首先，用户的问题是关于证明完全平方公式：对于任意实数 $a$ 和 $b$，有 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$。用户提供的“证明”部分已经引用了完全平方公式，但似乎只是在重复结论，没有展开推导过程。所以我的任务是补充完整的证明步骤。

完全平方公式的证明通常有两种方式：代数证明（利用多项式乘法）和几何证明（利用面积拼接）。这里更适合用代数证明，因为题目是代数形式。

步骤分解：

1. 展开左边：利用乘法的分配律，计算 $(a+b)(a+b)$。
2. 合并同类项：将展开后的项整理为右边的形式 $a^2+2ab+b^2$。
3. 验证任意性：说明对任意实数 $a$ 和 $b$，等式成立。

现在详细写出证明过程：

证明：

要证明对任意实数 $a$ 和 $b$，有 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$。

我们从左边开始，展开 $(a+b{)}^2$：
根据多项式乘法法则（或分配律），$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)$。
对第二个因式 $(a+b)$ 分别乘以第一个因式 $(a+b)$ 中的 $a$ 和 $b$，即：

\begin{align*}(a + b)(a + b) &= a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) \tag{分配律：乘法对加法的分配性} \\&= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \tag{继续对每个乘积展开} \\&= a^2 + ab + ab + b^2 \tag{计算单项式乘积（\( a \cdot a = a^2 \)，\( a \cdot b = ab \) 等）} \\&= a^2 + 2ab + b^2 \tag{合并同类项：\( ab + ab = 2ab \)}.\end{align*}

因此，对任意实数 $a$ 和 $b$，等式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 成立。

补充说明（可选）：

• 几何证明：若用面积理解，$(a+b{)}^2$ 可看作边长为 $a+b$ 的正方形，其面积可拆分为“边长为 $a$ 的正方形（面积 $a^2$）”“边长为 $b$ 的正方形（面积 $b^2$）”和“两个长为 $a$、宽为 $b$ 的矩形（每个面积 $ab$，总 $2ab$）”，加起来就是 $a^2+2ab+b^2$。
• 适用性：代数证明更通用，适用于任意实数（包括负数、零），而几何证明依赖图形的直观性（通常假设 $a,b\ge 0$）。

这样，证明过程就完整且严谨了。用户提供的原始“证明”只是陈述了结论，我通过展开多项式乘法和合并同类项，清晰地推导了等式成立。