状态转移概率计算

状态转移概率计算

2025/07/20·StepFun can make mistakes, check important info.

e513790f7e9242efa08882808e8374d3~tplv-9xxiciwj9y-image.image

Reason

思考过程

首先，问题是关于一个状态转移的过程，有四个状态，向右走的成功概率是0.5。过程从状态2开始，到状态1结束，目标是求成功到达状态4的概率。这听起来像是一个马尔可夫链或随机游走的问题。

我需要理解状态和转移。既然有四个状态，我假设它们是1、2、3、4。过程从2开始，结束在1，但目标是到达4。这有点令人困惑，因为结束在1和到达4似乎是冲突的。可能我误解了。

再读问题：“从2开始，到1结束”——可能“到1结束”意味着状态1是吸收态或终止状态，但我们要计算到达状态4的概率。但状态1是结束点，怎么同时追求到达4？这不合逻辑。或许“到1结束”是误译或误解。

另一个想法：可能“到1结束”指的是过程必须最终到达状态1，但我们要计算在到达1之前先到达4的概率。或者，状态1和4都是吸收态，我们要求从2开始，先被4吸收的概率。

但问题说“成功到达4的概率”，所以可能状态4是目标，状态1是另一个吸收态，我们要求从2开始，最终被4吸收的概率，而不是被1吸收。

但问题说“到1结束”，所以状态1是吸收态，过程在到达1时停止。但我们要到达4，所以如果到达1就停止了，怎么到达4？除非状态4也是吸收态，但过程在到达1或4时停止。

我需要假设状态1和4都是吸收态，过程从2开始，直到到达1或4时停止，我们要求到达4的概率。

这似乎合理。否则，如果只有状态1是吸收态，那么最终肯定会到达1，但4是中间状态，到达4后可能还会移动到其他状态，但问题说“成功到达4”，所以可能4也是吸收态，或者过程在到达4时成功。

但问题说“到1结束”，所以状态1是明确的结束状态。因此，最合理的解释是：状态1和4都是吸收态（一旦到达就不再转移），过程从状态2开始，直到被1或4吸收，我们要求被4吸收的概率。

现在，有四个状态，所以状态是1,2,3,4。转移规则：“向右走成功概率0.5”。既然有四个状态，可能是线性的：1-2-3-4，所以向右走意味着从i到i+1，但状态1是结束状态，所以可能状态1不能向右走。

定义状态空间：假设状态是1,2,3,4，其中1和4是吸收态（到达后停留）。非吸收态是2和3，它们可以转移。

“向右走”：可能意味着从当前状态向右移动。既然有四个状态，可能是顺序的：1,2,3,4，从左到右。所以从状态2，向右走是到状态3；从状态3，向右走是到状态4。

但“向右走成功概率0.5”，所以可能还有向左走或其他。

问题没有指定向左走的概率。只说“向右走成功概率0.5”，但没有说如果向左走或失败的概率。

或许“成功概率”意味着向右移动是概率0.5，否则可能停留在原地或向左，但问题不明确。

另一个常见设定是：在随机游走中，从状态i，以概率p向右到i+1，概率q向左到i-1，但这里只有向右的成功概率给出，没有向左。

或许这是一个有反射壁或边界的随机游走。

再读问题：“四个states，向右走成功概率0.5”，可能意味着每次尝试向右移动，成功（移动到右边状态）的概率是0.5，否则可能移动到左边或停留。

但问题没有指定失败时的行为。

或许在四个状态的线性链中，状态1和4是吸收态，状态2和3可以转移到邻居。

从状态2，可以向右到3，或向左到1？但状态1是吸收态，所以如果向左到1，就吸收了。

类似地，从状态3，向右到4（吸收），向左到2。

“向右走成功概率0.5”可能意味着从任何状态，尝试向右移动，成功概率0.5，但如果不能向右移动（如在状态4或1），就不能；但由于1和4是吸收态，只有2和3可以转移。

所以，对于状态2：可以向右到3，概率0.5；但“成功概率”可能暗示如果成功就到右边，否则可能到左边或停留。

但问题没有说“否则”发生什么。

或许这是一个简单的二分移动：以概率0.5向右，以概率0.5向左，但状态1是吸收态，所以从2向左到1就吸收。

类似地，从3向左到2，向右到4吸收。

从4和1不能移动。

这似乎合理，因为“向右走成功概率0.5”可以解释为移动方向：以0.5概率成功向右，以0.5概率失败向左（因为只有两个方向）。

在标准随机游走中，通常有对称的左右概率。

所以，我假设：对于非吸收态状态2和3：

从状态2：以概率0.5向右移动到状态3，以概率0.5向左移动到状态1（吸收）
从状态3：以概率0.5向右移动到状态4（吸收），以概率0.5向左移动到状态2

状态1和4是吸收态，一旦到达就停留。

过程从状态2开始，我们要求最终被状态4吸收的概率，而不是被状态1吸收。

是的，这设定清晰。

现在，计算从状态2开始，被4吸收的概率。

设 $p_{i}$ 为从状态 i 开始被状态 4 吸收的概率。

我们需要 $p_{2}$ 。

对于吸收态： $p_{1} = 0$ （因为一旦在状态 1，无法到达 4）， $p_{4} = 1$ （已经在状态 4）。

对于状态 2 和 3，建立方程。

从状态 2，以 0.5 的概率前往状态 3（然后有 $p_{3}$ 的概率被 4 吸收），以 0.5 的概率前往状态 1（然后有 $p_{1} = 0$ 的概率被 4 吸收）。

所以， $p_{2} = 0.5 \times p_{3} + 0.5 \times p_{1} = 0.5 \times p_{3} + 0.5 \times 0 = 0.5 p_{3}$

类似地，从状态 3，以 0.5 的概率前往状态 4（ $p_{4} = 1$ ），以 0.5 的概率前往状态 2（ $p_{2}$ ）。

所以， $p_{3} = 0.5 \times p_{4} + 0.5 \times p_{2} = 0.5 \times 1 + 0.5 \times p_{2} = 0.5 + 0.5 p_{2}$

现在，我们有两个方程：

$p_{2} = 0.5 p_{3}$
$p_{3} = 0.5 + 0.5 p_{2}$

代入。

从方程 1， $p_{3} = 2 p_{2}$ （因为 $p_{2} = 0.5 p_{3}$ 所以 $p_{3} = 2 p_{2}$ ）

代入方程 2： $2 p_{2} = 0.5 + 0.5 p_{2}$

解方程：

$2 p_{2} - 0.5 p_{2} = 0.5$

$1.5 p_{2} = 0.5$

$p_{2} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}$

所以，概率是 $\frac{1}{3}$ 。

验证。

从状态 2，概率 $p_{2} = \frac{1}{3}$

然后 $p_{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

检查方程 2： $p_{3} = 0.5 + 0.5 \times \frac{1}{3} = 0.5 + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ，正确。

直观上，从状态 2，有 50% 的机会直接去 1 并失败，50% 的机会去 3。从状态 3，有 50% 的机会直接去 4 并成功，50% 的机会回 2。所以，这是一个小概率游戏。

概率 $\frac{1}{3}$ 看起来合理。

但问题中说“从2开始，到1结束”，但在我们的计算中，我们考虑了被 4 吸收的概率，而“结束于 1”是当没有被吸收时的结果。

但在上下文中，应该是正确的。

另一种方式：最终被吸收在 4 的概率。

由于链是马尔可夫链，吸收概率是标准解法。

所以，从状态 2 开始，成功到达状态 4 的概率是 $\frac{1}{3}$ 。

但问题提到“四个 states”，我们只用了两个非吸收态状态，但状态 1 和 4 是吸收态，所以没问题。

状态是 1,2,3,4，全部覆盖。

所以，答案应为 $\frac{1}{3}$ 。

但让我确认一下初始条件。

“从2开始，到1结束”——在计算中，我们从 2 开始，并可能以概率 $\frac{1}{3}$ 结束于 4，或以概率 $\frac{2}{3}$ 结束于 1。

但“到1结束”可能只是描述结束状态，而不是说我们必须结束于 1；但在这个概率中，我们想要的是结束于 4。

我认为这是对的。

也许“到1结束”意味着状态 1 是唯一的吸收态，但那样的话，过程会最终到达 1，而到达 4 只是中途，但“成功到达4”可能意味着在到达 1 之前访问 4。

但问题说“成功到达4的概率”，而“到1结束”表示过程在 1 结束，所以可能是在到达 1 之前访问 4 的概率。

让我检查一下这种解释。

假设状态 1 是唯一的吸收态。过程从状态 2 开始，在到达状态 1 时停止。我们想要在到达状态 1 之前访问过状态 4 的概率。

但状态 4 是状态之一，所以我们需要在路径中访问状态 4 的概率，然后再到达吸收态状态 1。

但在这个设定中，状态 4 可能不是吸收态；它只是一个我们可能访问的状态。

但问题中提到“四个states”，以及“向右走”，所以可能状态是连通的。

假设状态是 1,2,3,4 线性排列，状态 1 是吸收态（到达后停止）。状态 2、3、4 是可转移的，但状态 4 可能不是吸收态。

但“向右走”可能意味着从 i 到 i+1，但状态 4 的右边没有状态，所以可能需要边界条件。

此外，“到1结束”表明状态 1 是吸收态。

但状态 4 呢？如果状态 4 不是吸收态，那么从状态 4 出发，可能可以向左或向右，但状态 4 是末端，所以可能只能向左移动。

这变得复杂了。

也许状态 1 和 4 都是可能结束的地方，但问题中指定了“到1结束”，所以可能状态 1 是唯一的吸收态。

但那样的话，“成功到达4”可能意味着访问状态 4 而未被吸收，但过程在状态 1 结束，所以访问状态 4 是可能的。

但“到达”可能是指首次到达状态 4。

我们来澄清一下。

第一种解释（吸收概率）：状态 1 和 4 是吸收态，我们要求被状态 4 吸收的概率。我们得到的是 1/3。

第二种解释（访问概率）：只有状态 1 是吸收态，我们要求从状态 2 开始，在首次到达状态 1 之前访问状态 4 的概率。

在第二种解释中，状态 4 不是吸收态，所以从状态 4，我们可能会移动，然后最终到达状态 1。

但“向右走”的概率没有被定义。

例如，从状态 4，如果它是末端，可能只能向左移动。

假设一个线性链：状态 1（吸收），2，3，4。转移：从状态 2，以 0.5 的概率向右到状态 3，以 0.5 的概率向左到状态 1（吸收）。从状态 3，以 0.5 的概率向右到状态 4，以 0.5 的概率向左到状态 2。从状态 4，由于是末端，可能只能向左到状态 3，概率为 1，或者“向右走”不可能，但题目没有说明。

题目说“向右走成功概率0.5”，但并没有说明在无法向右移动时会发生什么。

这很模糊。

在第一种解释中，我们假设状态 4 也是吸收态，这样更清晰，并且与“到达4”作为成功的目标一致。

此外，在题目中“成功到达4”和“到1结束”是并列的，所以可能有两个结束状态。

在概率上，1/3 是一个合理的数字。

另一种方式：也许“到1结束”并不是字面上的结束，而是过程最终会到达状态1，但我们关心的是在到达状态1之前是否先到达状态4。

但那样的话，状态4可能就不是吸收态。

但为了定义访问概率，我们需要转移概率。

假设状态是1、2、3、4，状态1是吸收态。状态2、3、4之间可以移动。

从状态2：以0.5的概率到状态3（右），以0.5的概率到状态1（左，吸收）。

从状态3：以0.5的概率到状态4（右），以0.5的概率到状态2（左）。

从状态4：假设只能到状态3，概率为1（因为无法向右，所以可能以概率1向左）。

或者，如果“向右走”在状态4不可能，那么可能以概率1停留在状态4或向左移动，但状态1是唯一的吸收态，所以可能从状态4以概率1移动到状态3。

我们假设从状态4，以概率1向左移动到状态3。

那么，状态空间是：状态1吸收。状态2、3、4是瞬变态。

我们要求从状态2开始，在首次到达状态1之前访问状态4的概率。

设 $q_{i}$ 为从状态 i 开始，在首次到达状态1之前访问状态4的概率。

我们需要 $q_{2}$ 。

对于状态1，如果我们在状态1，已经到达吸收态但未访问过状态4（除非状态1是状态4，但状态1和4不同），所以 $q_{1} = 0$ 。

对于状态4，如果我们在状态4，那么我们已经访问了状态4，并且在到达状态1之前，所以 $q_{4} = 1$ ，但访问发生在状态4，然后我们移动到状态3，最终到达状态1，但在到达状态1之前，我们已经访问了状态4，所以是的，从状态4开始，概率是1。

更严谨地说：在首次到达状态1之前访问状态4的概率。从状态4开始，我们在到达状态1之前已经访问了状态4（除非状态4是状态1，但不是），所以是的， $q_{4} = 1$ 。

现在，对于状态2和状态3。

从状态2：以0.5的概率移动到状态3，然后从状态3开始，有 $q_{3}$ 的概率在到达状态1之前访问状态4。

以0.5的概率移动到状态1（吸收态），但在这种情况下，我们在到达状态1时停止，但从未访问过状态4（因为状态1不是状态4），所以访问概率为0。

所以， $q_{2} = 0.5 \times q_{3} + 0.5 \times 0 = 0.5 q_{3}$

从状态3：以0.5的概率移动到状态4，然后从状态4开始，有 $q_{4} = 1$ 的概率（因为已经访问过），所以贡献为1。

以0.5的概率移动到状态2，然后从状态2开始，有 $q_{2}$ 的概率。

所以， $q_{3} = 0.5 \times q_{4} + 0.5 \times q_{2} = 0.5 \times 1 + 0.5 \times q_{2} = 0.5 + 0.5 q_{2}$

现在，方程如下：

$q_{2} = 0.5 q_{3}$
$q_{3} = 0.5 + 0.5 q_{2}$

和之前完全一样！

所以， $q_{2} = 0.5 q_{3}$

$q_{3} = 0.5 + 0.5 q_{2}$

那么，从方程1， $q_{3} = 2 q_{2}$

代入： $2 q_{2} = 0.5 + 0.5 q_{2}$

$2 q_{2} - 0.5 q_{2} = 0.5$

$1.5 q_{2} = 0.5$

$q_{2} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}$

和之前一样。

在吸收概率的情境中，我们得到了被状态4吸收的概率，在访问概率的情境中，我们得到了在到达状态1之前访问状态4的概率，但在这两种情况下，由于状态4是吸收态（在第一种情况）或不是（在第二种情况），但概率是相同的。

在访问概率的情境中，状态4不是吸收态，但概率公式类似。

而在两种情况下，从状态2开始，成功（被4吸收或访问4）的概率都是1/3。

此外，在访问概率的情境中，从状态2出发，在到达状态1之前访问状态4的概率是1/3。

但在这个计算中，当我们在状态3并前往状态4时，我们访问了状态4，然后从状态4前往状态3，最终可能到达状态1，但我们在首次到达状态1之前已经访问了状态4。

是的。

所以，无论哪种解释，概率都是1/3。

因此，答案应为 $\frac{1}{3}$ 。

现在，把答案框起来。

所以，成功到达状态4的概率是 $\frac{1}{3}$ 。

根据问题描述，存在四个状态（state 1、2、3、4），过程从状态 2 开始，并在到达状态 1 时结束。目标是计算成功到达状态 4 的概率，其中“向右走”的成功概率为 0.5。

问题分析

状态转移设定：状态 1 是吸收态（过程在到达状态 1 时结束）。状态 2、3、4 为非吸收态，可以相互转移。
转移规则：
- 从状态 2：以概率 0.5 向右移动到状态 3，以概率 0.5 向左移动到状态 1（吸收）。
- 从状态 3：以概率 0.5 向右移动到状态 4，以概率 0.5 向左移动到状态 2。
- 从状态 4：由于无法向右移动（边界状态），以概率 1 向左移动到状态 3（因为“向右走”不可行，默认向左移动）。
目标：计算从状态 2 开始，在过程结束（到达状态 1）前成功到达状态 4 的概率。这等价于计算在首次到达状态 1 之前访问状态 4 的概率。

概率计算

定义 $q_{i}$ 为从状态 $i$ 开始，在首次到达状态 1 之前访问状态 4 的概率。

对于状态 1：如果起始于状态 1，则立即结束且未访问状态 4，因此 $q_{1} = 0$ 。
对于状态 4：一旦到达状态 4，即算作访问，因此 $q_{4} = 1$ 。
对于状态 2 和 3，建立方程：
- 从状态 2：以概率 0.5 移动到状态 3（随后访问概率为 $q_{3}$ )，以概率 0.5 移动到状态 1（吸收且未访问状态 4，贡献 0）。
  因此， $q_{2} = 0.5 \times q_{3} + 0.5 \times 0 = 0.5 q_{3}$ 。
- 从状态 3：以概率 0.5 移动到状态 4（访问概率为 $q_{4} = 1$ )，以概率 0.5 移动到状态 2（随后访问概率为 $q_{2}$ )。
  因此， $q_{3} = 0.5 \times 1 + 0.5 \times q_{2} = 0.5 + 0.5 q_{2}$ .

得到方程组：

$q_{2} = 0.5 q_{3}$
$q_{3} = 0.5 + 0.5 q_{2}$

求解

从方程 1 解出 $q_{3} = 2 q_{2}$ 。
代入方程 2：
$2 q_{2} = 0.5 + 0.5 q_{2}$
$2 q_{2} - 0.5 q_{2} = 0.5$
$1.5 q_{2} = 0.5$
$q_{2} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}$ .

验证

$q_{2} = \frac{1}{3}$
$q_{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
验证方程 2： $q_{3} = 0.5 + 0.5 \times \frac{1}{3} = 0.5 + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ，正确。

结论

从状态 2 开始，成功到达状态 4 的概率（即在过程结束前访问状态 4）为 $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$