嗯，这个问题是要帮小明在6000预算和20天时间内，规划出最多的游玩城市。我得仔细分析每个城市的游玩天数、日均花费，还有交通住宿规则。

首先算下固定成本：每天住宿100块，交通每次50块，单程算一天。假设玩n个城市，那交通次数是n+1次（去第一个城市，中间n-1次转，最后回家），总交通花费50*(n+1)，交通时间也是n+1天。住宿天数等于总天数减去交通天数，再减掉最后回家的那一天。比如总时间20天的话，玩k天，交通花费也是k+1天，那总天数应该是游玩天数+交通天数。可能需要列个公式。

接下来每个城市必须待满建议天数，否则不算玩过。所以每个城市的建议游玩天数是必须满足的。然后每个城市的日均花费要乘以天数，加上住宿费和交通费，总和不能超6000。

那首先应该尽量选游玩天数短的城市，比如上海、广州这种只要2天的，这样可以多安排几个城市。不过同时要考虑日均花费，比如西安日均才100，待7天的话总花费低，但占的时间长，可能不划算。

比如北京五天，日均160，总花费800，加上住宿五天500，但交通的话去北京要1天，离开也要1天，所以总时间得算进去。每个城市的游玩天数总和，加上交通天数（等于城市数+1），总天数不超过20天。

假设选n个城市，总游玩天数是sum（每个城市的建议天数），交通天数是n+1，所以sum + n +1 <=20。等式是sum + n +1 = D <=20。例如，sum = D -n -1。每个城市的天数必须满足各自的建议，所以sum >= sum(建议天数)。这时候可能需要找尽可能多的城市，但总游玩天数不超过（20 -n -1），也就是总游玩天数上限是19 -n。或者说，sum(建议游玩天数) <=19 -n。这可能很难满足，所以可能需要调整策略，确保每个城市都待够建议天数，同时总天数不超过20。

比如想选5个城市，那么总游玩天数是各自建议之和，比如假设每个平均3天，总游玩15天，加上交通5+1=6天，总时间21天，超过20。所以这时候需要减少游玩天数或者城市数。或者反过来，找到n的最大值，使得sum（建议天数） +n +1 <=20。例如，假设n=7个城市，sum建议天数是比如2+2+3+3+4+5+5=24，这显然不行。所以可能只能选更少的城市，或者找建议天数更少的组合。

另外，预算方面，总花费是：住宿费（总天数-1）*100，因为最后一天回家不住。交通费是（n+1）*50。每个城市的日均花费乘以建议天数之和。这三部分总和不超过6000。

所以总预算公式是：住宿费=（总天数-1）100。交通费=50(n+1)。游玩花费=sum(每个城市的建议天数*日均消费)。总预算=这三个部分之和<=6000。

现在需要找到最大的n，使得存在n个城市的选择，满足：

1. sum(建议天数) +n +1 <=20 （总时间）

2. (总天数-1)100 +50(n+1) +sum(建议天数*日均消费) <=6000.

总天数等于sum(建议天数)+n+1（因为交通时间是n+1天，游玩时间是sum，所以总天数D=sum +n+1 <=20）。

所以可以把总天数D=sum +n +1 <=20。所以sum <=19 -n.

而每个城市的建议游玩天数之和必须满足sum >=各自的和，所以需要选择n个城市，他们的建议天数之和<=19 -n。

例如，当n=7时，sum <=12。那需要找7个城市的建议游玩天数之和<=12。比如选上海（2）、广州（2）、长沙（3）、重庆（3）、桂林（4）的话，总和是2+2+3+3+4=14>12，不够。可能这样的组合无法满足。所以n的可能最大值需要试探。

比如试n=6：

sum <=19-6=13。需要选6个城市，其建议天数之和<=13。比如选上海（2）、广州（2）、长沙（3）、重庆（3）、桂林（4）？总和是2+2+3+3+4=14，不够。或者去掉一个，比如选长沙（3）、重庆（3）、上海（2）、广州（2）、昆明（6）？不行，总和太大。或者有没有更小的组合？

可能n=6比较困难。或者换一些建议天数更少的城市。比如北京五天可能不行，因为五天占太多。试试其他组合。比如选上海、广州、长沙、重庆、桂林、昆明？他们的建议天数分别是2+2+3+3+4+6=20，这远超过19-6=13的限制。所以不行。

那可能n的最大值只能是5？假设sum<=19-5=14。找五个城市，其建议天数之和<=14。例如：

北京（5）+西安（7）=12，超过14？5+7=12，剩下三个城市需要总和2。比如选上海（2）、广州（2），这样总和5+7+2+2=16，超过14。不行。或者选更小的城市，比如上海、广州、长沙、重庆、桂林。总和是2+2+3+3+4=14，刚好。那么sum=14<=14，满足条件。此时n=5，总天数D=14+5+1=20，刚好。

那么此时总花费：

住宿费是总天数-1=20-1=19天，1900块。

交通费是5+1=6次，300块。

游玩花费：每个城市的建议天数乘以日均消费之和：

上海：2天*300=600

广州：2*300=600

长沙：3*200=600

重庆：3*250=750

桂林：4*150=600

总和是600+600+600+750+600=3150？

总预算：1900+300+3150=5350，这低于6000。所以这样的方案可行，而且预算足够。此时n=5个城市，总花费5350，时间刚好20天。

那有没有可能增加到6个城市？比如找六个城市，sum<=19-6=13。比如选上海（2）、广州（2）、长沙（3）、重庆（3）、桂林（4）总和是14>13，不够。或者去掉桂林，加一个更小的？比如选成都（6天）的话不行。或者有没有其他城市？

比如选上海（2）、广州（2）、长沙（3）、重庆（3）、昆明（6）总和是16>13。不行。或者选更小的城市，比如洛阳（5）可能太大。或者有没有其他组合？

或者是否可以调整顺序，比如某些城市游玩天数可以更短？但根据规则，必须不低于建议游玩天数，所以不可以。所以在这种情况下，n=5可能是最大的可能。

那么此时最终的方案是选择上海、广州、长沙、重庆、桂林这五个城市，总花费5350元，时间刚好20天。