首先，问题是24点游戏，给出的数字是3、3、8、8。我需要使用这四个数字，通过加、减、乘、除运算，使结果等于24。每个数字必须使用一次，且只能使用一次。

我需要考虑所有可能的组合。既然有两个3和两个8，我应该考虑如何利用这些重复的数字。可能的策略包括将数字分组，比如先处理两个3或两个8。

让我列出一些基本的运算：

• 加法：3 + 3 = 6，3 + 8 = 11，8 + 8 = 16

• 减法：3 - 3 = 0，3 - 8 = -5，8 - 3 = 5

• 乘法：3 × 3 = 9，3 × 8 = 24，8 × 8 = 64

• 除法：3 ÷ 3 = 1，3 ÷ 8 = 0.375，8 ÷ 3 ≈ 2.666（但我们需要整数结果？不，24点游戏允许分数，但最终结果必须是24）

24点游戏允许使用分数，只要最终结果是24。所以，我可以使用除法。

我注意到3 × 8 = 24，但有两个3和两个8，所以我需要把多余的3和8用上，但使它们不影响结果，比如乘以1或加0。

例如，如果我做 (3 × 8) × (3 ÷ 3) = 24 × 1 = 24。但这里我用了两个3和一个8，还有一个8没用上。我有两个8，所以缺少一个8。

(3 × 8) × (8 ÷ 8) = 24 × 1 = 24，但这里我用了一个3和两个8，还有一个3没用上。问题是我有两个3和两个8，必须每个用一次。

所以，我需要一个表达式使用所有四个数字。

另一个想法：(8 - 3) × (8 - 3) = 5 × 5 = 25，但25不等于24，而且我用了两个8和两个3，但结果是25，不是24。接近但不行。

(8 - 3) 是5，但5×5=25>24。

或许 (8 × 3) ÷ (3 ÷ 8) 或类似的东西。

计算：8 × 3 = 24，3 ÷ 8 = 0.375，然后24 ÷ 0.375？24 ÷ 0.375。

0.375 是 3/8，所以 24 ÷ (3/8) = 24 × (8/3) = (24/3) × 8 = 8 × 8 = 64，不等于24。

(8 × 3) × (8 ÷ 8) 但用了两个8，一个3，缺少另一个3。

我需要用分数。

另一个想法：8 ÷ (1/3) = 8 × 3 = 24，但1/3 怎么来？3 ÷ 3 = 1，不是1/3。

3 ÷ 3 = 1，然后 8 ÷ (1/3) 但1/3 不是直接有的。

或许 (3 - 8/8) × 某个东西。

8/8 = 1，然后 3 - 1 = 2。

然后我有2，但需要用到两个3和两个8。

列出所有数字：A=3, B=3, C=8, D=8。

我需要表达式如 (A op B) op (C op D) 或 ((A op B) op C) op D 等。

尝试乘法：既然24是8×3，但有两个冗余。

或许 (8 - 3/3) × 3 或类似。

3/3 = 1，8 - 1 = 7，然后7 × 3 = 21，但21 ≠ 24，而且用了两个3和一个8，缺少另一个8。

(8 - 3/3) × 3 = (8 - 1) × 3 = 7 × 3 = 21，但用了两个3和一个8，另一个8没用。

添加另一个8：但怎么加？21 + 3？但没有多余的3。

或许 (8 × 3) + (8 - 8)，但8-8=0，24+0=24，但用了两个8和一个3，另一个3没用。问题：我有两个3，这里只用一个3。

在(8 × 3)中用了3，但另一个3没用。

所以不行。

我需要用除法来引入分数。

另一个想法：8 ÷ (1/3) = 24，但如何得到1/3？3 ÷ 3 = 1，不是1/3。

3 ÷ 3 = 1，但1/3需要倒数。

或许 (3 ÷ 3) × 8 × 某个东西，但(3÷3)=1，1×8=8，然后另一个8，8×8=64或8+8=16，都不行。

(3 ÷ 3) + 8 + 8 = 1+8+8=17≠24。

(3 × 8) ÷ (3 ÷ 8) 但如前所述，24 ÷ (3/8) = 24 × 8/3 = 64。

64 太大了。

或许 (8 + 8) × (3 ÷ 3) = 16 × 1 = 16≠24。

(8 × 3) - (8 ÷ 3) 或类似的东西。

8 × 3 = 24，8 ÷ 3 ≈ 2.666，24 - 2.666 = 21.333 ≠ 24。

(8 × 3) + (8 ÷ 3) - 某个东西，但更复杂。

另一个想法：使用指数？但24点游戏通常只允许 + - × ÷ 和括号，不能使用指数吧？规则是基本的算术运算，所以可能不包括指数。

所以，只允许 + - × ÷。

试试减法：8 - 3 = 5，但有两个5，5×5=25，如前所述。

25 接近 24，但怎么调整？

5 × 4.8，但不行。

(8 - 3) × (8) ÷ 某个东西。

(8-3)=5，5×8=40，然后除以什么？40 ÷ 5/3 或类似，但不行。

或许 (8 - 3/3) × 某个东西，3/3=1，8-1=7，然后 7 × 3.428... 不行。

我需要考虑分数。

目标是 24，所以也许 8 / (1/3) 但那需要 1/3。

如何得到 1/3？3 ÷ 3 = 1，但 1/3 是 3 的倒数。

3 ÷ 3 = 1，但 1/3 不是直接得到的。

除非我用除法：例如，1 ÷ 3，但 1 不是直接给的。

也许 (3 ÷ 8) × 某个东西。

3÷8=0.375，然后乘以什么得到24？24 ÷ 0.375 = 64，而64是8×8，所以(3÷8)×(8×8) = 0.375×64=24，但用了两个8和一个3，另一个3没用。表达式是(3÷8)×(8×8)，所以数字是：一个3，两个8，但还有一个3没用。

我有两个3，这里只用一个。

所以不行。

类似地，(8×8)×(3÷8) = 64 × 0.375 = 24，但用了两个8和一个3，另一个3没用。

还是不行。

我需要同时使用两个3。

也许 (8 - 3) × 8 ÷ 某个东西，但(8-3)=5，5×8=40，40 ÷ 5/3？不行。

另一个想法：8 × 3 = 24，然后让另一个3和8组合成1，比如3÷3=1，但8÷8=1，但那样的话，如果我用(8×3) × (3÷3) 或 (8×3) × (8÷8)，但每种情况都只用了三个数字，第四个数字没用。

在 (8×3) × (3÷3) 中，数字是：第一个8，第一个3，然后第二个3在分子，第三个3在分母？我们写清楚。

假设数字是 A=3，B=3，C=8，D=8。

如果我做 (C × A) × (B ÷ D)，但 B÷D 是 3÷8=0.375，所以 (8×3) × (3÷8) = 24 × 0.375 = 9，不是24。

(C × A) × (D ÷ B) = (8×3) × (8÷3) = 24 × (8/3) = 24 × 2.666 = 64，和之前一样。

不是24。

也许加法： (8×3) + (3×8) ÷ 某个东西，但 24 + 24 = 48，太大了。

(8×3) + (8-8)，但 24 + 0 = 24，但只用了三个数字：一个8，一个3，另一个8，但两个3中只用一个，另一个3和8没用？在 (8×3) 中，8 和 3 用了，然后 (8-8) 用了另一个8，但另一个3没有用。

所以缺少一个3。

同样的问题。

也许 (3 - 8÷8) × 8，8÷8=1，3-1=2，2×8=16≠24。

(3 + 3) × (8÷4) 但 8÷4 没有4，而且数字是8，不是4。

另一个想法：8 ÷ (1/3) 但需要1/3。

1/3 来自 3，但怎么得到？

也许 (8 ÷ (3 - 3))，但 3-3=0，除以零，未定义，不允许。

所以不行。

我需要以不同的方式使用这些数字。

我们来列出所有可能的两两组合。

首先，3 和 3：3+3=6，3-3=0，3×3=9，3÷3=1。

3 和 8：3+8=11，3-8= -5，8-3=5，3×8=24，3÷8=0.375，8÷3≈2.666。

8 和 8：8+8=16，8-8=0，8×8=64，8÷8=1。

现在，使用这些结果。

例如，如果我取 3×8=24，但需要融入另一个3和另一个8。

所以，也许乘以 1 或加 0。

从上面看，3÷3=1，或者 8÷8=1，或者 3-3=0，8-8=0。

但如果我用 3×8=24，然后乘以 (3÷3)=1，但那样用了两个3和一个8，另一个8没用。

同样，如果我用 (3×8) × (8÷8)，用了两个8和一个3，另一个3没用。

所以，我需要一个表达式，使得额外的数字被用来形成像1或0这样的中性值，但要用到所有四个数字。

也许 (3÷3) × 8 × 3，但 (3÷3)=1，1×8×3=24，但用了两个3和一个8，另一个8没用。

(3÷3) × 8 × 3，数字：第一个3在分子，第二个3在分母，然后8，然后另一个3，所以三个3？不对： (3÷3) 是一个3在分子，一个在分母，所以是两个3，然后乘以8，再乘以3，但那是另一个3，所以是三个3，但我只有两个3。错误。

在表达式 (3÷3) × 8 × 3 中，第一个3在分子，第二个在分母，第三个在乘数，所以是三个3，但我只有两个3，所以无效。

我必须每个数字只用一次。

所以，对于 (3÷3) 用了两个3，然后剩下一个8，但8单独无法得到24。

除非我还有一个数字，但我有另一个8，但在 (3÷3) × 8 中，那是24？(3÷3)=1，1×8=8，不是24。而且只用了两个3和一个8，另一个8没用。

类似地，(8÷8) × 3 × 3 = 1 × 3 × 3 = 9，不是24，用了两个8和两个3，但结果是9。

不行。

(8÷8) + 3 × 3，但 1 + 9 = 10，不对。

也许需要不同的分组。

试试 (8 - 3) = 5，然后 5 × 4.8，但不行。

另一个想法：24 是 48 ÷ 2，但怎么得到48和2。

48 来自 8×6，但6来自3×2，但没有2。

3+3=6，8×6=48，然后除以2，但2来自哪里？

8÷4，不行。

(8× (3+3)) ÷ 某个东西。3+3=6，8×6=48，然后除以2？但怎么得到2。

48 ÷ 2 = 24，但2来自8÷4，不行。

或者来自3-1，但1来自3÷3，但数字会重复。

假设我做 (8 × (3 + 3)) ÷ (8 ÷ 4)，但没有4。

也许 (8 × (3 + 3)) ÷ 2，但2不是直接给的。

2 来自 8÷4，不行。

另一个想法：使用除法：8 ÷ (1/3) = 24，但 1/3 来自 3，但 3 是整数。

1/3 可以写成 3 的倒数，但在表达式中，我需要用数字来得到它。

例如，1/3 = 3^{-1}，但可能不允许使用指数。

所以，只能使用基本运算。

也许 (3 ÷ 3) 是 1，但 1/3 不是。

我们来考虑分数。

假设我做 8 ÷ (3 ÷ 3) × 某个东西。3÷3=1，8÷1=8，然后乘以3，但只有一个3。

8 ÷ (3÷3) = 8 ÷ 1 = 8，然后我有另一个3和另一个8，8×3=24，但另一个8没有使用。

表达式：8 ÷ (3÷3) × 3，但数字：第一个8，然后3÷3用了两个3，然后乘以3，又是另一个3，所以三个3，无效。

同样的问题。

我需要用另一个数字来组成分母或分子。

另一个想法: (8 - 3/3) × 3，但 3/3=1，8-1=7，7×3=21，不是24，而且用了两个3和一个8，另一个8没有使用。

如果我用另一个8： (8 - 3/3) × 3 + 3，但21+3=24，但用了三个3和一个8，另一个8没有使用。表达式：(8 - 3/3) × 3 + 3，数字：第一个8，3/3用了两个3，然后×3是第三个3，所以三个3，不行。

也许 (8 × 3 - 8) ÷ 某个东西，8×3=24，24-8=16，然后除以2/3之类的。

16 ÷ (2/3) = 24，但2和3来自哪里。

2来自8÷4，不行。

3-1=2，但1来自3÷3，但数字不足。

我们试着写一个表达式。

我回忆一些常见的24点策略。

有时使用 (a × b) ÷ (c ÷ d) 或类似形式。

例如，(8 × 3) ÷ (3 ÷ 8) = 24 ÷ (3/8) = 24 × 8/3 = 64，不是24。

(8 ÷ 3) × (8 × 3) / 2 之类的，但不行。

另一个想法: 8 × (3 + 3/8) 或类似的东西。

3 + 3/8 = (24/8 + 3/8) = 27/8，然后 8 × (27/8) = 27，不是24。

8 × (3 - 3/8) = 8 × (24/8 - 3/8) = 8 × (21/8) = 21，不是24。

(8 + 8) × (3/2) 但3/2来自3÷2，没有2。

3/2 = 1.5，16 × 1.5 = 24，哦！16来自8+8，1.5来自3/2，但2来自哪里？

2来自3-1，但1来自3÷3，但数字不足。

如果我做 3 ÷ (2)，但2不是给定的。

也许 (8 + 8) × (3 ÷ 2)，但2没有给出。

除非我用另一个数字来组成2，但所有数字都用了。

例如，要得到2，我可以做8÷4，但不行，或者3-1，但1来自3÷3，但那样需要两个3来得到1，然后3-1=2，但用了两个3来得到2，然后8+8=16，16×2=32，但用了两个8和两个3，结果是32，不是24。

而且我用了四个数字，但32 ≠ 24。

同样， (8×3) × (8÷8) 但用了三个数字。

我快没想法了。

让我们搜索在线资源或思考标准方法。

另一个想法： (3 × 8) ÷ 1，但1来自8÷8，但那样用了两个8和一个3，另一个3没有用。

除非我以不影响结果的方式加入另一个3，例如乘以1，但1已经用了。

(3 × 8) × (3 ÷ 3) 同样的问题。

也许 (3 + 3/3) × 8 或类似的东西。

3/3 = 1，3 + 1 = 4，4 × 8 = 32，不是24，而且用了两个3和一个8，另一个8没有用。

(3 + 3/3) × 8 ÷ 某个东西，但32 ÷ 4/3 或类似的。

32 ÷ (4/3) = 32 × 3/4 = 24，但4来自哪里？

4来自8÷2，不行。

或者来自3+1，但1来自3÷3，但数字重复使用了。

假设我做 (3 + 3/3) = 3 + 1 = 4，用了两个3和一个3？3/3用了两个3，3 + (3/3)，但3/3用了两个3，所以是三个3，无效。

3 + 3/3：第一个3是底数，3/3用了两个3，所以是三个3，是的。

所以不行。

也许使用减法：8 × 3 = 24，然后减去0，但0来自3-3，但3-3用了两个3，然后8×3用了另一个3和8，但数字：如果我做 (8 × 3) - (3 - 3)，但 (3 - 3) = 0，24 - 0 = 24，数字：8×3 用了一个8和一个3，3-3 用了两个3，所以三个3和一个8，但我有两个8，另一个8没有使用。

同样的问题。

如果我用两个8来做0：8-8=0，但那样的话，对于3，我需要使用两个3。

所以 (8 × 3) - (8 - 8)，但 (8 - 8) = 0，24 - 0 = 24，数字：8×3 用了一个8和一个3，8-8 用了两个8，所以三个8和一个3，但我有两个3，另一个3没有使用。

表达式：(8 × 3) - (8 - 8)，第一个8用于乘法，8-8 用了两个8，所以是三个8，而一个3用于乘法，但有两个3，所以缺少一个3。

所以总是缺少一个数字。

我需要一个不同的组合。

让我们尝试 (8 - 3) × (8 - 3) = 5×5=25，太大了，所以也许除以一个分数。

25 / (5/24) 不行。

(8-3) =5，然后 5 × 4.8，但4.8来自24/5，循环了。

24/5 = 4.8，但5来自(8-3)，所以 (8-3) × (24/(8-3))，但24不是数字。

不可能。

也许使用两个8来做一个分数。

8/8 =1，但和之前一样。

3/8 * 64 = 24，但64是88，所以 (3/8) * (88) = 24，但用了两个8和一个3，另一个3没有使用。

同样。

除非我能用另一个3作为乘数1，但怎么做到。

(3/8) * (88) * (3/3) = 24 * 1 = 24，但 (3/3) 用了两个3，所以总共是三个3和两个8，但我只有两个3，所以 (3/8) 用了一个3， (88) 用了两个8，(3/3) 用了两个3，所以三个3和两个8，但我只有两个3，所以无效。

在 (3/8) * (8*8) * (3/3) 中，第一个3在分子，8和8，然后3/3又用了两个3，所以是三个3。

是的。

所以我不能有多余的数字。

也许 (8*3) / (3/8) 但如前所述，是64。

我们来计算 (8*3) / (3/8) = 24 / (3/8) = 24 * 8/3 = 64。

不是24。

(8/3) * (9) 但9是33，所以 (8/3) * (33) = 8*3 = 24，哦！24，但用了两个3和一个8，另一个8没有使用。

表达式：(8/3) * (33) = (8/3) * 9 = 83 = 24，数字：8/3 用了一个8和一个3，3*3 用了两个3，所以三个3和一个8，但我只有两个3，所以无效。

同样的问题。

但很接近，24 得到了，但用了三个3。

所以对于 3,3,8,8，我需要使用两个3和两个8。

也许 (8/3) * (3*3) 但多了一个3。

除非我用另一个8来组成分数之类的。

(8/3) * (3*3) = 24，但用了三个3。

但 (8/3) * 3 * 3 = 8*3 = 24，一样。

但三个3。

所以对于 3,3,8，我可以做 3*8，但多了一个3。

但这里我有两个8。

所以也许 (8/3) * 3 * 3 * (8/8) 但那用了四个3。

不行。

我需要一个不同的方法。

我们考虑 24 点论坛或常见技巧。

另一个想法： (8 - 3) * 3 + 3，但 5*3 = 15，15+3=18，不是24，而且用了三个3。

(8*3) - 3 + 3，24 -3 +3=24，但用了三个3和一个8，另一个8没有使用。

同样。

也许 (8*3) * (8/8) 但用了两个8和一个3。

但 (8*3) * (8/8) = 24 * 1 = 24，用了两个8和一个3，另一个3没有使用。

如果我能够以不影响结果的方式加入另一个3，例如乘以1，但1已经用了。

除非我用3来组成1，但3÷3=1，但那样需要两个3。

所以 (83) * (3/3) * (8/8)，但那是四个数字，但 (3/3) 和 (8/8) 各用了两个，所以是三个3和两个8，但我只有两个3，所以 (83) 用了一个8和一个3，(3/3) 用了两个3，(8/8) 用了两个8，所以是三个3和三个8，太多了。

不行的。

也许 (3 - 8/8) * 8，8/8=1，3-1=2，2*8=16，不是24。

(3/3 + 8) * 3，1+8=9，9*3=27，不是24。

(8+8/3)*3，8/3≈2.666，8+2.666=10.666，*3=32，不是24。

8/ (3- 8/3) 或类似的东西。

3 - 8/3 = (9/3 - 8/3) = 1/3，然后 8 / (1/3) = 24，但用了两个8和一个3，另一个3没有使用。

表达式：8 / (3 - 8/3)，但8/3用了另一个8，所以数字：第一个8在分母，3在分子，然后3 - 8/3，8/3用了另一个8和另一个3，所以两个8和两个3都使用了。

我们写出来。

分子: 8

分母: (3 - 8/3)

在 (3 - 8/3) 中，3 是一个3，8/3 用了一个8和另一个3。

所以表达式是：8 / (3 - 8/3)

现在，简化分母：3 - 8/3 = 9/3 - 8/3 = 1/3

然后 8 / (1/3) = 8 * 3 = 24

完美！而且所有四个数字都使用了：分子中的8，分母中的3，以及分母中8/3中的8和3。

在分母中：3 - 8/3，3 是一个数字，8/3 中的8是另一个数字，8/3 中的3是第三个数字，但8/3 中的3是另一个3，而分母中的3是第一个3。

我们分配数字。

设 A=3，B=3，C=8，D=8。

表达式：C / (A - D/B)

或者写得更清楚：8 / (3 - 8/3)

但在这个表达式中，数字是：分子：8（即C）

分母：3（即A）减去（8除以3），8是D，3是B。

所以是 C / (A - D/B)

现在，在运算上，首先计算 D/B = 8/3，然后 A - 那个 = 3 - 8/3 = 1/3，然后 C / (1/3) = 8 * 3 = 24。

是的。

所以表达式是 8 / (3 - 8/3)

但为了更清晰，可以加括号： (8) / (3 - (8/3))

在24点游戏中，通常写作不带额外括号的形式，但运算顺序很重要。

有时写作 \frac{8}{3 - \frac{8}{3}}，但在文本中，有括号也可以。

但在这个例子中，是成立的。

另一种方式： (8 × 3) / (1 - 8/9) 之类的，但更复杂。

但上面的方法可行。

所以对于3,3,8,8，一种解法是 8 / (3 - 8/3)

但8/3用了另一个8和另一个3，而第一个3在分母中。

在表达式中，3 - 8/3，3是一个，8/3中的3是另一个，8/3中的8是另一个，分子中的8是最后一个。

是的。

为了确认，数值：8/3 ≈ 2.666，3 - 2.666 = 0.333，8 / 0.333 = 24。

完美。

所以，在游戏中，可以写成 (8 / (3 - 8/3))，但可能不需要最外层括号。

通常，我们写作 8 / (3 - 8/3)

但为了清晰，有时会加上括号。

在24点中，只要运算顺序明确，是可以接受的。

所以，我认为这是正确的。