我们来逐步解答这道题目。

题目分析：

已知在 $△ABC$ 中：

• $BC=6$
• $\angle C=\frac{\pi }{3}$
• $\angle A$ 为钝角，且 $\angle A$ 的余弦值是方程 $3x^2-2x-1=0$ 的根。

要求：

1. 求 $\sin B$ 的值。
2. 求 $△ABC$ 的面积。

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第一步：解方程 $3x^2-2x-1=0$，求 $\cos A$

解二次方程：

$3x^2-2x-1=0$

使用求根公式：

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

其中，$a=3$，$b=-2$，$c=-1$。

计算判别式：

$b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-1)=4+12=16$

因此，根为：

$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{2\pm 4}{6}$

两个解：

$x_1=\frac{2+4}{6}=1,x_2=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}$

因为 $\angle A$ 为钝角，所以 $\cos A<0$。因此：

$\cos A=-\frac{1}{3}$

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第二步：求 $\sin A$

因为 $\angle A$ 是三角形的内角，且 $\cos A=-\frac{1}{3}$，使用三角函数的平方关系：

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

代入 $\cos A=-\frac{1}{3}$：

${\sin }^{2}A+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=1$

${\sin }^{2}A+\frac{1}{9}=1$

${\sin }^{2}A=1-\frac{1}{9}=\frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

$\sin A=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

因为 $\angle A$ 为钝角，$\sin A>0$，所以：

$\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

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第三步：求 $\angle B$ 和 $\sin B$

在 $△ABC$ 中，内角和为 $\pi$，即：

$A+B+C=\pi$

已知：

$C=\frac{\pi }{3},A+B+\frac{\pi }{3}=\pi$

$A+B=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

$B=\frac{2\pi }{3}-A$

我们需要求 $\sin B$。使用正弦的差角公式：

$\sin B=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-A\right)$

根据正弦的差角公式：

$\sin (\frac{2\pi }{3}-A)=\sin \frac{2\pi }{3}\cos A-\cos \frac{2\pi }{3}\sin A$

计算 $\sin \frac{2\pi }{3}$ 和 $\cos \frac{2\pi }{3}$：

$\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

代入公式：

$\sin B=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-A\right)=\sin \frac{2\pi }{3}\cos A-\cos \frac{2\pi }{3}\sin A$

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A-\left(-\frac{1}{2}\right)\sin A$

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A$

代入 $\cos A=-\frac{1}{3}$ 和 $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$：

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin B=-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{6}$

$\sin B=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$

因此：

$\boxed{\sin B=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}}$

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第四步：求 $△ABC$ 的面积

使用面积公式：

$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin C$

已知：

• $BC=6$
• $\angle C=\frac{\pi }{3}$，所以 $\sin C=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

我们需要先求边 $AC$。使用正弦定理：

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

已知 $BC=6$，$\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以：

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{6}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=6\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{18}{2\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

因此：

$AC=\frac{9\sqrt{2}}{2}\cdot \sin B$

代入 $\sin B=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$：

$AC=\frac{9\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$

$AC=\frac{9\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{12}$

$AC=\frac{3\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{4}$

计算 $AC$：

$AC=\frac{3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}-3\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{4}$

$AC=\frac{3\cdot 4-3\sqrt{6}}{4}$

$AC=\frac{12-3\sqrt{6}}{4}$

$AC=\frac{12}{4}-\frac{3\sqrt{6}}{4}$

$AC=3-\frac{3\sqrt{6}}{4}$

现在求面积 $S$：

$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin C$

代入 $BC=6$，$AC=3-\frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$：

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \left(3-\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S=3\cdot \left(3-\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \left(3-\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)$

分配计算：

$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 3-\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{6}}{4}$

$S=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{6}}{8}$

计算第二项：

$3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{6}=9\sqrt{18}=9\cdot 3\sqrt{2}=27\sqrt{2}$

所以：

$\frac{3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{6}}{8}=\frac{27\sqrt{2}}{8}$

因此：

$S=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{27\sqrt{2}}{8}$

将第一项通分：

$\frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}\cdot 4}{8}=\frac{36\sqrt{3}}{8}$

所以：

$S=\frac{36\sqrt{3}}{8}-\frac{27\sqrt{2}}{8}$

$S=\frac{36\sqrt{3}-27\sqrt{2}}{8}$

提取公因数 $9$：

$S=\frac{9(4\sqrt{3}-3\sqrt{2})}{8}$

因此，三角形的面积为：

$\boxed{\frac{9(4\sqrt{3}-3\sqrt{2})}{8}}$