我们来分析并解答这道题目。

题目分析

已知函数 $f(u,v)$ 满足：

$f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$

要求计算：

${\frac{\partial f}{\partial u}|}_{(1,1)}\text{和}{\frac{\partial f}{\partial v}|}_{(1,1)}$

---

步骤 1：引入变量替换

令：

$u=x+y,v=\frac{y}{x}$

则题目给出的条件可以写成：

$f(u,v)=x^2-y^2$

我们需要用 $u$ 和 $v$ 表示 $x$ 和 $y$，然后代入 $f(u,v)=x^2-y^2$ 进行计算。

---

步骤 2：解出 $x$ 和 $y$ 关于 $u$ 和 $v$ 的表达式

我们有两个方程：

1. $u=x+y$
2. $v=\frac{y}{x}$，即 $y=vx$

将 $y=vx$ 代入 $u=x+y$：

$u=x+vx=x(1+v)$

解出 $x$：

$x=\frac{u}{1+v}$

然后用 $y=vx$ 求 $y$：

$y=vx=v\cdot \frac{u}{1+v}=\frac{vu}{1+v}$

因此，我们得到：

$x=\frac{u}{1+v},y=\frac{vu}{1+v}$

---

步骤 3：将 $x$ 和 $y$ 代入 $f(u,v)=x^2-y^2$

计算 $x^2$ 和 $y^2$：

$x^2={\left(\frac{u}{1+v}\right)}^2=\frac{u^2}{(1+v{)}^2}$

$y^2={\left(\frac{vu}{1+v}\right)}^2=\frac{v^2{u}^2}{(1+v{)}^2}$

因此：

$x^2-y^2=\frac{u^2}{(1+v{)}^2}-\frac{v^2{u}^2}{(1+v{)}^2}$

$x^2-y^2=\frac{u^2-v^2{u}^2}{(1+v{)}^2}=\frac{u^2(1-v^2)}{(1+v{)}^2}$

所以：

$f(u,v)=\frac{u^2(1-v^2)}{(1+v{)}^2}$

---

步骤 4：计算偏导数

(1) 计算 $\frac{\partial f}{\partial u}$

$f(u,v)=\frac{u^2(1-v^2)}{(1+v{)}^2}$

这里 $(1-v^2)$ 和 $(1+v{)}^2$ 都与 $u$ 无关，可以看作常数。因此：

$f(u,v)=\frac{1-v^2}{(1+v{)}^2}\cdot u^2$

令：

$A(v)=\frac{1-v^2}{(1+v{)}^2}$

则：

$f(u,v)=A(v)\cdot u^2$

对 $u$ 求偏导：

$\frac{\partial f}{\partial u}=A(v)\cdot \frac{\partial (u^2)}{\partial u}=A(v)\cdot 2u$

即：

$\frac{\partial f}{\partial u}=2u\cdot \frac{1-v^2}{(1+v{)}^2}$

---

(2) 计算 $\frac{\partial f}{\partial v}$

$f(u,v)=\frac{u^2(1-v^2)}{(1+v{)}^2}$

使用商的导数公式：

$f(u,v)=\frac{N(v)}{D(v)},N(v)=u^2(1-v^2),D(v)=(1+v{)}^2$

则：

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{D(v)\cdot \frac{\partial N(v)}{\partial v}-N(v)\cdot \frac{\partial D(v)}{\partial v}}{[D(v){]}^2}$

先计算 $\frac{\partial N(v)}{\partial v}$：

$N(v)=u^2(1-v^2)$

$\frac{\partial N(v)}{\partial v}=u^2\cdot \frac{\partial (1-v^2)}{\partial v}=u^2(-2v)=-2u^{2}v$

再计算 $\frac{\partial D(v)}{\partial v}$：

$D(v)=(1+v{)}^2$

$\frac{\partial D(v)}{\partial v}=2(1+v)$

代入商的导数公式：

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{(1+v{)}^2\cdot (-2u^{2}v)-(u^2(1-v^2))\cdot 2(1+v)}{[(1+v{)}^2{]}^2}$

化简分子：

$(1+v{)}^2\cdot (-2u^{2}v)=-2u^{2}v(1+v{)}^2$

$(u^2(1-v^2))\cdot 2(1+v)=2u^2(1-v^2)(1+v)$

因此：

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-2u^{2}v(1+v{)}^2-2u^2(1-v^2)(1+v)}{(1+v{)}^4}$

提取公因式 $-2u^2(1+v)$：

$-2u^{2}v(1+v{)}^2=-2u^{2}v(1+v)(1+v)$

$-2u^2(1-v^2)(1+v)$

分子：

$-2u^2(1+v)\left[v(1+v)+(1-v^2)\right]$

化简括号内的内容：

$v(1+v)+(1-v^2)=v+v^2+1-v^2=v+1$

因此，分子变为：

$-2u^2(1+v)(v+1)=-2u^2(1+v{)}^2$

所以：

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-2u^2(1+v{)}^2}{(1+v{)}^4}=-2u^2\cdot \frac{1}{(1+v{)}^2}$

即：

$\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{2u^2}{(1+v{)}^2}$

---

步骤 5：计算在点 $(u,v)=(1,1)$ 处的偏导数值

(1) 计算 ${\frac{\partial f}{\partial u}|}_{(1,1)}$

$\frac{\partial f}{\partial u}=2u\cdot \frac{1-v^2}{(1+v{)}^2}$

当 $u=1,v=1$ 时：

$\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{(1,1)}=2(1)\cdot \frac{1-1^2}{(1+1{)}^2}=2\cdot \frac{1-1}{2^2}=2\cdot \frac{0}{4}=0$

(2) 计算 ${\frac{\partial f}{\partial v}|}_{(1,1)}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{2u^2}{(1+v{)}^2}$

当 $u=1,v=1$ 时：

$\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{(1,1)}=-\frac{2(1{)}^2}{(1+1{)}^2}=-\frac{2}{2^2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

---

最终结果

${\frac{\partial f}{\partial u}|}_{(1,1)}=0,{\frac{\partial f}{\partial v}|}_{(1,1)}=-\frac{1}{2}$

因此，答案是：

\(\boxed{C}\)