：Z1 = R1 + jωL1 + 1/(jωC1) + Zr1，谐振时：Z1 = R1 + Zr1 （实数）

输入功率：Pin = (1/2) * |VS|^2 / Z1
中继回路的功率：P2 = (1/2) * |I2|^2 * (R2+Zr2) （注意：Zr2是反射阻抗，但实际消耗在Zr2上的功率是传递到接收回路的功率）
其中，I2 = jωM12 I1 / Z2，而I1 = VS / Z1
所以：|I2|^2 = (ω^2 M12^2 |I1|^2) / (Z2^2) = (ω^2 M12^2 |VS|^2) / (Z1^2 Z2^2)

因此，中继回路消耗在Zr2上的功率（即传递到接收回路的功率）为：
P_transfer = (1/2) * |I2|^2 * Zr2 = (1/2) * (ω^2 M12^2 |VS|^2) / (Z1^2 Z2^2) * Zr2

接收回路中，负载RL上的功率：
Pout = (1/2) * |I3|^2 * RL
I3 = jωM23 I2 / (R3+RL) （接收回路电流）
|I3|^2 = (ω^2 M23^2 |I2|^2) / (R3+RL)^2

而Zr2 = (ω^2 M23^2) / (R3+RL) => ω^2 M23^2 = Zr2 (R3+RL)

所以：
|I3|^2 = [ Zr2 (R3+RL) |I2|^2 ] / (R3+RL)^2 = (Zr2 |I2|^2) / (R3+RL)

因此：
Pout = (1/2) * (Zr2 |I2|^2) / (R3+RL) * RL
= (1/2) * |I2|^2 * [ Zr2 RL / (R3+RL) ]

注意：由Zr2的定义，Zr2 = (ω^2 M23^2) / (R3+RL)，所以传递到接收回路的功率（即中继回路中Zr2消耗的功率）为：
P_transfer = (1/2) * |I2|^2 * Zr2

而负载实际得到的功率为：
Pout = P_transfer * [ RL / (R3+RL) ] （因为接收回路中，R3和RL串联，所以负载分得的功率比例为 RL/(R3+RL)）

因此，效率也可以分两步计算：

发射回路到中继回路的效率：η1 = P_transfer / Pin
中继回路到接收回路的效率：η2 = Pout / P_transfer = RL / (R3+RL) （因为中继回路传递过来的功率全部消耗在接收回路的阻抗(R3+RL)上，而负载分得其中一部分）

所以总效率：η = η1 * η2

现在计算η1：
Pin = (1/2) * |I1|^2 * Z1 （因为Z1是实数）
P_transfer = (1/2) * |I2|^2 * Zr2
|I2| = (ω M12 |I1|) / Z2 （因为I2 = jωM12 I1 / Z2，且取模）
=> P_transfer = (1/2) * (ω^2 M12^2 |I1|^2) * Zr2 / Z2^2
=> η1 = [ (ω^2 M12^2) * Zr2 / Z2^2 ] / Z1
= (ω^2 M12^2 Zr2) / (Z1 Z2^2)

由于 Z2 = R2 + Zr2，且Z1 = R1 + Zr1 = R1 + (ω^2 M12^2)/Z2
所以：
η1 = (ω^2 M12^2 Zr2) / [ (R1 + (ω^2 M12^2)/Z2) * (R2+Zr2)^2 ]
= (ω^2 M12^2 Zr2) / [ (R1 (R2+Zr2) + ω^2 M12^2) * (R2+Zr2) ]
= (ω^2 M12^2 Zr2) / [ (R1 (R2+Zr2)^2 + ω^2 M12^2 (R2+Zr2)) ]

然后 η2 = RL / (R3+RL)

因此总效率：
η = η1 * η2 = [ (ω^2 M12^2 Zr2) / (R1 (R2+Zr2)^2 + ω^2 M12^2 (R2+Zr2)) ] * [ RL / (R3+RL) ]

再将 Zr2 = (ω^2 M23^2) / (R3+RL) 代入，得到：
η = [ (ω^2 M12^2 * (ω^2 M23^2) / (R3+RL) ) / (R1 (R2+ (ω^2 M23^2)/(R3+RL))^2 + ω^2 M12^2 (R2+ (ω^2 M23^2)/(R3+RL)) ) ] * [ RL / (R3+RL) ]
= [ (ω^4 M12^2 M23^2 RL) ] / [ (R3+RL) * (R1 (R2 (R3+RL) + ω^2 M23^2)^2 / (R3+RL)^2 + ω^2 M12^2 (R2 (R3+RL) + ω^2 M23^2) / (R3+RL) ) * (R3+RL) ) ]
（此式仍复杂，但可通过定义中间变量简化）

在工程应用中，通常假设线圈电阻很小（R1,R2,R3≈0），则效率可简化为：
η ≈ [ RL ] / [ RL + R3 ] * [ (ω^2 M23^2) / (ω^2 M23^2) ] （此时中继回路无损耗，但这样简化不合理）

更合理的简化：忽略发射线圈的电阻R1和中继线圈的电阻R2，只考虑接收线圈的电阻R3，则：
η1 = 1 （因为R1=0, R2=0，则发射功率全部传递到中继回路）
η2 = RL / (R3+RL)
η = η2 = RL/(R3+RL) （显然不合理，因为中继回路到接收回路有损耗，但发射回路到中继回路没有损耗，这不符合实际）

因此，必须考虑中继回路的损耗。一种常见的做法是假设三个线圈的电阻相同（R1=R2=R3=R），然后优化线圈参数。

由于三线圈系统的效率表达式非常复杂，实际中常采用数值计算或实验标定。

综上所述，三线圈结构的理论推导过程包括建立等效电路模型、列写KVL方程、求解电流关系、推导功率和效率表达式。但最终表达式较为复杂，需要根据具体参数计算。

以下是三线圈无线电能传输系统的理论推导过程，基于互感耦合理论和等效电路模型：

三线圈系统理论推导

1. 系统模型定义

三线圈系统包含：

发射线圈（L1）：连接电源，电阻R1，角频率ω
中继线圈（L2）：无源谐振器，电阻R2
接收线圈（L3）：连接负载RL，电阻R3
互感关系：
M₁₂：L1与L2间互感
M₂₃：L2与L3间互感
M₁₃≈0（远距离时可忽略）2

2. 等效电路方程

基尔霍夫电压定律（KVL）方程：

发射回路：
$V_{s} = I_{1} (R_{1} + jω L_{1} + \frac{1}{jω C _{1}}) - jω M_{12} I_{2} - jω M_{13} I_{3}$
谐振时（ $jω L_{i} + \frac{1}{jω C _{i}} = 0$ ）：
$V_{s} = I_{1} R_{1} - jω M_{12} I_{2} (忽略 M_{13}) [w e b] (/ y u e w e n - in d e x - re f ere n ce ? k ey = dd 5 e 5 c 81)$
中继回路：
$0 = - jω M_{12} I_{1} + I_{2} R_{2} - jω M_{23} I_{3}$
接收回路：
$0 = - jω M_{23} I_{2} + I_{3} (R_{3} + R_{L})$

3. 电流关系求解

从接收回路得：
$I_{3} = \frac{jω M _{23} I _{2}}{R _{3} + R _{L}} (1)$
代入中继回路：
$0 = - jω M_{12} I_{1} + I_{2} R_{2} + \frac{ω ^{2} M _{23}^{2} I _{2}}{R _{3} + R _{L}}$
整理得：
$I_{2} = \frac{jω M _{12} I _{1}}{R _{2} + \frac{ω ^{2} M _{23}^{2}}{R _{3} + R _{L}}} (2)$

4. 输入阻抗与功率

发射端输入阻抗：
$Z_{in} = R_{1} + \frac{ω ^{2} M _{12}^{2}}{R _{2} + \frac{ω ^{2} M _{23}^{2}}{R _{3} + R _{L}}} (3)$
输入功率：
$P_{in} = \frac{1}{2} ∣ I_{1} ∣^{2} Re (Z_{in})$

负载功率：
$P_{L} = \frac{1}{2} ∣ I_{3} ∣^{2} R_{L} = \frac{1}{2} \frac{ω ^{2} M _{12} M _{23} I _{1}}{( R _{3} + R _{L} ) ( R _{2} + \frac{ω ^{2} M _{23}^{2}}{R _{3} + R _{L}} )}^{2} R_{L}$

5. 传输效率公式

$η = \frac{P _{L}}{P _{in}} = \frac{ω ^{4} M _{12}^{2} M _{23}^{2} R _{L}}{( R _{2} + \frac{ω ^{2} M _{23}^{2}}{R _{3} + R _{L}} ) [ R _{1} ( R _{2} + \frac{ω ^{2} M _{23}^{2}}{R _{3} + R _{L}} ) + ω ^{2} M _{12}^{2} ] ( R _{3} + R _{L} ) ^{2}} [w e b] (/ y u e w e n - in d e x - re f ere n ce ? k ey = a d 2 a e 1 f 1)$

6. 临界耦合条件

系统达到最大效率时需满足临界耦合：
$\frac{ω ^{2} M _{12}^{2}}{R _{1} R _{2}} = 1, \frac{ω ^{2} M _{23}^{2}}{R _{2} R _{L}} = 1 [w e b] (/ y u e w e n - in d e x - re f ere n ce ? k ey = 8 a 9 e 704 b)$
此时效率峰值：
$η_{max} = \frac{k _{23}^{2} Q _{2} Q _{L}}{( 1 + 1 + k _{23}^{2} Q _{2} Q _{L} ) ^{2}}$
其中 $Q_{2} = \frac{ω L _{2}}{R _{2}}$ , $Q_{L} = \frac{ω L _{3}}{R _{L}}$ , $k_{23} = \frac{M _{23}}{L _{2} L _{3}}$

关键结论

中继线圈作用：
通过谐振增强磁场耦合，使远距离传输效率显著提升（实验显示18cm时效率达60.3%，为两线圈的1.9倍）3。
效率优化：
- 近距离：两线圈结构更优
- 中远距离：三线圈效率优势明显6
- 最优工作点需满足临界耦合条件。

此推导为三线圈系统设计提供了理论基础，实际应用中需通过调节互感（M₁₂, M₂₃）和负载匹配实现效率最大化。