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好的，收到您的任务。这是一道关于多元复合函数求导的题目。为了系统性地解决这个问题并形成一份完整的研究报告，我为您制定了以下分步骤的总体计划。

该计划旨在通过严谨的分析、计算和核查，确保最终结果的准确性和逻辑的清晰性。

多元复合函数偏导数计算详解

问题分析

本题给出了一个二元复合函数关系式 $f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$，要求计算在点 $(u,v)=(1,1)$ 处函数 $f(u,v)$ 对变量 $u$ 和 $v$ 的偏导数值。这是一个典型的多元复合函数求导问题，需要应用链式法则和隐函数求导技巧。

解题思路

解决这类问题的关键在于建立变量间的映射关系，并通过链式法则构建方程组。我们可以采用以下步骤：

1. 确定变量映射关系：$u=x+y$, $v=\frac{y}{x}$
2. 找出在给定点 $(u,v)=(1,1)$ 处对应的原始变量 $(x,y)$ 值
3. 使用隐函数求导法，对原方程两边分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导
4. 建立关于 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 的方程组
5. 求解方程组得到最终结果

详细解答过程

1. 确定对应点的坐标

首先，我们需要找出点 $(u,v)=(1,1)$ 对应的原始坐标 $(x,y)$：

根据已知条件：

• $u=x+y=1$
• $v=\frac{y}{x}=1$

从第二个方程得到：$y=x$

代入第一个方程：$x+x=1$，即 $2x=1$

解得：$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$

因此，在点 $(u,v)=(1,1)$ 处，对应的原始坐标为 $(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。

2. 应用隐函数求导法

对原方程 $f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$ 两边分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：

对 $x$ 求偏导：

左边：$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

其中：

• $\frac{\partial u}{\partial x}=1$
• $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{y}{x})=-\frac{y}{x^2}$

右边：$\frac{\partial }{\partial x}(x^2-y^2)=2x$

因此得到第一个方程：
$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot 1+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot (-\frac{y}{x^2})=2x$

对 $y$ 求偏导：

左边：$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

其中：

• $\frac{\partial u}{\partial y}=1$
• $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{y}{x})=\frac{1}{x}$

右边：$\frac{\partial }{\partial y}(x^2-y^2)=-2y$

因此得到第二个方程：
$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot 1+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{1}{x}=-2y$

3. 代入坐标点求解

将坐标点 $(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 代入上述两个方程：

第一个方程：
$\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2}{)}^2}=2\cdot \frac{1}{2}$

简化为：
$\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\cdot 2=1$

第二个方程：
$\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}=-2\cdot \frac{1}{2}$

简化为：
$\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot 2=-1$

4. 求解方程组

我们得到了关于 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 的方程组：

• $\frac{\partial f}{\partial u}-2\frac{\partial f}{\partial v}=1$
• $\frac{\partial f}{\partial u}+2\frac{\partial f}{\partial v}=-1$

将两个方程相加：
$2\frac{\partial f}{\partial u}=0$

解得：$\frac{\partial f}{\partial u}=0$

将此结果代入第一个方程：
$0-2\frac{\partial f}{\partial v}=1$

解得：$\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{1}{2}$

计算结果

在点 $(u,v)=(1,1)$ 处的偏导数值为：

结论

根据计算结果，我们得到：

• ${\frac{\partial f}{\partial u}|}_{u=1,v=1}=0$
• ${\frac{\partial f}{\partial v}|}_{u=1,v=1}=-\frac{1}{2}$

对照题目给出的选项，答案为 D. $(0,-\frac{1}{2})$。

解题方法总结

本题展示了多元复合函数求导的典型方法——隐函数求导法。这种方法的核心是：

1. 确定变量间的映射关系
2. 对原方程两边分别对各个变量求偏导
3. 建立并求解关于目标偏导数的方程组

这种方法在处理复合函数求导问题时非常有效，尤其是当函数关系较为复杂，难以直接表示为显式形式时。