我们来分析并解答这道题目。

题目给出：

$f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$

我们需要求：

${\frac{\partial f}{\partial u}|}_{u=1,v=1}\text{和}{\frac{\partial f}{\partial v}|}_{u=1,v=1}$

步骤 1：引入变量替换

设：

$u=x+y$

$v=\frac{y}{x}$

则函数可以写成：

$f(u,v)=x^2-y^2$

我们需要用 $u$ 和 $v$ 表示 $x$ 和 $y$。

步骤 2：解出 $x$ 和 $y$

从 $v=\frac{y}{x}$，得到：

$y=vx$

将 $y=vx$ 代入 $u=x+y$：

$u=x+vx=x(1+v)$

$x=\frac{u}{1+v}$

然后，利用 $y=vx$：

$y=v\cdot x=v\cdot \frac{u}{1+v}=\frac{vu}{1+v}$

因此，我们得到：

$x=\frac{u}{1+v}$

$y=\frac{vu}{1+v}$

步骤 3：将 $x^2-y^2$ 用 $u$ 和 $v$ 表示

计算 $x^2$：

$x^2={\left(\frac{u}{1+v}\right)}^2=\frac{u^2}{(1+v{)}^2}$

计算 $y^2$：

$y^2={\left(\frac{vu}{1+v}\right)}^2=\frac{v^2{u}^2}{(1+v{)}^2}$

因此：

$x^2-y^2=\frac{u^2}{(1+v{)}^2}-\frac{v^2{u}^2}{(1+v{)}^2}$

$x^2-y^2=\frac{u^2-v^2{u}^2}{(1+v{)}^2}$

$x^2-y^2=\frac{u^2(1-v^2)}{(1+v{)}^2}$

注意到：

$1-v^2=(1-v)(1+v)$

所以：

$x^2-y^2=\frac{u^2(1-v)(1+v)}{(1+v{)}^2}=\frac{u^2(1-v)}{1+v}$

因此，函数可以写成：

$f(u,v)=\frac{u^2(1-v)}{1+v}$

步骤 4：计算偏导数

对 $u$ 求偏导数 $\frac{\partial f}{\partial u}$

$f(u,v)=\frac{u^2(1-v)}{1+v}$

这里 $(1-v)/(1+v)$ 看作常数（因为是对 $u$ 求偏导），所以：

$f(u,v)=\frac{1-v}{1+v}\cdot u^2$

令：

$k(v)=\frac{1-v}{1+v}$

则：

$f(u,v)=k(v)\cdot u^2$

对 $u$ 求偏导：

$\frac{\partial f}{\partial u}=k(v)\cdot 2u$

$\frac{\partial f}{\partial u}=2u\cdot \frac{1-v}{1+v}$

对 $v$ 求偏导数 $\frac{\partial f}{\partial v}$

$f(u,v)=\frac{u^2(1-v)}{1+v}$

使用商的求导法则，设：

$f(u,v)=\frac{u^2(1-v)}{1+v}$

其中，分子为 $u^2(1-v)$，分母为 $1+v$。

商的求导公式：

$\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{g(v)}{h(v)}\right)=\frac{g^{\prime }(v)h(v)-g(v)h^{\prime }(v)}{[h(v){]}^2}$

这里：

$g(v)=u^2(1-v)$

$h(v)=1+v$

计算 $g^{\prime }(v)$：

$g(v)=u^2(1-v)$

$g^{\prime }(v)=u^2\cdot (-1)=-u^2$

计算 $h^{\prime }(v)$：

$h(v)=1+v$

$h^{\prime }(v)=1$

因此：

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{g^{\prime }(v)h(v)-g(v)h^{\prime }(v)}{[h(v){]}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{(-u^2)(1+v)-(u^2(1-v))(1)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

$=\frac{-u^2(1+v)-u^2(1-v)}{(1+v{)}^2}$

[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (1 + v) - u^2 (1 - v)}{(1 + v)^2}
[ = \frac{-u^2 (