要证明关于算符指数函数 $e^{\alpha \hat{A}}$ 的三个性质，需基于算符指数函数的幂级数定义和算符运算规则（如交换律、分配律、逐项求导）展开推理。

1. 定义回顾：算符指数函数的幂级数形式

对算符 $\hat{A}$ 和复数 $\alpha$，算符指数函数定义为：

$e^{\alpha \hat{A}}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^n}{n!}{\hat{A}}^n$

其中 ${\hat{A}}^n$ 表示算符 $\hat{A}$ 的 $n$ 次幂（算符幂），求和为算符序列的线性组合。

2. 证明 $e^{(\alpha +\beta )\hat{A}}=e^{\alpha \hat{A}}{e}^{\beta \hat{A}}$（指数加法法则）

步骤1：展开左边 $e^{(\alpha +\beta )\hat{A}}$

将 $\alpha +\beta$ 代入幂级数定义，得：

$e^{(\alpha +\beta )\hat{A}}={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(\alpha +\beta {)}^k}{k!}{\hat{A}}^k$

对求和指标 $k$ 展开 $(\alpha +\beta {)}^k$（二项式定理）：

$(\alpha +\beta {)}^k={\sum }_{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m}){\alpha }^m{\beta }^{k-m}$

因此左边可改写为双重求和：

$e^{(\alpha +\beta )\hat{A}}={\sum }_{k=0}^{\infty }{\sum }_{m=0}^k\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m}\right){\alpha }^m{\beta }^{k-m}}{k!}{\hat{A}}^k$

步骤2：展开右边 $e^{\alpha \hat{A}}{e}^{\beta \hat{A}}$（算符乘积的级数展开）

先分别展开两个指数：

$e^{\alpha \hat{A}}={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^i}{i!}{\hat{A}}^i,e^{\beta \hat{A}}={\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{{\beta }^j}{j!}{\hat{A}}^j$

算符乘积的级数展开为Cauchy乘积（因算符乘法满足分配律，可逐项相乘）：

$e^{\alpha \hat{A}}{e}^{\beta \hat{A}}=\left({\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^i}{i!}{\hat{A}}^i\right)\left({\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{{\beta }^j}{j!}{\hat{A}}^j\right)={\sum }_{k=0}^{\infty }{\sum }_{i=0}^k\frac{{\alpha }^i{\beta }^{k-i}}{i!(k-i)!}{\hat{A}}^k{\hat{A}}^{k-i}$

利用算符幂的交换律 ${\hat{A}}^i{\hat{A}}^{k-i}={\hat{A}}^k$，右边简化为：

$e^{\alpha \hat{A}}{e}^{\beta \hat{A}}={\sum }_{k=0}^{\infty }{\sum }_{i=0}^k\frac{{\alpha }^i{\beta }^{k-i}}{i!(k-i)!}{\hat{A}}^k$

步骤3：比较左右两边

左边项的系数为 $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m}\right){\alpha }^m{\beta }^{k-m}}{k!}$，代入二项式系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m}\right)=\frac{k!}{m!(k-m)!}$ 后，与右边项的系数 $\frac{{\alpha }^i{\beta }^{k-i}}{i!(k-i)!}$（令 $i=m$）完全一致。因此：

$e^{(\alpha +\beta )\hat{A}}=e^{\alpha \hat{A}}{e}^{\beta \hat{A}}$

3. 证明 $\frac{d}{d\alpha }{e}^{\alpha \hat{A}}=e^{\alpha \hat{A}}\hat{A}$（求导法则）

步骤1：对幂级数逐项求导

算符指数函数的导数是逐项求导（因算符与参数 $\alpha$ 的可交换性保证级数收敛）：

$\frac{d}{d\alpha }{e}^{\alpha \hat{A}}=\frac{d}{d\alpha }{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^n}{n!}{\hat{A}}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{d}{d\alpha }\left(\frac{{\alpha }^n}{n!}{\hat{A}}^n\right)$

步骤2：计算每一项的导数

• 当 $n=0$ 时：$\frac{d}{d\alpha }\left(\frac{{\alpha }^0}{0!}{\hat{A}}^0\right)=\frac{d}{d\alpha }(1)=0$（常数的导数为0）；
• 当 $n\ge 1$ 时：利用幂函数求导公式 $\frac{d}{d\alpha }{\alpha }^n=n{\alpha }^{n-1}$，得：

$\frac{d}{d\alpha }\left(\frac{{\alpha }^n}{n!}{\hat{A}}^n\right)=\frac{n{\alpha }^{n-1}}{n!}{\hat{A}}^n=\frac{{\alpha }^{n-1}}{(n-1)!}{\hat{A}}^n$

步骤3：整理求和指标并化简

令 $m=n-1$（则 $n=m+1$），导数级数可改写为：

$\frac{d}{d\alpha }{e}^{\alpha \hat{A}}={\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^m}{m!}{\hat{A}}^{m+1}=\hat{A}{\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^m}{m!}{\hat{A}}^m$

注意到 ${\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{{\alpha }^m}{m!}{\hat{A}}^m=e^{\alpha \hat{A}}$，因此：

$\frac{d}{d\alpha }{e}^{\alpha \hat{A}}=\hat{A}{e}^{\alpha \hat{A}}=e^{\alpha \hat{A}}\hat{A}$

（算符乘法默认交换律，故 $\hat{A}{e}^{\alpha \hat{A}}=e^{\alpha \hat{A}}\hat{A}$）

结论

通过幂级数定义和算符运算规则，三个性质均得到严格证明：

1. 指数加法法则：$e^{(\alpha +\beta )\hat{A}}=e^{\alpha \hat{A}}{e}^{\beta \hat{A}}$；
2. 求导法则：$\frac{d}{d\alpha }{e}^{\alpha \hat{A}}=e^{\alpha \hat{A}}\hat{A}$。