这道题目是关于三角形的计算问题。我们来逐步解答。

已知条件：

• 在 $△ABC$ 中，$BC=6$，$\angle C=\frac{\pi }{3}$，且 $\angle A$ 为钝角。
• 需要求 $\sin B$ 和 $△ABC$ 的面积。

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第一步：确定 $\angle A$ 和 $\angle B$

1. 三角形内角和为 $\pi$，即：

$\angle A+\angle B+\angle C=\pi$

已知 $\angle C=\frac{\pi }{3}$，所以：

$\angle A+\angle B+\frac{\pi }{3}=\pi$

由此可得：

$\angle A+\angle B=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

即：

$\angle B=\frac{2\pi }{3}-\angle A$

2. 题目中说明 $\angle A$ 为钝角，因此：

$\frac{\pi }{2}<\angle A<\pi$

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第二步：利用余弦定理

在 $△ABC$ 中，$BC=a=6$，$\angle C=\frac{\pi }{3}$，设：

• $AB=c$
• $AC=b$

根据余弦定理，在 $△ABC$ 中：

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

代入 $a=6$ 和 $\cos C=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$：

$c^2=6^2+b^2-2\cdot 6\cdot b\cdot \frac{1}{2}$

$c^2=36+b^2-6b$

即：

c^2 = b^2 - 6b + 36 \tag{1}

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第三步：利用角度关系

我们知道：

$\angle B=\frac{2\pi }{3}-\angle A$

由于 $\sin (\pi -x)=\sin x$，因此：

$\sin B=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-\angle A\right)$

利用差角公式：

$\sin \left(\frac{2\pi }{3}-\angle A\right)=\sin \frac{2\pi }{3}\cos \angle A-\cos \frac{2\pi }{3}\sin \angle A$

其中：

$\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

因此：

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \angle A-\left(-\frac{1}{2}\right)\sin \angle A$

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \angle A+\frac{1}{2}\sin \angle A$

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第四步：确定 $\angle A$ 的具体值

题目中提到“且钝角 $\angle A$ 的余弦值是方程 $3x^2-2x-1=0$ 的根”。

解这个二次方程：

$3x^2-2x-1=0$

使用求根公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $a=3$，$b=-2$，$c=-1$：

$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 3}$

$x=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{6}$

$x=\frac{2\pm \sqrt{16}}{6}$

$x=\frac{2\pm 4}{6}$

得到两个解：

$x_1=\frac{2+4}{6}=1,x_2=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}$

因为 $\angle A$ 是钝角，所以 $\cos \angle A<0$。因此：

$\cos \angle A=-\frac{1}{3}$

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第五步：计算 $\sin \angle A$

因为 $\angle A$ 是钝角，且 $\cos \angle A=-\frac{1}{3}$，利用三角函数的平方关系：

${\sin }^2\angle A+{\cos }^2\angle A=1$

代入 $\cos \angle A=-\frac{1}{3}$：

${\sin }^2\angle A+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=1$

${\sin }^2\angle A+\frac{1}{9}=1$

${\sin }^2\angle A=1-\frac{1}{9}=\frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

因为 $\angle A$ 是钝角，$\sin \angle A>0$，所以：

$\sin \angle A=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

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第六步：计算 $\sin B$

利用之前得到的公式：

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \angle A+\frac{1}{2}\sin \angle A$

代入 $\cos \angle A=-\frac{1}{3}$ 和 $\sin \angle A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$：

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin B=-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{6}$

$\sin B=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$

因此：

$\boxed{\sin B=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}}$

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第七步：计算 $△ABC$ 的面积

三角形面积公式为：

$S=\frac{1}{2}ab\sin C$

其中 $a=BC=6$，$b=AC$，$\sin C=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

首先需要确定边 $b=AC$。利用正弦定理：

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

已知 $a=6$，$\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

先求 $c=AB$：

$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}⟹c=\frac{a\cdot \sin C}{\sin A}$

代入已知值：

$c=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}=6\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{18\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{6}}{4}$

现在求 $b=AC$：

$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}⟹b=\frac{a\cdot \sin B}{\sin A}$

代入 $a=6$，$\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sin B=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$：

$b=\frac{6\cdot \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}$

分开计算：

$(2\sqrt{2})\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}=3$

$(-\sqrt{3})\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{6}}{4}$

因此：

$b=3-\frac{3\sqrt{6}}{4}$

最后，计算面积：

$S=\frac{1}{2}ab\sin C$

已知 $a=6$，$b=3-\frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$：

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \left(3-\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

先计算 $6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$：

$6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

因此：

$S=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}\cdot \left(3-\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)$

分开计算：

1. $3\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}$
2. $3\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)=-\frac{9\sqrt{18}}{4}=-\frac{9\cdot 3\sqrt{2}}{4}=-\frac{27\sqrt{2}}{4}$

因此：

$S=\frac{1}{2}\left(9\sqrt{3}-\frac{27\sqrt{2}}{4}\right)$

分开计算：

1. $\frac{1}{2}\cdot 9\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$
2. $\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{27\sqrt{2}}{4}\right)=-\frac{27\sqrt{2}}{8}$

所以：

$S=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{27\sqrt{2}}{8}$

通分计算：

$\frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{36\sqrt{3}}{8}$

因此：

$S=\frac{36\sqrt{3}}{8}-\frac{27\sqrt{2}}{8}=\frac{36\sqrt{3}-27\sqrt{2}}{8}$

最终，三角形面积为：
[
\boxed{\frac{36\sqrt{3} - 27\sqrt{2}}{8}}