我们来分析这道题。

已知条件：

• 物体 $A$ 的质量 $m=10\text{kg}$。
• 弹簧的拉力为 $F=5\text{N}$。
• 小车以加速度 $a=1{\text{m/s}}^2$ 向右运动。
• 重力加速度 $g=10{\text{m/s}}^2$。
• 物体 $A$ 最初与小车一起处于静止状态。

分析：

1. 小车静止时的受力分析：
   • 物体 $A$ 静止，说明它受到的合力为零。
   • 弹簧对物体 $A$ 的拉力为 $F=5\text{N}$（水平向右）。
   • 物体 $A$ 相对小车没有运动，因此静摩擦力与弹簧的拉力平衡。
   • 所以，物体 $A$ 受到的静摩擦力 $f_1$ 水平向左，大小为：

$f_1=5\text{N}$

2. 小车向右以加速度 $a=1{\text{m/s}}^2$ 运动时的分析：

   • 小车加速运动，物体 $A$ 由于惯性会相对小车向左运动（相对于加速的小车，物体 $A$ 有向左的运动趋势）。
   • 此时，物体 $A$ 受到的力包括：
     1. 水平向右的弹簧拉力 $F=5\text{N}$。
     2. 水平向右的静摩擦力 $f_2$（因为物体 $A$ 相对小车有向左的趋势，摩擦力方向与相对运动趋势方向相反）。
     3. 物体 $A$ 的加速度来源于弹簧拉力和摩擦力的合力。

3. 对物体 $A$ 应用牛顿第二定律：

   • 物体 $A$ 随小车一起加速，加速度为 $a=1{\text{m/s}}^2$ 向右。
   • 根据牛顿第二定律：

$F_{\text{合}}=ma$

• 合力由弹簧的拉力 $F$ 和摩擦力 $f_2$ 提供，且物体 $A$ 的加速度为 $1{\text{m/s}}^2$ 向右，因此：

$F+f_2=ma$

• 代入已知量：

$5+f_2=10\times 1$

$5+f_2=10$

$f_2=10-5=5\text{N}$

• 因此，物体 $A$ 受到的摩擦力 $f_2=5\text{N}$，方向水平向右。

4. 结论分析：
   • A. 物体 $A$ 相对小车向右运动：
     • 物体 $A$ 相对小车有向左的运动趋势，而不是向右运动。
     • 错误。
   • B. 物体 $A$ 受到的摩擦力减小：
     • 最初静止时，摩擦力 $f_1=5\text{N}$，方向向左。
     • 小车加速时，摩擦力 $f_2=5\text{N}$，方向向右。
     • 摩擦力的大小没有减小，只是方向改变了。
     • 错误。
   • C. 物体 $A$ 受到的摩擦力大小不变：
     • 最初摩擦力大小为 $5\text{N}$，加速时摩擦力大小仍为 $5\text{N}$。
     • 正确。
   • D. 物体 $A$ 受到的弹簧的拉力增大：
     • 弹簧的拉力 $F=5\text{N}$ 是固定的，没有增大。
     • 错误。

最终答案：

\(\boxed{C}\)