我需要求解方程 $x^2+y^2+z^2=2025$ 的非负整数解的个数。非负整数意味着 $x,y,z$ 可以是0或正整数。

首先，我需要了解如何计算三个平方数之和等于一个给定数的解的个数。这涉及到数论中的平方和问题。

我回忆一下，一个数可以表示为三个平方数之和的条件。根据Legendre's three-square theorem，一个正整数可以表示为三个平方数之和当且仅当它不能写成 $4^a(8b+7)$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是非负整数。

但这里我需要的是解的个数，而不仅仅是是否可以表示。

我需要一个更直接的方法来计算解的个数。

一个方法是遍历所有可能的 $x,y,z$ 值，计算 $x^2+y^2+z^2=2025$，并计数满足等式的解。但由于2025不是很大，我可以考虑范围。

$x,y,z$ 是非负整数，所以它们的平方和等于2025。

首先，确定每个变量的最大可能值。由于 $x^2\le 2025$，所以 $x\le \lfloor \sqrt{2025}\rfloor$。

计算 $\sqrt{2025}$。我知道 $45^2=2025$，因为 $40^2=1600$, $5^2=25$, 交叉项 $2\times 40\times 5=400$，所以 $(40+5{)}^2=1600+400+25=2025$。是的，$45^2=2025$。

所以 $x,y,z$ 都可以从0到45。

但遍历所有可能的组合，$x$ 有46个可能值（0到45），同样 $y$ 和 $z$ 也是，所以总共有 $46^3=97336$ 个组合。这有点大，手动计算不现实，我需要一个更聪明的方法。

我可以固定一个变量，然后求解另外两个变量的方程。

例如，固定 $x$，然后我需要求解 $y^2+z^2=2025-x^2$。

对于每个固定的 $x$，$2025-x^2$ 是一个固定的数，我需要计算这个数可以表示为两个平方数之和的非负整数解的个数。

所以，问题归结为：对于一个给定的正整数 $n$，计算 $y^2+z^2=n$ 的非负整数解的个数。

这似乎是一个经典问题。

我记得，对于一个数 $n$，方程 $y^2+z^2=n$ 的非负整数解的个数等于 $n$ 的因子表示中与4同余于1的因子个数的两倍，或者类似的东西。我需要仔细回忆。

更精确地说，方程 $y^2+z^2=n$ 的解的个数与 $n$ 的质因数分解有关。

具体来说，如果 $n=2^a\times \prod p_i^{b_i}\times \prod q_j^{c_j}$，其中 $p_i\equiv 1(\mathrm{mod}4)$，$q_j\equiv 3(\mathrm{mod}4)$，那么解的个数是 $4\times \prod (b_i+1)$ 如果所有 $c_j$ 是偶数，否则为0。但这包括了正负整数解，而且包括零。

我需要非负整数解，包括零。

标准公式通常给出所有整数解，包括负数和零。

对于 $y^2+z^2=n$，解的个数通常包括正负值。

但在这里，我需要非负整数解，所以 $y\ge 0$, $z\ge 0$.

此外，解可以包括零。

一个常见的方法是使用公式，然后调整符号。

我可以考虑 $y$ 和 $z$ 的范围。

对于固定的 $n$，$y$ 可以从0到 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$，对于每个 $y$，检查 $n-y^2$ 是否是完全平方数。

这相对容易计算，尤其是当 $n$ 不是太大时。

在我们的问题中，$n=2025-x^2$，并且 $x$ 从0到45，所以 $n$ 从2025到0，但 $n$ 必须是非负的。

当 $x=45$，$n=2025-2025=0$，所以 $y^2+z^2=0$，只有解 $(y,z)=(0,0)$。

当 $x=44$，$x^2=1936$，$n=2025-1936=89$.

89是一个质数，且 $89\equiv 1(\mathrm{mod}4)$，所以它可以表示为两个平方数之和。

$89=8^2+5^2=64+25$，是的。所以解有 $(y,z)=(8,5),(5,8)$，并且也包括零？不，89不是平方数，所以没有零解。所以两个解：(8,5) 和 (5,8)。

但 $y$ 和 $z$ 可以相同吗？不，因为89不是平方数。

此外，零：如果 $y=0$，$z^2=89$，不是整数；同样 $z=0$ 不可能。所以只有两个解。

但在非负整数中，是的。

现在，对于每个 $x$，我需要计算 $r_2(n)$，即 $y^2+z^2=n$ 的表示数，但通常 $r_2(n)$ 包括所有整数解，正负都可以。

我需要定义清楚。

设 $r_2(n)$ 为 $y^2+z^2=n$ 的整数解 $(y,z)$ 的个数，包括负数和零。

那么，对于非负解，我需要考虑第一象限的解。

由于方程是对称的，我可以计算所有解，然后减去不必要的部分。

一个更好的方法是：对于给定的 $n$，$y^2+z^2=n$ 的非负整数解的个数等于 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ 向下取整，然后对于每个 $y$ 从0到 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$，检查 $n-y^2$ 是否为完全平方数。

这是一个简单的方法，对于每个 $n$ 可以在 $O(\sqrt{n})$ 时间内完成。

在我们的问题中，$n=2025-x^2$，并且 $x$ 从0到45，所以我可以为每个 $x$ 计算这个。

但 $x$ 有46个值，对于每个 $x$，计算 $n=2025-x^2$，然后计算 $y^2+z^2=n$ 的非负解数。

由于 $n$ 最大是2025，$\sqrt{n}\le 45$，所以对于每个 $n$，最多需要检查46个 $y$ 值（从0到45），但实际更少，因为 $y\le \lfloor \sqrt{n}\rfloor$。

但总计算量是 ${\sum }_{x=0}^{45}\lfloor \sqrt{2025-x^2}\rfloor +1$，这大约是积分，但可以计算。

我可以写一个小程序，但既然我是手算，我需要一个更高效的方法。

或许我可以利用对称性或其他性质。

另一个想法：因为方程是对称的，我可以考虑有序三元组，但既然变量是相同的，我需要考虑是否变量可区分。

在这个问题中，$x,y,z$ 都是变量，我认为它们是可区分的，因为它们是不同的变量。所以 (1,2,3) 和 (2,1,3) 是不同的解，除非指定顺序，但问题没有说有序或无序。

看问题："非负整数解的个数"，我认为是考虑有序三元组，因为通常在这种上下文中，除非指定组合，否则是有序的。

例如，对于 $x^2+y^2+z^2=k$，解通常是考虑有序对。

所以，我需要计算有序三元组 (x,y,z) 的个数，其中 $x,y,z\ge 0$ 是整数，且 $x^2+y^2+z^2=2025$.

所以，是的，顺序重要。

现在，回到方法。

我可以计算对于每个可能的 $n=2025-x^2$，但 $n$ 依赖于 $x$，所以最好固定 $x$.

由于 $x,y,z$ 是对称的，我可以假设 $x\le y\le z$ 避免重复计数，但那样会错过一些解，因为可以有相等的情况，而且顺序重要，所以如果我很麻烦。

例如，如果我有 (a,b,c) 且 a,b,c 都不同，那么有 6 个排列，但如果两个相等，有 3 个，等等。这可能会很混乱。

所以，可能直接计算更好。

但让我试试看能否找到公式。

首先，注意到 2025 = 45^2，所以它是平方数。

我可以利用平方和的性质。

另一个想法：方程 $x^2+y^2+z^2=n$ 的解的个数可以通过公式给出，但我不确定。

我回忆一下，对于三个平方和，有一个公式，但它可能很复杂。

我可以计算累计值。

让我开始计算小的 n 或部分和。

设 S = 2025。

对于每个 x 从 0 到 45，令 n_x = S - x^2。

然后对于每个 n_x，计算满足 y^2 + z^2 = n_x 的非负整数对 (y,z) 的数量。

设 r2(n) 为 y^2 + z^2 = n 的非负整数解的个数。

那么对于每个 x，数量是 r2(n_x)。

那么总解数是 sum_{x=0}^{45} r2(S - x^2)。

现在，我需要 r2(m) 对于 m = S - x^2。

r2(m) 是满足 y^2 + z^2 = m 的非负整数解的数量。

y 和 z 是对称的，所以我可以写 r2(m) = sum_{k=0}^{\floor{\sqrt{m}}} [ 如果 m - k^2 是完全平方数，则为 1，否则为 0 ]

更精确地说，对于每个 k 从 0 到 floor(sqrt(m))，如果 m - k^2 是完全平方数，那么有两个解： (k, sqrt(m-k^2)) 和 (sqrt(m-k^2), k)，除非 k = sqrt(m-k^2)，即 m - k^2 = k^2，所以 m = 2k^2，那么 k 和 z 相等，所以只有一个解 (k,k)。

如果 m - k^2 = 0，那么 z=0，所以解是 (k,0)，但只有当 k^2 = m 时成立。

让我定义得更好。

对于固定的 m，令 y 从 0 到 floor(sqrt(m))。

对于每个 y，令 t = m - y^2。

如果 t < 0，跳过，但既然 y <= floor(sqrt(m))，t >= 0。

如果 t 是一个完全平方数，令 z = sqrt(t)，那么 (y,z) 是一个解。

现在，如果 y != z，那么 (z,y) 是另一个不同的解，但由于我们列出所有有序对，当 y != z 时，对于每个这样的 y，我们得到一个解 (y,z)，而 (z,y) 将在我们取 y' = z 时被覆盖。

在遍历 y 时，对于每个 y，如果 t 是平方数，我们添加解 (y,z)，其中 z=sqrt(t)。

当 y 增加时，我们覆盖所有解，但每个解 (a,b) 只被计算一次，其中 a 是 y 的值，b 是 z 的值。

例如，m=25，y 从 0 到 5。

y=0，t=25，z=5，解 (0,5)

y=1，t=24，不是平方数

y=2，t=21，不是

y=3，t=16，z=4，解 (3,4)

y=4，t=9，z=3，解 (4,3)

y=5，t=0，z=0，解 (5,0)

所以解为：(0,5)、(3,4)、(4,3)、(5,0)。总共4个解。

注意，当 y ≠ z 时，我们有两个不同的有序对，当 y=z 时，只有一个。

在代码中，当我们遍历 y 时，对于每个 y，如果 t 是平方数，我们就添加一个解 (y,z)，所以当 y=z 时，只添加一次。

在 m=25 的情况下，我们有四个解。

另一个例子，m=0，y=0，t=0，z=0，解 (0,0)，只有一个解。

m=1，y=0，t=1，z=1，解 (0,1)；y=1，t=0，z=0，解 (1,0)。所以 (0,1)、(1,0)，两个解。

m=2，y=0，t=2，不是平方数；y=1，t=1，z=1，解 (1,1)。所以只有一个解：(1,1)。

好的。

所以一般来说，对于每个 m，r2(m) 可以通过遍历 y 从 0 到 floor(sqrt(m)) 并检查 m - y^2 是否为完全平方数来计算。

现在，在我们的情形中，m = S - x^2，其中 S=2025，x 从 0 到 45。

由于 S 是平方数，也许我可以利用这个性质。

注意 S - x^2 = (45 - x)(45 + x)，因为 45^2 - x^2 = (45-x)(45+x)。

是的，差平方公式。

所以 n_x = S - x^2 = (45 - x)(45 + x)。

现在，我需要的是 y^2 + z^2 = (45 - x)(45 + x)。

现在，45 - x 和 45 + x 都是整数，范围是从 x=0 时是 45 和 45，到 x=45 时是 0 和 90。

当 x=45 时，n_x=0，如上所述。

现在，为了计算 y^2 + z^2 = ab，其中 a = 45 - x，b = 45 + x。

但 a 和 b 是相关的，因为 b = 90 - a？设 a = 45 - x，则 b = 45 + x，并且由于 x >= 0，a 从 45 递减到 0，b 从 45 递增到 90。

并且 b = 90 - a？当 a=45，b=45；a=44，b=46；... a=0，b=90。所以 b = 90 - a？45 = 90 - 45，是的；44 = 90 - 46？90-46=44，是的；0=90-90，是的。所以 b = 90 - a。

所以 n_x = a * b = a * (90 - a)

其中 a = 45 - x，所以当 x 从 0 到 45 时，a 从 45 到 0。

所以 n_x = a * (90 - a)

我需要计算满足 y^2 + z^2 = a(90 - a) 的非负整数对 (y,z) 的数量。

但 a 是整数，从 0 到 45。

所以总解数为 sum_{a=0}^{45} r2( a * (90 - a) )

其中 r2(m) 是满足 y^2 + z^2 = m 的非负整数解的数量。

现在，r2(m) 可以通过我之前描述的方法计算。

由于 m = a(90 - a)，而 a 的范围很小，只有 46 个值（a 从 0 到 45），我可以为每个 a 计算 r2(m)。

此外，m = a(90 - a)，对于 a 从 0 到 45，m 从 0（当 a=0 或 a=45）到最大值在 a=45 时？a(90-a) 是二次函数，在 a=45 时，m=4545=2025；a=0 时，m=0；a=45 时，m=4545=2025？90-45=45，是的；但 a=45 时，n_x=45*45=2025，但 S - x^2，当 a=45，x=45-a=0？我之前定义了 a=45-x，所以当 x=0，a=45；x=45，a=0。

所以当 a=45，m= a*(90-a)=45*45=2025

当 a=0，m=0*90=0

当 a=30，m=30*60=1800，等等。

m 的范围是从 0 到 2025，但只有特定的值，因为 m 必须是 a(90-a) 的形式。

a 从 0 到 45，所以有 46 个可能的 m。

对于每个这样的 m，我需要计算 r2(m)。

r2(m) 可以通过检查每个 y 从 0 到 floor(sqrt(m)) 来计算，但 m 最大为 2025，sqrt(m)=45，所以对于每个 m，最多有 46 个 y 值需要检查（从 0 到 45），但实际更少。

由于 m 只有 46 个值，我可以计算每个 m 的 r2(m)。

但 r2(m) 依赖于 m，而 m 对于不同的 a 可能相同，但在这种情况下，m = a(90-a)，并且由于 90-a 由 a 决定，每个 a 对应一个唯一的 m，因为 a(90-a) 在 a 从 0 到 45 时是单射的？我们来验证一下。

函数 f(a) = a(90-a) = 90a - a^2，这是一个开口向下的二次函数，在 a=45 时取得最大值，f(45)=4545=2025，f(0)=0，f(1)=189=89，f(2)=288=176，f(44)=4446=2024，f(45)=2025。由于它是二次函数，对于 a 从 0 到 44.5，它是递增的，但 a 是整数，所以从 a=0 到 a=45，f(a) 从 0 增加到 2025，但 f(44)=4446=2024，f(45)=4545=2025，f(43)=4347=2021，f(42)=4248=2016，等等，全部不同，因为它是严格递增的？f(a+1) - f(a) = [ (a+1)(89-a) ] - [a(90-a)] = [89a +89 -a^2 -a] - [90a -a^2] = 89a +89 -a^2 -a -90a +a^2 = -2a +89。

当 a < 44.5 时，-2a +89 >0，所以当 a <=44 时，f(a+1) > f(a)，而当 a=44 时，f(45)-f(44)= -2*44 +89= -88+89=1>0，所以 f(45)>f(44)，并且所有值都是不同的，因为导数在整数点上是非零的。

f(a) = -a^2 +90a，差 f(a+1)-f(a) = - (a+1)^2 +90(a+1) + a^2 -90a = - (a^2 +2a+1) +90a +90 + a^2 -90a = -2a -1 +90 = 89 -2a。

所以当 a < 44.5 时，即 a <=44 时，f(a+1) - f(a) =89-2a >0，所以 f(45)>f(44)，且 f(45)-f(44)=89-88=1>0，所以是的，当 a 从 0 到 45 时，所有 f(a) 的值都是不同的。所以每个 a 对应一个唯一的 m。

因此，我需要为每个 a 从 0 到 45 计算 r2( a*(90-a) )。

然后求和。

现在，计算 r2(m) 对于每个 m。

r2(m) 是满足 y^2 + z^2 = m 的非负整数解的数量。

如前所述，我可以对每个 y 从 0 到 floor(sqrt(m)) 进行循环，并检查 m - y^2 是否为完全平方数。

由于 m 最大为 2025，y 最多到 45，并且有 46 个 m 值，总计算量是 46 * 46 = 2116，这是可以接受的。

但也许我可以列出所有可能的 m 并计算。

由于 m = a(90-a)，且 a 从 0 到 45，我可以计算每个 a 的 m，然后计算 r2(m)。

但为了高效，我可以写一个表格或逐步计算。

注意，r2(m) 可以通过已知公式或技巧求出。

但也许直接计算更简单。

让我开始计算一些值。

首先，当 a=0 时，m=0*90=0。

r2(0)：y^2 + z^2 = 0，所以 y=0, z=0。只有一个解：(0,0)。

所以 r2(0) = 1。

当 a=1 时，m=1*89=89。

89 是质数，且 89 ≡ 1 mod 4，所以可以表示为两个平方数之和：8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89。

解：y=0, t=89，不是平方数；y=1, t=88，不是；y=2, t=85，不是；y=3, t=80，不是；y=4, t=73，不是；y=5, t=64=8^2，所以 z=8；y=6, t=89-36=53，不是；y=7, t=89-49=40，不是；y=8, t=89-64=25=5^2，所以 z=5；y=9, t=89-81=8，不是平方数；更高不行。所以解为：(5,8)、(8,5)。所以有两个解。

如前所述。

当 a=2 时，m=2*88=176。

y 从 0 到 13，因为 sqrt(176)≈13.26。

y=0, t=176，不是平方数。

y=1, t=175，不是。

y=2, t=172，不是。

y=3, t=167，质数？不是平方数。

y=4, t=176-16=160，不是平方数。

y=5, t=176-25=151，不是。

y=6, t=176-36=140，不是。

y=7, t=176-49=127，不是。

y=8, t=176-64=112，不是。

y=9, t=176-81=95，不是。

y=10, t=176-100=76，不是。

y=11, t=176-121=55，不是。

y=12, t=176-144=32，不是平方数。

y=13, t=176-169=7，不是。

没有解？但 176 是偶数，且不是 4 的倍数？176 div 4=44，是 4 的倍数。

两个平方数之和：可能的组合？12^2=144，176-144=32，不是平方数。11^2=121，176-121=55，不是。10^2=100，76 不是。9^2=81，95 不是。8^2=64，112 不是。7^2=49，127 不是。6^2=36，140 不是。等等。那 4^2 + 12^2=16+144=160<176。0 和 sqrt(176) 不是整数。所以确实没有解？但 176 ≡ 0 mod 16？176 / 16 = 11，不是整数？16*11=176，是的。

一个数可以表示为两个平方数之和，当且仅当在它的质因数分解中，所有形如 4k+3 的质数的指数都是偶数。

176 = 16 * 11 = 2^4 * 11。

11 ≡ 3 mod 4，指数是 1，是奇数，所以确实不能被表示为两个平方数之和。

所以 r2(176) = 0。

好的，所以没有解。

现在，继续。

a=3，m=3*87=261。

261 除以 3=87，再除以 3=29。所以 3^2 * 29。

29 ≡ 1 mod 4，所以可以。

y 从 0 到 16（sqrt(261)≈16.15）

y=0，t=261，不是平方数。

y=1，t=260，不是。

y=2，t=257，是质数吗？257 是质数，257≡1 mod 4，但 257 不是平方数。

t=m-y^2，需要是平方数。

y=3，t=261-9=252，不是平方数。

y=4，t=261-16=245，245/49=5，所以 7^2 *5，不是平方数。

y=5，t=261-25=236，不是。

y=6，t=261-36=225=15^2，是！所以 z=15。

解 (6,15)

y=7，t=261-49=212，不是。

y=8，t=261-64=197，是质数吗？197≡1 mod 4，但也不是平方数。

y=9，t=261-81=180，不是。

y=10，t=261-100=161，不是。

y=11，t=261-121=140，不是。

y=12，t=261-144=117，不是。

y=13，t=261-169=92，不是。

y=14，t=261-196=65，不是。

y=15，t=261-225=36=6^2，所以 z=6。

解 (15,6)

y=16，t=261-256=5，不是平方数。

所以解为：(6,15)、(15,6)。所以有两个解。

现在，a=4，m=4*86=344。

344 除以 8=43，所以 8*43。

43≡3 mod 4，指数 1 是奇数，所以不能表示为两个平方数之和。检查：y=0 到18。

y=0，t=344，不是平方数。

y=1，t=343，7^3=343，是49的平方？7^3=343，但343是7^3，不是平方数。sqrt(343)≈18.52，18^2=324，19^2=361>343，324<343<361，343-324=19，不是零。所以不是平方数。

y=2，t=344-4=340，不是。

y=3，t=344-9=335，不是。

y=4，t=344-16=328，不是。

y=5，t=344-25=319，不是。

y=6，t=344-36=308，不是。

y=7，t=344-49=295，不是。

y=8，t=344-64=280，不是。

y=9，t=344-81=263，不是。

y=10，t=344-100=244，15.62^2，15^2=225，16^2=256>244，244-225=19，不是平方数。

y=11，t=344-121=223，不是。

y=12，t=344-144=200，不是平方数（14.14^2）。

y=13，t=344-169=175，不是。

y=14，t=344-196=148，不是。

y=15，t=344-225=119，不是。

y=16，t=344-256=88，不是。

y=17，t=344-289=55，不是。

y=18，t=344-324=20，不是。

没有解。正确，因为43≡3 mod 4 且指数为1。

a=5，m=5*85=425。

425=25*17=5^2 *17。

17≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到20（sqrt(425)≈20.615）

y=0，t=425，不是平方数。

y=1，t=424，不是。

y=2，t=421，不是。

y=3，t=416，不是。

y=4，t=400=20^2，是！所以 (4,20)

y=5，t=425-25=400=20^2，所以 (5,20)

y=6，t=425-36=389，不是。

y=7，t=425-49=376，不是。

y=8，t=425-64=361=19^2，所以 (8,19)

y=9，t=425-81=344，不是（之前）。

y=10，t=425-100=325，不是平方数（18^2=324，325-324=1，所以 18.02^2，不是整数）。

y=11，t=425-121=304，不是。

y=12，t=425-144=281，不是。

y=13，t=425-169=256=16^2，所以 (13,16)

y=14，t=425-196=229，不是。

y=15，t=425-225=200，不是。

y=16，t=425-256=169=13^2，所以 (16,13)

y=17，t=425-289=136，不是。

y=18，t=425-324=101，不是。

y=19，t=425-361=64=8^2，所以 (19,8)

y=20，t=425-400=25=5^2，所以 (20,5)

现在，列出解：(4,20)、(5,20)、(8,19)、(13,16)、(16,13)、(19,8)、(20,5)，还有 (20,4) 吗？y=4 时我们有 (4,20)，但 (20,4) 在 y=20 时：y=20，t=25，z=5，所以 (20,5)，不是 (20,4)。

类似地，y=5 时，(5,20)；y=20 时，(20,5)。

还有 (19,8) 和 (8,19)，(16,13) 和 (13,16)。

那么 (4,20) 和 (20,4) 呢？(20,4) 在 y=20 时：t=425-400=25，z=5，不是 4。所以没有 (20,4)。

类似地，没有 (5,20) 的对称解，等等。

所以解为：(4,20)、(20,5)、(5,20)、(8,19)、(19,8)、(13,16)、(16,13)。

(20,5) 和 (5,20) 都包含了。

所以总共 8 个解？列表： (4,20), (5,20), (8,19), (13,16), (16,13), (19,8), (20,5)，还有第七个？(20,4) 不存在，(4,20) 已经有了。

y=0 到 20，我得到了 7 个解？但 (4,20), (5,20), (8,19), (13,16), (16,13), (19,8), (20,5)。这是 7 个解。

但之前 y=13 时，(13,16)；y=16 时，(16,13)，等等。

有没有重复？没有。

但 425=5^2 * 17，两个平方和的表示：我知道公式是 4 * (e1+1) * ... 对于 p^k，但这里。

一般来说，对于 m，r2(m) 包含所有有序对。

在这个例子中，我们有 8 个解。

注意 425 = 5^2 * 17，而 17=1^2+4^2，所以可以组合。

但无论如何，我们有 8 个解。

现在，回到求和。

我需要为每个 a 从 0 到 45 计算这个。

这可能需要一些时间，但也许我可以写一个小程序，或者找到一种模式。

由于 m = a(90-a)，而 90 是常数，也许我可以计算 r2(m) 并求和。

但也许我可以利用平方和的总数有一个公式这一事实。

另一个想法：总和 sum_{x=0}^{45} r2(2025 - x^2) 是三个平方和为 2025 的解的数量，这正是我们想要的，但 r2 是用于两个平方的，所以 sum_{x} r2(S - x^2) 正是 x 固定时 y,z 的数量，所以是的，总和就是总数。

但为了计算，我需要计算它。

也许我可以列出所有可能的 y,z，然后设定 x，但类似。

由于 2025 很小，我可以考虑所有可能的平方数。

列出所有小于等于 2025 的平方数：0^2=0, 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100, 11^2=121, 12^2=144, 13^2=169, 14^2=196, 15^2=225, 16^2=256, 17^2=289, 18^2=324, 19^2=361, 20^2=400, 21^2=441, 22^2=484, 23^2=529, 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676, 27^2=729, 28^2=784, 29^2=841, 30^2=900, 31^2=961, 32^2=1024, 33^2=1089, 34^2=1156, 35^2=1225, 36^2=1296, 37^2=1369, 38^2=1444, 39^2=1521, 40^2=1600, 41^2=1681, 42^2=1764, 43^2=1849, 44^2=1936, 45^2=2025。

现在，我需要找出所有满足 a^2 + b^2 + c^2 = 2025 的三个平方数（允许重复，有序）。

所以，我可以固定 c，然后求解 a^2 + b^2 = 2025 - c^2。

c 从 0 到 45。

对于每个 c，计算 s_c = 2025 - c^2，然后找出满足 a^2 + b^2 = s_c 的非负整数对 (a,b)。

然后求和。

由于 c 有 46 个值，我可以计算每个 c 的 r2(s_c)。

s_c = 2025 - c^2，和之前一样。

为了节省时间，我可以计算 r2(m) 对于 m = s_c，但 m 依赖于 c。

因为我已经有了一些值，我可以继续。

让我制作一个表格。

让我从 c=0 开始：s=2025 - 0 = 2025。

r2(2025)。2025=45^2，所以 y^2 + z^2 = 2025。

y 从 0 到 45。

y=0，t=2025，z=45，解 (0,45)

y=1，t=2024，不是平方数。

y=2，t=2021，不是。

...

y=9，t=2025-81=1944，44.09^2？44^2=1936，45^2=2025，1944-1936=8，不是平方数。

y=15，t=2025-225=1800，不是平方数。

y=20，t=2025-400=1625，40.31^2？40^2=1600，41^2=1681>1625，1625-1600=25，所以 40^2 + 5^2=1600+25=1625，但 t=1625，z=sqrt(1625)=40.311，不是整数。40^2=1600，41^2=1681>1625，1681-1625=56，不是零。所以不是平方数。

y=25，t=2025-625=1400，不是。

y=30，t=2025-900=1125，不是。

y=35，t=2025-1225=800，不是。

y=40，t=2025-1600=425，之前我们有 r2(425)=8，但那是针对 (y,z)，这里 y 是固定的。

对于 y=40，t=425，z 需要满足 z^2=425，但 425 不是平方数，所以没有解。

y=45，t=0，z=0，解 (45,0)

还有 (0,45)，如上所述。

有没有其他解？例如，y=15，t=1800，不是平方数。

y=20，t=1625，不是。

y=24，t=2025-576=1449，38.09^2？38^2=1444，39^2=1521>1449，1449-1444=5，不是平方数。

y=27，t=2025-729=1296=36^2，成立！所以 (27,36)

类似地，y=36，t=2025-1296=729=27^2，所以 (36,27)

y=32，t=2025-1024=1001，不是。

y=33，t=2025-1089=936，不是。

y=34，t=2025-1156=869，不是。

y=35，t=800，不是。

y=39，t=2025-1521=504，不是。

y=41，t=2025-1681=344，不是。

y=42，t=2025-1764=261，不是平方数。

y=43，t=2025-1849=176，不是。

y=44，t=2025-1936=89，是质数，所以 (44,5) 和 (5,44)，但 y=44，t=89，z=sqrt(89) 不是整数？89 不是平方数，所以没有解。

y=45，t=0，z=0，(45,0)

y=0，(0,45)

y=27，(27,36)

y=36，(36,27)

还有更多吗？y=15，没有。

y=45，已包含。

那 (45,0) 和 (0,45) 呢。

还有 (27,36) 和 (36,27)。

那么 (9,42) 呢？9^2=81，42^2=1764，81+1764=1845<2025。

2025-1845=180，不是平方数。

或者 30^2=900，2025-900=1125，33.54^2？33^2=1089，34^2=1156>1125，1125-1089=36，所以 33^2 + 6^2=1089+36=1125，但 900+1125=2025？a^2 + b^2 =1125，但 c=30，s_c=2025-900=1125，然后 a^2 + b^2=1125。

对于 c=30，s=1125。

r2(1125)。

1125=25*45=5^2 * 3^2 * 5= 5^3 * 3^2。

1125 ÷ 25=45，45÷9=5，所以 2595=5^2 * 3^2 * 5 = 5^3 * 3^2。

质因数：3^2 * 5^3。

3≡3 mod 4，指数2是偶数；5≡1 mod 4，指数3是奇数。

对于两个平方之和，需要所有 ≡3 mod 4 的质数的指数为偶数，这里 3 的指数是 2，是偶数，5≡1 mod 4，所以可以。

y 从 0 到 33（sqrt(1125)≈33.54）

y=0，t=1125，不是平方数。

y=1，t=1124，不是。

...

y=3，t=1125-9=1116，不是。

y=4，t=1125-16=1109，不是。

y=5，t=1125-25=1100，不是。

y=6，t=1125-36=1089=33^2，是！所以 (6,33)

y=7，t=1125-49=1076，不是。

y=8，t=1125-64=1061，不是。

y=9，t=1125-81=1044，不是。

y=10，t=1125-100=1025，不是平方数（32^2=1024，1025-1024=1，所以 32.0156^2，不是整数）。

y=11，t=1125-121=1004，不是。

y=12，t=1125-144=981，不是。

y=13，t=1125-169=956，不是。

y=14，t=1125-196=929，不是。

y=15，t=1125-225=900=30^2，所以 (15,30)

y=16，t=1125-256=869，不是。

y=17，t=1125-289=836，不是。

y=18，t=1125-324=801，不是。

y=19，t=1125-361=764，不是。

y=20，t=1125-400=725，不是平方数（26.92^2？26^2=676，27^2=729>725，725-676=49，所以 26^2 + 7^2=676+49=725，但 t=725，z=sqrt(725)≈26.92，不是整数）。

y=21，t=1125-441=684，不是。

y=22，t=1125-484=641，是质数？641≡1 mod 4，但不是平方数。

y=23，t=1125-529=596，不是。

y=24，t=1125-576=549，不是。

y=25，t=1125-625=500，不是平方数。

y=26，t=1125-676=449，不是。

y=27，t=1125-729=396，不是。

y=28，t=1125-784=341，不是。

y=29，t=1125-841=284，不是。

y=30，t=1125-900=225=15^2，所以 (30,15)

y=31，t=1125-961=164，不是。

y=32，t=1125-1024=101，不是。

y=33，t=1125-1089=36=6^2，所以 (33,6)

所以解为：(6,33), (15,30), (30,15), (33,6)

所以有四个解。

回到 c=0，s=2025。

我们有 (0,45), (45,0), (27,36), (36,27)

还有更多吗？y=45，(45,0) 已包含。

y=0，(0,45)

y=27，(27,36)

y=36，(36,27)

y=15，t=2025-225=1800，不是平方数。

y=20，t=1625，不是。

y=24，t=2025-576=1449，38.09^2，38^2=1444，1449-1444=5，不是。

y=33，t=2025-1089=936，30.59^2？30^2=900，31^2=961>936，936-900=36，所以 30^2 + 6^2=900+36=936，但 t=936，z=sqrt(936)≈30.59，不是整数。

y=39，t=2025-1521=504，22.45^2？22^2=484，23^2=529>504，504-484=20，不是平方数。

y=40，t=425，不是平方数。

y=44，t=89，不是平方数。

y=1 到 26，可能没有。

那 (18,39) 呢？18^2=324，39^2=1521，324+1521=1845<2025。

2025-1845=180，不是平方数。

或者 (10,40)？100+1600=1700，2025-1700=325，不是平方数。

或者 (5,40)？25+1600=1625，2025-1625=400=20^2，但这是针对三个平方数，对于 c=5，s=2025-25=2000，然后 a^2+b^2=2000，但这里对于 c=0，是固定的。

所以对于 c=0，有四个解：(0,45), (45,0), (27,36), (36,27)

所以 r2(2025) = 4 对于 c=0 的情况。

但在 r2 中，是 (y,z) 对，所以是的。

现在，c=1，s=2025-1=2024。

r2(2024)。

2024 除以 8=253，因为 2024/8=253。

253=11*23。

所以 2024=8253=811*23。

11≡3 mod 4，指数 1 是奇数；23≡3 mod 4，指数 1 是奇数。所以不能表示为两个平方数之和。所以 r2(2024)=0。

类似地，c=2，s=2025-4=2021。

2021 是质数？检查：2021 除以 3：2+0+2+1=5 不能被 3 整除，除以 7：7288=2016，2021-2016=5，不能整除，除以 11：11183=2013，2021-2013=8，不能整除，除以 13：13155=2015，2021-2015=6，不能整除，除以 17：17118=2006，2021-2006=15，不能整除，除以 19：19106=2014，2021-2014=7，不能整除，除以 23：2387=2001，2021-2001=20，不能整除，下一个 29>sqrt(2021)~44.9，2969=2001，同上，3165=2015，2021-2015=6，不能整除，3754=1998，2021-1998=23，不能整除，4149=2009，2021-2009=12，不能整除，4347=2021？4347=43*(50-3)=2150-129=2021，正确。43*47=2021。

43 和 47 都是质数，且 43≡3 mod 4，47≡3 mod 4，指数都是 1，奇数，所以不能表示为两个平方数之和。所以 r2(2021)=0。

c=3，s=2025-9=2016。

2016=5763.5？2016/16=126，126/2=63，63/9=7，所以 2016=16126，但 126=263=297=23^27，所以 2016=1623^27=2^5 * 3^2 * 7。

7≡3 mod 4，指数 1 是奇数，所以不能。r2(2016)=0。

c=4，s=2025-16=2009。

2009，检查可除性：2+0+0+9=11 不能被 3 整除，除以 7：7287=2009？7280=1960，77=49，总和 1960+49=2009，正确。所以 7287。

287 除以 7：7*41=287，正确，所以 7^2 * 41。

41≡1 mod 4，7≡3 mod 4，指数 2 是偶数，所以可以。

y 从 0 到 44（sqrt(2009)≈44.82）

y=0，t=2009，不是平方数。

y=1，t=2008，不是。

...

y=7，t=2009-49=1960，不是。

y=14，t=2009-196=1813，不是。

y=21，t=2009-441=1568，不是。

y=28，t=2009-784=1225=35^2，正确！所以 (28,35)

y=35，t=2009-1225=784=28^2，所以 (35,28)

y=42，t=2009-1764=245，不是平方数（15.65^2）

其他 y 可能没有。所以解为：(28,35)、(35,28)。所以有两个解。

继续这样下去很慢，但也许我可以写一个小的计算器或者寻找更快的方法。

既然这是一个编程问题，但我是手算，也许我可以估计或找到模式。

另一个想法：三个平方和为 n 的解的数量有一个公式，但涉及到虚数，很复杂。

我可以利用 2025 是平方数这一事实。

或者注意到 x^2 + y^2 + z^2 = 45^2，所以 (x,y,z) 是球面上的点，但一样。

也许我可以考虑可能的组合。

让我尝试分组或对称值。

例如，当 x=y=z 时，45^2 /3 =2025/3=675，sqrt(675)≈25.98，25^2=625，26^2=676>675，所以不是整数。

或者当两个相等时。

但也许直接计算更简单。

让我计算累计值。

我从 c=0 开始：s=2025，r2=4（如前所述）

c=1：s=2024，r2=0

c=2：s=2021，r2=0

c=3：s=2016，r2=0

c=4：s=2009，r2=2（28,35 和 35,28）

c=5：s=2025-25=2000

2000=16*125=2^4 * 5^3

5≡1 mod 4，但指数 3 是奇数，2^4 可以。

对于两个平方和，当 4k+3 的质因子的指数为偶数时，这里没有 4k+3 的质数，所以可以。

y 从 0 到 44（sqrt(2000)≈44.72）

y=0，t=2000，不是平方数。

y=2，t=2000-4=1996，不是。

y=4，t=2000-16=1984，不是。

y=10，t=2000-100=1900，不是。

y=20，t=2000-400=1600=40^2，所以 (20,40)

y=28，t=2000-784=1216，不是。

y=32，t=2000-1024=976，不是。

y=34，t=2000-1156=844，不是。

y=40，t=2000-1600=400=20^2，所以 (40,20)

y=1，t=1999，不是。

等等。还有更多吗？

y=0 到 44。

y=5，t=2000-25=1975，不是。

y=15，t=2000-225=1775，不是。

y=25，t=2000-625=1375，不是。

y=30，t=2000-900=1100，不是。

y=35，t=2000-1225=775，不是。

y=44，t=2000-1936=64=8^2，所以 (44,8)

y=8，t=2000-64=1936=44^2，所以 (8,44)

所以解有：(20,40)、(40,20)、(8,44)、(44,8)

所以有四个解。

(20,40) 和 (40,20)，(8,44) 和 (44,8)。

是的。

所以 r2(2000)=4。

c=6，s=2025-36=1989。

1989，可被3整除：1+9+8+9=27，是，1989/3=663，663/3=221，221/13=17，所以 3^2 * 13 * 17。

13≡1 mod 4，17≡1 mod 4，3≡3 mod 4 指数2是偶数，所以可以。

y 从 0 到 44（sqrt(1989)≈44.6）

y=0，t=1989，不是平方数。

y=3，t=1989-9=1980，不是。

y=6，t=1989-36=1953，不是。

y=9，t=1989-81=1908，不是。

y=12，t=1989-144=1845，不是。

y=15，t=1989-225=1764=42^2，是！所以 (15,42)

y=18，t=1989-324=1665，不是。

y=21，t=1989-441=1548，不是。

y=24，t=1989-576=1413，不是。

y=27，t=1989-729=1260，不是。

y=30，t=1989-900=1089=33^2，所以 (30,33)

y=33，t=1989-1089=900=30^2，所以 (33,30)

y=42，t=1989-1764=225=15^2，所以 (42,15)

y=1，2，等等，可能没有。

所以解为：(15,42)、(42,15)、(30,33)、(33,30)

所以有四个解。

c=7，s=2025-49=1976。

1976=16123.5？1976/16=123.5？16123=1968，1976-1968=8，所以 16123 +8，不是整数倍。1976/8=247，247/13=19，所以 813*19=2^3 * 13 * 19。

13≡1 mod 4，19≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=8，s=2025-64=1961。

1961，检查：除以 37？3753=1961？3750=1850，37*3=111，总和 1961，正确。37 和 53 都是质数，37≡1 mod 4，53≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 44（sqrt(1961)≈44.28）

y=0，t=1961，不是。

y=5，t=1961-25=1936=44^2，所以 (5,44)

y=44，t=1961-1936=25=5^2，所以 (44,5)

y=1，t=1960，不是。

y=2，t=1957，不是。

等等。所以解为：(5,44)、(44,5)

所以有两个解。

c=9，s=2025-81=1944。

1944=16121.5？1944/16=121.5？16121=1936，1944-1936=8，所以 1944=16121 +8，不是。1944/8=243，243=813=3^5，所以 8*3^5=2^3 * 3^5。

3≡3 mod 4，指数5是奇数，所以不能。r2=0。

c=10，s=2025-100=1925。

1925=25*77=5^2 * 7 * 11。

7≡3 mod 4，指数1是奇数；11≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=11，s=2025-121=1904。

1904=16119，119=717，所以 16717=2^4 * 7 * 17。

7≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=12，s=2025-144=1881。

1881，可被3整除：1+8+8+1=18，是，1881/3=627，627/3=209，209/11=19，所以 3^2 * 11 * 19。

11≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=13，s=2025-169=1856。

1856=16116，116=429，所以 64*29=2^6 * 29。

29≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 43（sqrt(1856)≈43.08）

y=0，t=1856，不是平方数。

y=8，t=1856-64=1792，不是。

y=16，t=1856-256=1600=40^2，所以 (16,40)

y=20，t=1856-400=1456，不是。

y=24，t=1856-576=1280，不是。

y=28，t=1856-784=1072，不是。

y=32，t=1856-1024=832，不是。

y=40，t=1856-1600=256=16^2，所以 (40,16)

y=1 到 42，可能没有其他。

y=4，t=1856-16=1840，不是。

y=12，t=1856-144=1712，不是。

y=36，t=1856-1296=560，不是。

所以解为：(16,40)、(40,16)

有两个解。

c=14，s=2025-196=1829。

1829，检查：除以 31？3159=1829？3150=1550，31*9=279，总和 1829，正确。31 和 59 都是质数，31≡3 mod 4，59≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=15，s=2025-225=1800。

1800=100*18=2^3 * 3^2 * 5^2。

3≡3 mod 4，指数2是偶数，所以可以。

y=0 到 42（sqrt(1800)≈42.43）

y=0，t=1800，不是平方数。

y=6，t=1800-36=1764=42^2，所以 (6,42)

y=10，t=1800-100=1700，不是。

y=12，t=1800-144=1656，不是。

y=18，t=1800-324=1476，不是。

y=20，t=1800-400=1400，不是。

y=24，t=1800-576=1224，不是。

y=30，t=1800-900=900=30^2，所以 (30,30)

y=36，t=1800-1296=504，不是。

y=42，t=1800-1764=36=6^2，所以 (42,6)

y=1，2，等等，可能没有。

所以解为：(6,42)、(30,30)、(42,6)

三个解。

(6,42)、(42,6)、(30,30)。

是的。

所以 r2(1800)=3。

c=16，s=2025-256=1769。

1769，检查：除以 29？2961=1769？2960=1740，29*1=29，总和 1769，正确。29≡1 mod 4，61≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 42（sqrt(1769)≈42.06）

y=0，t=1769，不是。

y=7，t=1769-49=1720，不是。

y=14，t=1769-196=1573，不是。

y=21，t=1769-441=1328，不是。

y=28，t=1769-784=985，不是。

y=35，t=1769-1225=544，不是。

y=42，t=1769-1764=5，不是平方数。

y=1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,15,16,17,18,19,20,22,23,24,25,26,27,29,30,31,32,33,34,36,37,38,39,40,41, 可能没有。

y=17, t=1769-289=1480，不是。

y=23, t=1769-529=1240，不是。

y=31, t=1769-961=808，不是。

y=38, t=1769-1444=325，不是。

所以没有解？但 29 和 61 都是 1 mod 4，应该可以。

例如，29=5^2+2^2，61=5^2+6^2，所以组合。

y^2 + z^2 = 29*61。

29*61=1769。

可能的组合： (5,42) 5^2+42^2=25+1764=1789>1769。

(2,42) 4+1764=1768，1769-1768=1，所以 2^2 + 42^2 =4+1764=1768<1769。

1769-1768=1，所以 (42,1) 但 42^2 +1^2=1764+1=1765<1769。

(5,41) 25+1681=1706，1769-1706=63，不是平方数。

(6,41) 36+1681=1717，1769-1717=52，不是。

(10,41) 100+1681=1781>1769。

(15,38) 225+1444=1669，1769-1669=100=10^2，但那是三个平方数。

对于两个平方数：解应该是 (a,b) 满足 a^2 + b^2 =1769。

尝试 y=1, t=1768，不是平方数。

y=2, t=1765，1765/5=353，353 是质数？353≡1 mod 4，但 1765 不是平方数。

y=3, t=1769-9=1760，不是。

y=4, t=1769-16=1753，不是。

y=5, t=1769-25=1744=41.76^2？41^2=1681，42^2=1764，1764-1744=20，不是。

1744 - 1681=63，不是平方数。

y=6, t=1769-36=1733，不是。

y=7, t=1720，不是。

y=8, t=1769-64=1705，1705/5=341, 341/11=31，所以 51131，都是 1 或 3 mod 4，但 11 和 31 是 3 mod 4，指数为 1，所以不能是平方数，但 t 需要是平方数，1705 不是平方数。

y=9, t=1769-81=1688，不是。

y=10, t=1769-100=1669，1669-1681=-12，不是。

y=11, t=1769-121=1648，不是。

y=12, t=1769-144=1625，1625/25=65，所以 25*65，sqrt(1625)≈40.31，40^2=1600，41^2=1681>1625，1625-1600=25，所以 40^2 + 5^2=1600+25=1625，但 t=1625，z=40.312，不是整数。

y=13, t=1769-169=1600=40^2，是！所以 (13,40)

类似地 y=40, t=1769-1600=169=13^2，所以 (40,13)

y=14, t=1769-196=1573，不是。

等等。所以解为：(13,40)、(40,13)

所以有两个解。

我错过了 y=13。

所以 r2(1769)=2。

c=17, s=2025-289=1736。

1736=16108.5？1736/16=108.5？16108=1728，1736-1728=8，所以 1728+8，不是整数倍。1736/8=217，217/7=31，所以 8731=2^3 * 7 * 31。

7≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=18, s=2025-324=1701。

1701，可被3整除：1+7+0+1=9，是，1701/3=567，567/3=189，189/3=63，63/3=21，21/3=7，所以 3^5 * 7。

3≡3 mod 4，指数5是奇数，所以不能。r2=0。

c=19, s=2025-361=1664。

1664=16104，104=813，所以 128*13=2^7 * 13。

13≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 40（sqrt(1664)≈40.79）

y=0, t=1664，不是。

y=8, t=1664-64=1600=40^2，所以 (8,40)

y=40, t=1664-1600=64=8^2，所以 (40,8)

其他可能没有。所以 r2=2。

c=20, s=2025-400=1625。

1625=25*65=5^2 * 5 * 13 = 5^3 * 13。

13≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 40（sqrt(1625)≈40.31）

y=0, t=1625，不是。

y=5, t=1625-25=1600=40^2，所以 (5,40)

y=15, t=1625-225=1400，不是。

y=20, t=1625-400=1225=35^2，所以 (20,35)

y=25, t=1625-625=1000，不是。

y=35, t=1625-1225=400=20^2，所以 (35,20)

y=40, t=1625-1600=25=5^2，所以 (40,5)

所以解为：(5,40)、(40,5)、(20,35)、(35,20)

四个解。

c=21, s=2025-441=1584。

1584=1699，99=911，所以 16911=2^4 * 3^2 * 11。

11≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=22, s=2025-484=1541。

1541，检查：除以 23？2367=1541？2360=1380，23*7=161，总和 1541，正确。23≡3 mod 4，67≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=23, s=2025-529=1496。

1496=1693.5？1496/16=93.5？1693=1488，1496-1488=8，所以 1488+8，不是。1496/8=187，187/11=17，所以 81117=2^3 * 11 * 17。

11≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=24, s=2025-576=1449。

1449，可被3整除：1+4+4+9=18，是，1449/3=483，483/3=161，161/7=23，所以 3^2 * 7 * 23。

7≡3 mod 4，23≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=25, s=2025-625=1400。

1400=100*14=2^3 * 5^2 * 7。

7≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=26, s=2025-676=1349。

1349，检查：除以 19？1971=1349？1970=1330，19*1=19，总和 1349，正确。19≡3 mod 4，71≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=27, s=2025-729=1296=36^2，所以 y^2 + z^2 =1296。

y 从 0 到 36。

y=0, t=1296, z=36, (0,36)

y=6, t=1296-36=1260，不是。

y=12, t=1296-144=1152，不是。

y=18, t=1296-324=972，不是。

y=24, t=1296-576=720，不是。

y=30, t=1296-900=396，不是。

y=36, t=0, z=0, (36,0)

y=3, t=1296-9=1287，不是。

等等。还有更多吗？y=36, (36,0)

y=0, (0,36)

那 (18,30) 呢？18^2=324，30^2=900，324+900=1224<1296。

1296-1224=72，不是平方数。

或者 (6,36) 6^2+36^2=36+1296=1332>1296。

y=1, t=1295，不是。

y=2, t=1292，不是。

y=4, t=1296-16=1280，不是。

y=8, t=1296-64=1232，不是。

y=10, t=1296-100=1196，不是。

y=14, t=1296-196=1100，不是。

y=16, t=1296-256=1040，不是。

y=20, t=1296-400=896，不是。

y=22, t=1296-484=812，不是。

y=26, t=1296-676=620，不是。

y=28, t=1296-784=512，不是平方数（22.627^2）

y=32, t=1296-1024=272，不是。

y=34, t=1296-1156=140，不是。

所以只有 (0,36) 和 (36,0)。所以 r2=2。

但 1296=36^2，所以应该还有更多。

例如，12^2 + 36^2=144+1296=1440<1296？1440>1296？144+1296=1440，但 1296 是 s，y^2 + z^2=1296。

12^2=144，z^2=1296-144=1152，1152/64=18，所以 64*18，sqrt(1152)≈33.94，33^2=1089，34^2=1156>1152，1152-1089=63，不是平方数。

8^2 + 36^2=64+1296=1360>1296。

0 和 36 是有的，但 36 和 0 也有。

那 (18,30) 呢？18^2=324，30^2=900，324+900=1224<1296。

1296-1224=72，不是平方数。

或者 (24,24) 24^2+24^2=576+576=1152<1296。

1296-1152=144=12^2，但那是另一个平方数。

对于三个平方数，但这里对于两个平方数。

y=15, t=1296-225=1071，不是。

y=21, t=1296-441=855，不是。

y=27, t=1296-729=567，不是。

y=33, t=1296-1089=207，不是。

所以确实只有两个解：(0,36) 和 (36,0)。

但 1296 = 36^2，也可以写成其他平方数之和，例如 1296 = 0^2 + 36^2，或 36^2 + 0^2，但有没有像 12^2 + 36^2 这样的组合？12^2=144，36^2=1296，总和 1440>1296。

或者 6^2 + 36^2=36+1296=1332>1296。

或者 18^2 + 30^2=324+900=1224<1296。

或者 20^2 + 34^2=400+1156=1556>1296。

或者 14^2 + 34^2=196+1156=1352>1296。

10^2 + 34^2=100+1156=1256<1296，1296-1256=40，不是平方数。

8^2 + 34^2=64+1156=1220，1296-1220=76，不是。

4^2 + 36^2=16+1296=1312>1296。

2^2 + 36^2=4+1296=1300>1296。

1^2 + 36^2=1+1296=1297>1296。

0+36^2=1296。

所以只有 (0,36) 和 (36,0)。所以 r2=2。

c=28, s=2025-784=1241。

1241，检查：除以 17？1773=1241？1770=1190，17*3=51，总和 1241，正确。17≡1 mod 4，73≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 35（sqrt(1241)≈35.23）

y=5, t=1241-25=1216，不是。

y=7, t=1241-49=1192，不是。

y=11, t=1241-121=1120，不是。

y=13, t=1241-169=1072，不是。

y=17, t=1241-289=952，不是。

y=19, t=1241-361=880，不是。

y=23, t=1241-529=712，不是。

y=25, t=1241-625=616，不是。

y=29, t=1241-841=400=20^2，所以 (29,20)

y=31, t=1241-961=280，不是。

y=35, t=1241-1225=16=4^2，所以 (35,4)

y=20, t=1241-400=841=29^2，所以 (20,29)

y=4, t=1241-16=1225=35^2，所以 (4,35)

所以解为：(4,35), (35,4), (20,29), (29,20)

四个解。

c=29, s=2025-841=1184。

1184=1674，74=237，所以 32*37=2^5 * 37。

37≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 34（sqrt(1184)≈34.41）

y=0, t=1184，不是。

y=8, t=1184-64=1120，不是。

y=16, t=1184-256=928，不是。

y=24, t=1184-576=608，不是。

y=32, t=1184-1024=160，不是。

y=4, t=1184-16=1168，不是。

y=12, t=1184-144=1040，不是。

y=20, t=1184-400=784=28^2，所以 (20,28)

y=28, t=1184-784=400=20^2，所以 (28,20)

y=2, t=1184-4=1180，不是。

等等。所以解为：(20,28), (28,20)

两个解。

c=30, s=2025-900=1125。

之前对于 c=15，s=1125，我们有 r2=4：(6,33), (15,30), (30,15), (33,6)

是的。

所以 r2(1125)=4。

c=31, s=2025-961=1064。

1064=8133，133=719，所以 8719=2^3 * 7 * 19。

7≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=32, s=2025-1024=1001。

1001=71113，都是 3 mod 4 或 1，但 7 和 11 是 3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=33, s=2025-1089=936。

936=1658.5？936/16=58.5？1658=928，936-928=8，所以 928+8。936/8=117，117/9=13，所以 8913=2^3 * 3^2 * 13。

13≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 30（sqrt(936)≈30.59）

y=6, t=936-36=900=30^2，所以 (6,30)

y=30, t=936-900=36=6^2，所以 (30,6)

y=0, t=936，不是。

y=2, t=932，不是。

y=4, t=920，不是。

y=8, t=936-64=872，不是。

y=10, t=936-100=836，不是。

y=12, t=936-144=792，不是。

y=14, t=936-196=740，不是。

y=16, t=936-256=680，不是。

y=18, t=936-324=612，不是。

y=20, t=936-400=536，不是。

y=22, t=936-484=452，不是。

y=24, t=936-576=360，不是。

y=26, t=936-676=260，不是。

y=28, t=936-784=152，不是。

所以只有 (6,30), (30,6)

所以 r2=2。

c=34, s=2025-1156=869。

869=11*79，11≡3 mod 4，79≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=35, s=2025-1225=800。

800=8*100=2^5 * 5^2。

5≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 28（sqrt(800)≈28.28）

y=0, t=800，不是。

y=4, t=800-16=784=28^2，所以 (4,28)

y=8, t=800-64=736，不是。

y=12, t=800-144=656，不是。

y=16, t=800-256=544，不是。

y=20, t=800-400=400=20^2，所以 (20,20)

y=24, t=800-576=224，不是。

y=28, t=800-784=16=4^2，所以 (28,4)

y=1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,21,22,23,25,26,27, 可能没有。

所以解为：(4,28), (20,20), (28,4)

三个解。

c=36, s=2025-1296=729=27^2。

所以 y^2 + z^2 =729。

y 从 0 到 27。

y=0, t=729, z=27, (0,27)

y=3, t=729-9=720，不是。

y=9, t=729-81=648，不是。

y=15, t=729-225=504，不是。

y=18, t=729-324=405，不是。

y=21, t=729-441=288，不是。

y=24, t=729-576=153，不是。

y=27, t=0, z=0, (27,0)

y=1, t=728，不是。

y=2, t=725，不是。

y=5, t=729-25=704，不是。

y=6, t=729-36=693，不是。

y=7, t=729-49=680，不是。

y=8, t=729-64=665，不是。

y=10, t=729-100=629，不是。

y=11, t=729-121=608，不是。

y=12, t=729-144=585，不是。

y=13, t=729-169=560，不是。

y=14, t=729-196=533，不是。

y=16, t=729-256=473，不是。

y=17, t=729-289=440，不是。

y=19, t=729-361=368，不是。

y=20, t=729-400=329，不是。

y=22, t=729-484=245，不是。

y=23, t=729-529=200，不是。

y=25, t=729-625=104，不是。

y=26, t=729-676=53，不是。

所以只有 (0,27) 和 (27,0)。r2=2。

c=37, s=2025-1369=656。

656=16*41，41≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 25（sqrt(656)≈25.61）

y=4, t=656-16=640，不是。

y=8, t=656-64=592，不是。

y=12, t=656-144=512，不是平方数。

y=16, t=656-256=400=20^2，所以 (16,20)

y=20, t=656-400=256=16^2，所以 (20,16)

其他可能没有。所以 r2=2。

c=38, s=2025-1444=581。

581=7*83，7≡3 mod 4，83≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=39, s=2025-1521=504。

504=8*63=2^3 * 3^2 * 7。

7≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=40, s=2025-1600=425。

之前对于 c=5，s=2000，但这里是 425。

425=25*17=5^2 * 17。

17≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 20（sqrt(425)≈20.615）

y=5, t=425-25=400=20^2，所以 (5,20)

y=10, t=425-100=325，不是。

y=15, t=425-225=200，不是。

y=20, t=425-400=25=5^2，所以 (20,5)

y=1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19, 可能没有。

y=7, t=425-49=376，不是。

y=13, t=425-169=256=16^2，所以 (13,16)

y=16, t=425-256=169=13^2，所以 (16,13)

y=0, t=425，不是。

y=3, t=425-9=416，不是。

y=9, t=425-81=344，不是。

所以解为：(5,20), (20,5), (13,16), (16,13)

四个解。

c=41, s=2025-1681=344。

344=8*43，43≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=42, s=2025-1764=261。

261=9*29，29≡1 mod 4，所以可以。

y=0 到 16（sqrt(261)≈16.15）

y=3, t=261-9=252，不是。

y=6, t=261-36=225=15^2，所以 (6,15)

y=9, t=261-81=180，不是。

y=12, t=261-144=117，不是。

y=15, t=261-225=36=6^2，所以 (15,6)

y=1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16, 可能没有。

所以 (6,15), (15,6)

两个解。

c=43, s=2025-1849=176。

176=16*11，11≡3 mod 4，指数1是奇数，所以不能。r2=0。

c=44, s=2025-1936=89。

89 是质数，≡1 mod 4，所以有两个解：(5,8), (8,5)

所以 r2=2。

c=45, s=2025-2025=0。

r2(0)=1，解为 (0,0)

现在，总结每个 c 的 r2(s_c)。

c=0: 4

c=1: 0

c=2: 0

c=3: 0

c=4: 2

c=5: 4

c=6: 4

c=7: 0

c=8: 2

c=9: 0

c=10: 0

c=11: 0

c=12: 0

c=13: 2

c=14: 0

c=15: 3

c=16: 2

c=17: 0

c=18: 0

c=19: 2

c=20: 4

c=21: 0

c=22: 0

c=23: 0

c=24: 0

c=25: 0

c=26: 0

c=27: 2

c=28: 4

c=29: 2

c=30: 4

c=31: 0

c=32: 0

c=33: 2

c=34: 0

c=35: 3

c=36: 2

c=37: 2

c=38: 0

c=39: 0

c=40: 4

c=41: 0

c=42: 2

c=43: 0

c=44: 2

c=45: 1

现在，求和。

列出 r2 值：

0:4

1:0

2:0

3:0

4:2

5:4

6:4

7:0

8:2

9:0

10:0

11:0

12:0

13:2

14:0

15:3

16:2

17:0

18:0

19:2

20:4

21:0

22:0

23:0

24:0

25:0

26:0

27:2

28:4

29:2

30:4

31:0

32:0

33:2

34:0

35:3

36:2

37:2

38:0

39:0

40:4

41:0

42:2

43:0

44:2

45:1

现在，求和。

首先，c=0:4

c=1-3:0

c=4:2

c=5:4

c=6:4

c=7:0

c=8:2

c=9-15: 除了 c=13:2, c=15:3，其余为0，所以 c=9-12:0, c=13:2, c=14:0, c=15:3

c=16:2

c=17-18:0

c=19:2

c=20:4

c=21-26: 除了 c=24-26 为0，c=21-23 为0，所以全部为0

c=27:2

c=28:4

c=29:2

c=30:4

c=31-32:0

c=33:2

c=34:0

c=35:3

c=36:2

c=37:2

c=38-39:0

c=40:4

c=41:0

c=42:2

c=43:0

c=44:2

c=45:1

现在，逐步相加。

从 c=0 开始：4

c=4：2，累计 4+2=6

c=5：4，累计 6+4=10

c=6：4，累计 10+4=14

c=8：2，累计 14+2=16

c=13：2，累计 16+2=18

c=15：3，累计 18+3=21

c=16：2，累计 21+2=23

c=19：2，累计 23+2=25

c=20：4，累计 25+4=29

c=27：2，累计 29+2=31

c=28：4，累计 31+4=35

c=29：2，累计 35+2=37

c=30：4，累计 37+4=41

c=33：2，累计 41+2=43

c=35：3，累计 43+3=46

c=36：2，累计 46+2=48

c=37：2，累计 48+2=50

c=40：4，累计 50+4=54

c=42：2，累计 54+2=56

c=44：2，累计 56+2=58

c=45：1，累计 58+1=59

现在，c=1,2,3,7,9,10,11,12,14,17,18,21,22,23,24,25,26,31,32,34,38,39,41,43 都是 0，所以不加。

所以总和是 59。

但这是 sum_{x} r2(s_x)，其中 x 是 c，即固定 z，然后对 (x,y) 求和。

在总和中，对于每个固定的 z，我们有满足 x^2 + y^2 + z^2 = 2025 的 (x,y) 对数。

由于 x,y,z 是对称的，总解数应该是这个总和。

但在这个总和中，对于每个 z，我们计算了 (x,y) 对，所以总的三元组数应该是 sum_{z} r2(2025 - z^2)，这正是我们计算的。

我们得到了 59。

但让我验证一下是否漏掉了什么。

例如，当 z=0 时，s=2025，我们有 (x,y)=(0,45),(45,0),(27,36),(36,27)，所以四个三元组：(0,0,45)? 不，z 是固定的，所以对于 z=0，我们有 (x,y,0)，其中 x^2 + y^2=2025，所以 (0,45,0),(45,0,0),(27,36,0),(36,27,0)。但在整个总和中，当 z=0，我们有四个三元组。

类似地，当 z=45 时，s=0，所以 (x,y)=(0,0)，三元组 (0,0,45)。

在总和中，c=45 时，r2=1，所以 (x,y)=(0,0)，三元组 (0,0,45)。

现在，有没有 (0,0,45) 这样的三元组？有。

但 (0,45,0) 和 (45,0,0) 也包含在内。

现在，总三元组数是 59。

但让我检查一个小的值。

例如，当 z=15 时，s=1800，r2=3：(6,42),(42,6),(30,30)，所以三元组 (6,42,15),(42,6,15),(30,30,15)。

类似地。

现在，另一个：当 z=20，s=1625，r2=4：(5,40),(40,5),(20,35),(35,20)，所以 (5,40,20),(40,5,20),(20,35,20),(35,20,20)。

所有都包含在内。

现在，总数是 59。

但这是最终答案吗？

在总和 sum_{z} r2(s_z) 中，它计算了所有满足 x^2 + y^2 + z^2 = 2025 的有序三元组 (x,y,z)。

是的。

为了确认，我可以计算当 x=y=z 时，但 2025/3=675，不是平方数，所以没有等值解。

或者当两个为零时，但 (45,0,0) 包含在 z=0 中：当 z=0，x=45,y=0 或 x=0,y=45，所以 (45,0,0) 和 (0,45,0)，而当 x=0,z=0,y=45，但 x 是固定的。

在总和中，当 z=0，我们有 (45,0,0),(0,45,0),(27,36,0),(36,27,0)

当 y=0 固定时，但在这个总和中，我们固定 z，所以当 z=0，我们只考虑 z=0 的情况。

类似地，当 x=0 固定时，但在总和中，当 z 变化时，x 和 y 变化。

例如，三元组 (45,0,0) 是当 z=0, x=45,y=0 时包含的。

类似地，(0,45,0) 是当 z=0, x=0,y=45。

而 (0,0,45) 是当 z=45, x=0,y=0。

所以都包含在内。

现在，总共有 59 个三元组。

但让我再检查一下总和。

列出所有非零的 r2：

c=0:4

c=4:2

c=5:4

c=6:4

c=8:2

c=13:2

c=15:3

c=16:2

c=19:2

c=20:4

c=27:2

c=28:4

c=29:2

c=30:4

c=33:2

c=35:3

c=36:2

c=37:2

c=40:4

c=42:2

c=44:2

c=45:1

现在，分组求和。

首先，c=0,5,6,20,28,30,40：4,4,4,4,4,4,4？c=0:4, c=5:4, c=6:4, c=20:4, c=28:4, c=30:4, c=40:4。那是七个4：7*4=28

c=4,8,13,16,19,27,29,33,36,37,42,44：2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2？列表：c=4,8,13,16,19,27,29,33,36,37,42,44。那是12个2：12*2=24

c=15:3, c=35:3，所以两个3：6

c=45:1

现在，总和：28（来自4）+24（来自2）+6（来自3）+1=28+24=52，+6=58，+1=59。

是的。

所以总解数是59。

但这是对的吗？让我看看是否漏掉了明显的解。

例如，解 (0,0,45), (0,45,0), (45,0,0) 都包含了吗？是的，在总和中。

(15,30,30)：当 z=30，s=2025-900=1125，r2(1125)=4，包括 (15,30), (30,15)，所以三元组 (15,30,30), (30,15,30)，但 (30,30,15) 呢？当 z=15，s=1800，r2=3：(6,42),(42,6),(30,30)，所以 (30,30,15) 包含在 z=15 中。

类似地，(15,30,30) 在 z=30 中。

现在，另一个解：比如 (9,12,42)，9^2=81，12^2=144，42^2=1764，81+144=225，225+1764=1989，2025-1989=36，所以 9^2+12^2+42^2=81+144+1764=1989<2025，不是。

或者 (5,10,40)：25+100+1600=1725<2025。

或者 (20,20,35)：400+400+1225=2025？400+400=800，800+1225=2025，正确！所以 (20,20,35)

在总和中，当 z=35，s=2025-1225=800，r2(800)=3：(4,28),(20,20),(28,4)，所以三元组 (4,28,35), (20,20,35), (28,4,35)。所以 (20,20,35) 包含在内。

类似地，(20,35,20) 在 z=20 时：s=1625，r2=4 包括 (20,35)，所以 (20,35,20)

(35,20,20) 在 z=20 时：同上，或当 z=20，x=35,y=20。

所以都包含在内。

另一个解：(9,30,36) 9^2=81，30^2=900，36^2=1296，81+900=981，981+1296=2277>2025，太大了。

或者 (3,6,44) 9+36+1936=1981<2025。

2025-1981=44，不是平方数。

或者 (1,2,44) 1+4+1936=1941，2025-1941=84，不是平方数。

所以可能没有漏掉。

总三元组数：59。

但问题要求非负整数解，我认为包括零，是的。

所以答案应该是59。

但让我确认一下总和。

列出所有贡献：

c=0:4

c=4:2

c=5:4

c=6:4

c=8:2

c=13:2

c=15:3

c=16:2

c=19:2

c=20:4

c=27:2

c=28:4

c=29:2

c=30:4

c=33:2

c=35:3

c=36:2

c=37:2

c=40:4

c=42:2

c=44:2

c=45:1

现在，相加：4+2=6（直到c=4）

+4=10（c=5）

+4=14（c=6）

+2=16（c=8）

+2=18（c=13）

+3=21（c=15）

+2=23（c=16）

+2=25（c=19）

+4=29（c=20）

+2=31（c=27）

+4=35（c=28）

+2=37（c=29）

+4=41（c=30）

+2=43（c=33）

+3=46（c=35）

+2=48（c=36）

+2=50（c=37）

+4=54（c=40）

+2=56（c=42）

+2=58（c=44）

+1=59（c=45）

是的。

所以总数是59。