我需要求解方程 x2+y2+z2=2025 的非负整数解的个数。非负整数意味着 x、y、z 可以是 0 或正整数。
首先，2025 是一个完全平方数，因为 452=2025。所以，我需要找到三个非负整数的平方和等于 452。
一个直接的方法是遍历所有可能的 x、y、z 值，但那样计算量会很大，因为 x、y、z 都可以从 0 到 45，总共有 46×46×46=97336 种组合。虽然对计算机来说可行，但既然这是一个数学问题，我应该寻找更聪明的方法。
我记得有一个公式可以计算将 n 表示为三个平方数之和的方法数，但我不确定具体细节。可能是因为方程是对称的，我可以固定一个变量，然后求解另外两个。
由于方程是对称的，我可以假设 x≤y≤z 以避免重复计数，然后再乘以排列因子。
但 x、y、z 可以相等，所以需要小心处理。
或许我可以遍历所有可能的 x 值，然后对每个 x，求解 y2+z2=2025−x2，然后对每个这样的方程，找到满足条件的 y 和 z 对。
是的，这听起来更可行。因为对于每个 x，我需要求解 y2+z2=k，其中 k=2025−x2，然后统计满足 y2+z2=k 的非负整数对 (y,z) 的数量。
而统计将 k 表示为两个平方数之和的方法数是已知的，但需要处理 y 和 z 可以相同的情况，以及顺序是否重要。
在这个子问题中，由于 y 和 z 在方程中是对称的，但在原始问题中，x、y、z 都是变量，所以当我固定 x 时，y 和 z 可以互换，但在原始计数中，我们考虑有序三元组，所以 (y,z) 和 (z,y) 是不同的，除非 y=z。
所以，在统计 (y,z) 对时，我应该统计所有有序对，其中 y 和 z 是非负整数，且 y2+z2=k。
同样地，对于原始问题，我需要统计所有满足 x2+y2+z2=2025 的有序三元组 (x,y,z)。
所以，策略是：
-
对于 x 从 0 到 45，计算 k=2025−x2。
-
对于每个 k，统计满足 y2+z2=k 的非负整数对 (y,z) 的数量。
-
对所有 x 的统计结果求和。
现在，问题简化为：给定 k，统计满足 y2+z2=k 的非负整数对 (y,z) 的数量。
y 和 z 可以相同，也可以不同，顺序是重要的，所以 (y,z) 和 (z,y) 被认为是不同的，除非 y=z。
例如，如果 k=1，那么 (0,1) 和 (1,0) 是两个解。
如果 k=0，那么只有 (0,0)。
如果 k=2，那么 (1,1) 是一个解，因为 1^2 + 1^2 = 2，而 (0,\sqrt{2}) 不是整数。
所以，对于每个 k，我需要找到满足 y2+z2=k 的整数解的数量。
这涉及到将 k 表示为两个平方数之和的方法数。
我记得，对于给定的 k，将 k 表示为两个平方数之和的方法数（考虑顺序和符号）与 k 的质因数分解有关。
但在这个问题中，y 和 z 是非负整数，所以符号是固定的，我们只考虑非负解。
在标准公式中，通常包括正负整数，但这里我们只考虑非负整数。
所以，我需要调整一下。
设 n(k) 为满足 y2+z2=k 的非负整数对 (y,z) 的数量。
由于 y 和 z 是对称的，我可以先假设 y ≥ z ≥ 0，然后乘以 2，但如果 y=z，则乘以 1，但这样会很麻烦。
更好的方法是利用这样的事实：对于每个满足 y2+z2=k 的 (y,z)，当 y ≠ z 时，(y,z) 和 (z,y) 是两种不同的有序对，而当 y=z 时，只有一种。
但在计数时，我可以遍历所有可能的 y，然后 z 由 z = \sqrt{k - y^2} 决定，并且 z 必须是整数且非负。
所以，对于固定的 k，我可以让 y 从 0 到 \floor{\sqrt{k}}，对于每个 y，检查 k - y^2 是否是一个完全平方数。如果是，设 z = \sqrt{k - y^2}，那么 (y,z) 是一个解，并且由于 y 和 z 是非负的，且 z 由 y 决定，所以每个 y 最多对应一个 z。
在这个循环中，对于每个 y，如果 k - y^2 是完全平方数，那么我就有一个解 (y,z)，其中 z = \sqrt{k - y^2}。
但在这个解中，当 y ≠ z 时，我还需要考虑 (z,y)，但在这种计数方式中，当我固定 y 时，我只得到 (y,z)，而 (z,y) 会在我固定 y = z 时被包含，不对。
例如，k=1：y 从 0 到 1。
y=0：k - y^2 = 1，z=1，所以 (0,1)
y=1：k - y^2 = 0，z=0，所以 (1,0)
所以我有两个解：(0,1) 和 (1,0)。很好。
k=2：y 从 0 到 1（因为 \sqrt{2}≈1.414）
y=0：k - y^2 = 2，不是完全平方数。
y=1：k - y^2 = 2-1=1，z=1，所以 (1,1)
只有这一个解。很好。
k=0：y=0，k-y^2=0，z=0，所以 (0,0)。只有一个解。
k=5：y 从 0 到 2。
y=0：5-0=5，不是平方数。
y=1：5-1=4，z=2，所以 (1,2)
y=2：5-4=1，z=1，所以 (2,1)
所以有两个解：(1,2) 和 (2,1)。很好。
现在，回到原始问题，对于每个 x，k = 2025 - x^2，我需要计算 n(k)，即满足 y^2 + z^2 = k 的非负整数对的数量。
然后，对所有的 x 求和 n(k)。
由于 x 从 0 到 45，我可以计算每个 k 的 n(k)。
但 k = 2025 - x^2，并且 x^2 从 0 到 2025，所以 k 从 2025 到 0，递减。
而且，不同的 x 可能给出相同的 k，但由于我需要对每个 x 独立计算 n(k)，所以这没问题。
实际上，k 取决于 x，所以对于每个 x，我计算 n(2025 - x^2)。
现在，n(k) 可以通过检查 k - y^2 是否为完全平方数来计算，如前所述。
但也许我可以预先计算 n(k) 的值，或者找到一个更好的方法。
由于 2025 是固定的，我可以计算所有 k 的 n(k)，但 k 最大为 2025，所以有 2026 个可能的 k，对于每个 k，我需要计算 n(k)，这可能需要一些时间，但仍然是可行的。
但也许有一个数论方法。
我记得，将 k 表示为两个平方数之和的方法数（考虑顺序和符号）由公式给出：如果 k 有质因数分解 k = 2^a * ∏ p_i^{b_i} * ∏ q_j^{c_j}，其中 p_i ≡ 1 mod 4，q_j ≡ 3 mod 4，那么方法数是 4 * ∏ (b_i + 1)，如果所有 c_j 都是偶数，否则为 0。
但这是包括符号和顺序的。也就是说，它包括了 (y,z) 和 (-y,z) 等，以及 (z,y) 的排列。
标准公式：将 n 表示为两个平方数之和的整数解的数量（考虑顺序和符号）是 4 倍于将 n 表示为两个平方数之和的方法数（不考虑顺序和符号），在数论中通常是这样。
更精确地说：正整数 n 可以表示为两个平方数之和的方式数（考虑顺序和符号）是：
如果 n = 2^a * ∏ p_i^{b_i} * ∏ q_j^{c_j}，其中 p_i ≡ 1 mod 4，q_j ≡ 3 mod 4，那么：
如果某个 c_j 是奇数，则方法数为 0。
否则，方法数为 4 * ∏ (b_i + 1)。
例如，n=1：a=0，没有 p_i 或 q_j，所以 4*(1) = 4？但解为 (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)，所以是 4 个解。是的。
n=2：2^1，没有 p_i 或 q_j，c_j 都为 0（偶数），所以 4*1 = 4。解为：(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)。是的。
n=3：q_j=3，c_j=1 是奇数，所以为 0。确实，3 不能表示为两个平方数之和。
n=5：5≡1 mod 4，所以 b_i=1（指数），所以 4*(1+1)=8。解为：(1,2), (1,-2), (-1,2), (-1,-2), (2,1), (2,-1), (-2,1), (-2,-1)。是的。
但在我们的情况中，对于 n(k)，我们只想要非负整数解，所以 y ≥ 0，z ≥ 0。
在数论计数中，它包括了正负整数。
对于每个 (y,z)，其中 y>0 或 z>0，有四种组合：(--,--) 等，但具体来说，对于每个有序对（绝对值），有四种符号组合，除非其中一个为零。
在 n(k) 中，我们只考虑 y ≥ 0，z ≥ 0，所以没有负数。
此外，在数论计数中，它包括了所有有序对，包括那些 y 或 z 为负的情况。
所以，为了得到非负解，我需要从数论计数中排除负数解。
但也许更容易注意到，对于 k > 0，非负整数解的数量等于所有整数解的数量除以 4，但仅当没有解是零的时候？不是。
令 m(k) 表示满足 y^2 + z^2 = k 的整数解的数量（包括负数和正数）。
根据数论，m(k) 如上述给出。
那么，对于 k > 0，非负解的数量是多少？
每个非负解 (y,z) 对应四个解：(y,z), (-y,z), (y,-z), (-y,-z)，但仅当 y>0 且 z>0。
如果 y=0，z>0，那么解为 (0,z), (0,-z)，所以两个解。
类似地，如果 z=0，y>0，两个解。
如果 y=z=0，则 k=0，一个解。
所以，一般来说，对于 k > 0，令 p 表示满足 y>0 且 z>0 的解的数量。
令 q 表示 y=0 且 z≠0 的解的数量，但 z≠0 意味着 |z|>0，所以 q 是 z 的绝对值，但等等。
更好地说：令 a 表示满足 y>0 且 z>0 的解的数量。
令 b 表示 y=0 且 z≠0 的解的数量。由于 y=0，z^2 = k，所以如果 k 是完全平方数，则 z = ±√k，所以有两个解：(0,√k), (0,-√k)，因此 b=2 如果 k 是完全平方数，否则为 0。
类似地，令 c 表示 z=0 且 y≠0 的解的数量，所以 c=2 如果 k 是完全平方数，否则为 0。
注意 b 和 c 只有在 k 是完全平方数时才非零。
此外，当 y=0 且 z=0 时，仅当 k=0。
现在，所有整数解的总数 m(k) = 4a + 2b + 2c，但当 y=0 且 z≠0 时，它被包含在 b 中，类似地。
实际上，m(k) = 所有解的数量。
每个解 (y,z) 满足 y>0 或 y<0 等。
具体来说：
-
如果 y>0 且 z>0，有四个解：符号组合。
-
如果 y>0 且 z=0，那么解为：(y,0), (-y,0)，所以两个解。
类似地，如果 y=0 且 z>0：(0,z), (0,-z)，两个解。
如果 y=0 且 z=0，一个解。
在 m(k) 中，它包括了所有情况。
现在，非负解的数量，即 y≥0，z≥0，是：
-
当 y>0, z>0：有 a 个解，每个对应一个非负解 (y,z)。
-
当 y>0, z=0：有一个非负解 (y,0)，但在 m(k) 中，有两个解：(y,0) 和 (-y,0)，所以非负解是其中一个。
类似地，当 y=0, z>0：(0,z) 是非负解。
当 y=0, z=0：(0,0)。
所以，非负解的总数是：
a + [如果 y>0 且 z=0 的解存在，则加 1] + [如果 y=0 且 z>0 的解存在，则加 1] + [如果 (0,0) 存在，则加 1]。
但 y>0 且 z=0 的解存在当且仅当 k 是完全平方数，且 y=√k >0，所以是一个解。
类似地，y=0 且 z>0 当 k 是完全平方数。
而 a 是 y>0 且 z>0 的解的数量。
此外，当 k 是完全平方数时，设 s = √k，那么 y>0 且 z=0 的解是 (s,0)，所以有一个这样的解（在有序对中，但它是唯一的）。
在 m(k) 中，对于 y>0 且 z=0，有两个解：(s,0) 和 (-s,0)，但在非负解中，我们只取 (s,0)。
类似地，对于 y=0 且 z>0，取 (0,s)。
而对于 a，每个对应一个非负解。
另外，如果 k=0，则只有 (0,0)。
现在，m(k) = 4a + 2*(y>0,z=0 的解的数量) + 2*(y=0,z>0 的解的数量) + 1*[k=0]
但 y>0,z=0 的解的数量：如果 k 是完全平方数，则为 1（即 (s,0) 这个有序对，但在 m(k) 中，它表示两个带符号的实例？我把自己搞糊涂了。
也许更好的理解是：m(k) 是满足 y^2 + z^2 = k 的整数对 (y,z) 的数量。
每个非负解 (y,z) 且 y≥0, z≥0，对应 m(k) 中的一个解。
但 m(k) 包括了负数的解。
具体来说，对于每个非负解 (y,z)，其中 y>0, z>0，在 m(k) 中有四个副本：(y,z), (-y,z), (y,-z), (-y,-z)。
如果 y>0, z=0，在 m(k) 中有两个解：(y,0), (-y,0)。
如果 y=0, z>0，两个解：(0,z), (0,-z)。
如果 y=0, z=0，一个解：(0,0)。
所以，令 n(k) 表示非负解的数量。
那么 m(k) = 4 * n(k) 仅当所有解都有 y>0 且 z>0 时成立，但事实并非如此。
实际上，m(k) = 4a + 2b + 2c + d，其中 a 是 y>0, z>0 的解的数量，b 是 y>0, z=0 的数量，c 是 y=0, z>0 的数量，d 是 y=0, z=0 的数量。
但 b 和 c 是每个解，而不是数量。
定义：
令 A 为满足 y>0 且 z>0 的非负解 (y,z) 的数量。所以 A = a。
令 B 为满足 y>0, z=0 的非负解的数量。所以 B = 1 如果 k 是完全平方数，且 s=√k >0，否则为 0。
类似地，C 为满足 y=0, z>0 的非负解的数量。C=1 如果 k 是完全平方数，否则为 0。
令 D 为满足 y=0, z=0 的非负解的数量。D=1 如果 k=0，否则为 0。
那么 n(k) = A + B + C + D。
现在，在 m(k) 中，每个 A 类型的解对应 4 个解（符号变化）。
每个 B 类型的解对应 2 个解：(s,0), (-s,0)。
每个 C 类型的解对应 2 个解：(0,s), (0,-s)。
每个 D 类型的解对应 1 个解：(0,0)。
所以 m(k) = 4A + 2B + 2C + D。
由于 B 和 C 是 0 或 1，且 D 是 0 或 1。
此外，当 k > 0 时，D=0。
当 k 不是完全平方数时，B=0，C=0。
当 k 是完全平方数时，B=1，C=1，假设 k>0。
例如，k=1：n(k)=2：(0,1),(1,0)
A=0（没有 y>0,z>0），B=1（(1,0)），C=1（(0,1)），D=0。所以 n(k)=0+1+1+0=2。
m(k)=40 + 21 + 2*1 +0 = 4，正确。
k=2：n(k)=1：(1,1)
A=1（(1,1)），B=0（因为 z=0 但 y=√2 不是整数），C=0，D=0。n(k)=1。
m(k)=4*1 +0+0+0=4。
k=4：n(k)=3：(0,2),(2,0),(2,2)? 2^2 + 2^2=4，还有 (0,2),(2,0)，所以是三个解。
A=1（(2,2)？但 y=2>0,z=2>0），B=1（(2,0)），C=1（(0,2)），D=0。n(k)=1+1+1=3。
m(k)=41 + 21 + 2*1 +0 = 4+2+2=8。确实，解为：(2,2),(-2,2),(2,-2),(-2,-2),(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)。是的，8个解。
k=0：n(k)=1：(0,0)
A=0,B=0,C=0,D=1。n(k)=1。
m(k)=1。
现在，一般来说，m(k) = 4A + 2B + 2C + D。
但 A = n(k) - B - C - D。
由于 B 和 C 依赖于 k 是否为完全平方数。
设 s = floor(sqrt(k))，那么 n(k) 可以通过对 y 从 0 到 s 求和来计算，如果 k - y^2 是完全平方数，则加 1。
但也许对于这个问题，由于 k 最大为 2025，我可以计算每个 k 的 n(k)，但 k 是从 0 到 2025，有 2026 个值，对于每个 k，我需要检查 y 从 0 到 floor(sqrt(k))，看看 k - y^2 是否为完全平方数。
最坏情况下，对于每个 k，最多有 floor(sqrt(k)) + 1 ≈ 45 次检查，所以总共大约 2026 * 45 ≈ 91170 次检查，对于计算机来说可行，但既然这是数学题，也许有更好的方法。
注意，在原始问题中，k = 2025 - x^2，而 x 从 0 到 45，所以 k 取值于 {2025 - x^2 | x=0 到 45}，这是平方差，所以 k = (45 - x)(45 + x)。
因为 2025 - x^2 = (45 - x)(45 + x)。
而 x 从 0 到 45，所以 45 - x 从 45 到 0，45 + x 从 45 到 85。
令 a = 45 - x，b = 45 + x，那么 a 从 45 到 0，b 从 45 到 85，并且 b = 90 - a，因为 a + b = 90。
x = (b - a)/2，但既然 x 是整数，a 和 b 必须同奇同偶。
a = 45 - x，b = 45 + x，所以 b - a = 2x，是偶数，而 a + b = 90，是偶数，所以 a 和 b 都是整数，并且由于 x≥0，a≤45，b≥45，且 b = 90 - a。
所以 k = a * b = a(90 - a)。
现在，对于每个 a 从 0 到 45，k = a(90 - a)，我需要 n(k)，即满足 y^2 + z^2 = k 的非负整数对的数量。
但 k = a(90 - a)，而 a 从 0 到 45。
现在，n(k) 是满足 y^2 + z^2 = a(90 - a) 的解的数量。
但我不确定这是否有帮助。
也许我可以计算每个 a 的 n(k)。
由于 k 是确定的，我可以计算每个 x 的 n(2025 - x^2)。
但也许我可以编写一个小程序，但既然这是数学题，我应该手动计算，或者寻找模式。
另一个想法：三个平方和的总数可以通过公式给出，但我不记得了。
我可以利用 2025 是平方数这个事实，并且使用高斯圈的性质，但可能太高级了。
也许可以计算满足 x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2025 的解的数量，但我不需要这个。
让我们尝试计算小范围的 x 的 n(k)。
首先，x 从 0 到 45，k = 2025 - x^2。
当 x=45 时，k=0，n(k)=1（y=0,z=0）
当 x=44 时，k=2025 - 1936 = 89，89 是质数，且 89≡1 mod 4，所以它可以表示为两个平方数之和：89=8^2 + 5^2=64+25，所以 n(k)=2：(8,5),(5,8)？但 y 和 z 是非负整数，所以是的，两个解。
根据公式，m(k)=4*(指数 +1)，89 是质数 ≡1 mod 4，所以 b_i=1，m(k)=4*(1+1)=8，包括符号和顺序。非负解：两个：(8,5) 和 (5,8)。是的。
当 x=43 时，k=2025 - 1849 = 176。
176 = 16*11 = 2^4 * 11，11≡3 mod 4，指数是 1，是奇数，所以不能表示为两个平方数之和？但 176=14^2 + 2^2=196+4=200>176，13^2=169，176-169=7，不是平方数。12^2=144，176-144=32，不是平方数。11^2=121，176-121=55，不是平方数。10^2=100，76 不是平方数。9^2=81，95 不是。8^2=64，112 不是。7^2=49，127 不是。6^2=36，140 不是。5^2=25，151 不是。4^2=16，160 不是。3^2=9，167 不是。2^2=4，172 不是。1^2=1，175 不是。0^2=0，176 不是平方数。所以确实没有解。n(k)=0。
当 x=42 时，k=2025 - 1764 = 261。
261 除以 9 得 29，所以 3^2 * 29，29≡1 mod 4，所以可以。m(k)=4*(2+1)=12？指数：3^2，所以 b_i 对于 3 是 2？k=929，两者都 ≡1 mod 4？3≡3 mod 4，但指数是 2，是偶数，所以可以。公式：如果 q_j≡3 mod 4 且 c_j 是偶数，那么可以。这里 3^2，c_j=2 是偶数，29≡1 mod 4，b_i=1，所以 m(k)=4(1+1)=8？∏ (b_i +1) 对于 p_i≡1 mod 4，这里只有 29，b_i=1，所以 4*(1+1)=8。
解：261=1^2 + 16^2=1+256=257<261，2^2+16^2=4+256=260<261，3^2+16^2=9+256=265>261，15^2=225，261-225=36=6^2，所以 (15,6)。还有 (6,15)，所以两个非负解。m(k)=8：符号和顺序。
(15,6) 及其符号变体，有 4 个：(--,--)，(6,15) 及其 4 个，但 (15,6) 和 (6,15) 是不同的有序对，所以总共 8 个。是的。
所以 n(k)=2。
现在，回到问题。
也许我可以计算总和。
由于 k = a(90-a)，且 a 从 0 到 45，而 n(k) 是满足 y^2 + z^2 = a(90-a) 的解的个数。
但 I 仍然需要计算每个 a 的 n(k)。
注意，当 a=0 时，k=0*90=0，n=1
a=1，k=1*89=89，n=2
a=2，k=2*88=176，n=0（如前）
a=3，k=3*87=261，n=2
a=4，k=4*86=344
344 除以 8=43，所以 8*43=344，43≡3 mod 4，指数 1 是奇数，所以不能是两个平方数之和。检查：18^2=324, 344-324=20 不是平方数。17^2=289, 344-289=55 不是。16^2=256, 88 不是。15^2=225, 119 不是。14^2=196, 148 不是。13^2=169, 175 不是。12^2=144, 200 不是。11^2=121, 223 不是。10^2=100, 244 不是。9^2=81, 263 不是。8^2=64, 280 不是。7^2=49, 295 不是。6^2=36, 308 不是。5^2=25, 319 不是。4^2=16, 328 不是。3^2=9, 335 不是。2^2=4, 340 不是。1^2=1, 343=7^3，不是平方数。0^2=0, 344 不是平方数。所以 n=0。
a=5，k=5*85=425
425=2517=5^217，17≡1 mod 4，所以 m(k)=4*(2+1)=12？b_i 对于 5 是 2，但 5≡1 mod 4？5÷4=1 余 1，是的。所以 ∏ (b_i +1) = (2+1)(1+1)=32=6，乘以 4 得 24？但包括符号。
非负解：425=20^2 + 5^2=400+25=425，所以 (20,5)。还有 (5,20)。还有 11^2 + 18^2=121+324=445>425，19^2=361, 425-361=64=8^2，所以 (19,8)。(8,19)。还有 15^2 + 10^2=225+100=325<425，17^2=289, 425-289=136 不是平方数。16^2=256, 169 不是平方数。14^2=196, 229 不是。13^2=169, 256=16^2，所以 (13,16)。(16,13)。所以解为：(20,5),(5,20),(19,8),(8,19),(13,16),(16,13)。所以六个解。m(k)=24，因为每个有四个符号组合，但 (20,5) 和 (5,20) 不同，所以 6*4=24，是的。所以 n(k)=6。
a=6，k=6*84=504
504=2^3 * 3^2 * 7，7≡3 mod 4，指数 1 是奇数，所以不能。检查：22^2=484, 504-484=20 不是平方数。21^2=441, 63 不是。20^2=400, 104 不是。19^2=361, 143 不是。18^2=324, 180 不是。17^2=289, 215 不是。16^2=256, 248 不是。15^2=225, 279 不是。14^2=196, 308 不是。13^2=169, 335 不是。12^2=144, 360 不是。11^2=121, 383 不是。10^2=100, 404 不是。9^2=81, 423 不是。8^2=64, 440 不是。7^2=49, 455 不是。6^2=36, 468 不是。5^2=25, 479 不是。4^2=16, 488 不是。3^2=9, 495 不是。2^2=4, 500 不是。1^2=1, 503 不是。0^2=0, 504 不是平方数。所以 n=0。
a=7，k=7*83=581
581 除以 7，83 是质数，581÷7=83，所以 7*83。7≡3 mod 4，指数 1 是奇数，所以不能。检查：24^2=576, 581-576=5 不是平方数。23^2=529, 52 不是。22^2=484, 97 不是。21^2=441, 140 不是。20^2=400, 181 不是。19^2=361, 220 不是。18^2=324, 257 不是。17^2=289, 292 不是。16^2=256, 325 不是。15^2=225, 356 不是。14^2=196, 385 不是。13^2=169, 412 不是。12^2=144, 437 不是。11^2=121, 460 不是。10^2=100, 481 不是。9^2=81, 500 不是。8^2=64, 517 不是。7^2=49, 532 不是。6^2=36, 545 不是。5^2=25, 556 不是。4^2=16, 565 不是。3^2=9, 572 不是。2^2=4, 577 不是。1^2=1, 580 不是。0^2=0, 581 不是平方数。n=0。
a=8，k=8*82=656
656=1641，41≡1 mod 4，所以可以。m(k)=4 (对于 41 是 1+1) =8？k=1641=2^4 * 41，所以 ∏ (b_i+1) 对于 p_i≡1 mod 4，只有 41，b_i=1，所以 42=8。
解：656=16^2 + 16^2=256+256=512<656，20^2=400, 256 不是平方数？24^2=576, 656-576=80 不是平方数。23^2=529, 127 不是。22^2=484, 172 不是。21^2=441, 215 不是。19^2=361, 295 不是。18^2=324, 332 不是。17^2=289, 367 不是。15^2=225, 431 不是。14^2=196, 460 不是。13^2=169, 487 不是。12^2=144, 512 不是。11^2=121, 535 不是。10^2=100, 556 不是。9^2=81, 575 不是。8^2=64, 592 不是。7^2=49, 607 不是。6^2=36, 620 不是。5^2=25, 631 不是。4^2=16, 640 不是平方数。3^2=9, 647 不是。2^2=4, 652 不是。1^2=1, 655 不是。0^2=0, 656 不是平方数。但 16^2 + 16^2=512<656，20^2 + 4^2=400+16=416<656，24^2=576, 656-576=80 不是平方数，但 4^2=16, 640 不是平方数，但 656= (164)^2? 16^2=256，不行。也许 8^2 + 24^2=64+576=640<656，25^2=625, 656-625=31 不是平方数。26^2=676>656。所以没有解？但根据公式，它应该可以。什么？41 是质数 ≡1 mod 4，但 k=1641，而 16 是 2 的幂，所以应该可以。但 656 除以 16 得 41，所以 y^2 + z^2 = 1641。解应为 y=4 a，z=4b，其中 a^2 + b^2=41，但 41=5^2 + 4^2=25+16，所以 y=45=20，z=4*4=16，所以 (20,16)。同样 (16,20)。所以有两个非负解：(20,16) 和 (16,20)。是的，我漏掉了。20^2 + 16^2=400+256=656。所以 n(k)=2。m(k)=8：符号和顺序。
所以 n=2。
a=9，k=9*81=729
729=27^2，所以是一个完全平方数。所以 n(k) 包括 (27,0),(0,27)，以及 y>0,z>0 的解。
y^2 + z^2 = 729，所以 y 从 0 到 27。
y=0, z=27
y=1, 728 不是平方数
y=2, 725 不是
...
y=15, 729-225=504 不是平方数
y=16, 729-256=473 不是
y=17, 729-289=440 不是
y=18, 729-324=405 不是
y=19, 729-361=368 不是
y=20, 729-400=329 不是
y=21, 729-441=288 不是
y=22, 729-484=245 不是
y=23, 729-529=200 不是
y=24, 729-576=153 不是
y=25, 729-625=104 不是
y=26, 729-676=53 不是
y=27, z=0
所以只有 (0,27),(27,0)，而 (27,0) 是 y=27,z=0，但当 y=27 时，z=0。所以解为：(0,27),(27,0)。但 (27,0) 是当 y=27,z=0，而 (0,27) 是当 y=0,z=27。还有 (27,0) 和 (0,27)，但 (27,0) 是否与 (0,27) 不同？是的。但有没有 y=z 的解？27^2 + 27^2=729+729=1458>729，所以没有。所以只有两个解？但 729=27^2 + 0^2，所以是的。但之前当 k 是平方数时，我们还有更多，但这里没有其他解。例如，24^2 + 15^2=576+225=801>729，23^2+18^2=529+324=853>729，等等。所以 n(k)=2。
但 k=729 是平方数，所以 B=1 (y>0,z=0)，C=1 (y=0,z>0)，A=0，D=0，所以 n(k)=1+1=2。是的。
a=10，k=10*80=800
800=100*8=10^2 * 8，或 2^5 * 5^2。
5≡1 mod 4，b_i=2，所以 m(k)=4*(2+1)=12？∏ (b_i+1) 对于 p_i≡1 mod 4，只有 5，b_i=2，所以 4*(3)=12。
解：800=20^2 + 20^2=400+400=800，所以 (20,20)。还有 28^2=784, 800-784=16=4^2，所以 (28,4)。(4,28)。还有 20^2 + 20^2 已经给出。10^2 + 28^2=100+784=884>800，26^2=676, 124 不是平方数。24^2=576, 224 不是。22^2=484, 316 不是。18^2=324, 476 不是。16^2=256, 544 不是。14^2=196, 604 不是。12^2=144, 656 不是。8^2=64, 736 不是。6^2=36, 764 不是。2^2=4, 796 不是。0^2=0, 800 不是平方数。所以解为：(20,20), (28,4), (4,28)。所以三个非负解。m(k)=12： (20,20) 有 4 个符号组合（但 y 和 z 相同，所以 (20,20), (-20,20), (20,-20), (-20,-20)），(28,4) 有 4 个，(4,28) 有 4 个，总共 12 个。所以 n(k)=3。
以此类推。
这需要一些时间，但也许我可以写一个小程序或找到一种方法来计算总和。
注意，对于每个 x，k=2025 - x^2，而 n(k) 是满足 y^2 + z^2 = k 的解的数量。
在原始问题中，由于方程是对称的，但 x、y、z 在求和式中是对称的，所以也许我可以利用这个性质。
三个平方和的总数可以通过对 x 从 0 到 floor(sqrt(n)) 求和 n(n - x^2) 来找到，这正是我在做的。
所以，我需要计算 sum_{x=0}^{45} n(2025 - x^2)
其中 n(k) 是满足 y^2 + z^2 = k 的非负整数对 (y,z) 的数量。
而 n(k) 可以通过检查 k - y^2 是否为平方数来找到，其中 y 从 0 到 floor(sqrt(k))。
为了计算这个总和，我可以迭代 x 从 0 到 45，对于每个 x，计算 k = 2025 - x^2，然后迭代 y 从 0 到 floor(sqrt(k))，检查 k - y^2 是否为完全平方数。
如果是，则计数。
由于 x 和 y 的范围很小，我可以手动或通过计算器完成。
让我制作一个表格。
首先，x=0，k=2025，n(k)= 满足 y^2 + z^2 = 2025 的解的数量。
2025=45^2，所以 y 从 0 到 45。
y=0, z=45
y=1, 2025-1=2024，不是平方数
y=2, 2025-4=2021，不是
y=3, 2025-9=2016，不是
...
y=5, 2025-25=2000，不是
y=6, 2025-36=1989，不是
y=7, 2025-49=1976，不是
y=8, 2025-64=1961，不是
y=9, 2025-81=1944，44^2=1936，1944-1936=8，不是平方数
y=10, 2025-100=1925，43^2=1849，44^2=1936，1925-1936<0，43^2=1849，1925-1849=76，不是平方数
y=11, 2025-121=1904，43^2=1849，1904-1849=55，不是
y=12, 2025-144=1881，43^2=1849，1881-1849=32，不是
y=13, 2025-169=1856，43^2=1849，1856-1849=7，不是
y=14, 2025-196=1829，42^2=1764，43^2=1849>1829，1829-1764=65，不是平方数
y=15, 2025-225=1800，42^2=1764，1800-1764=36=6^2，所以 z=6，但 y=15, z=6
y=16, 2025-256=1769，42^2=1764，1769-1764=5，不是
y=17, 2025-289=1736，41^2=1681，42^2=1764>1736，1736-1681=55，不是
y=18, 2025-324=1701，41^2=1681，1701-1681=20，不是
y=19, 2025-361=1664，40^2=1600，41^2=1681>1664，1664-1600=64=8^2，所以 z=8，y=19
y=20, 2025-400=1625，40^2=1600，1625-1600=25=5^2，所以 z=5，y=20
y=21, 2025-441=1584，39^2=1521，40^2=1600>1584，1584-1521=63，不是
y=22, 2025-484=1541，39^2=1521，1541-1521=20，不是
y=23, 2025-529=1496，38^2=1444，39^2=1521>1496，1496-1444=52，不是
y=24, 2025-576=1449，38^2=1444，1449-1444=5，不是
y=25, 2025-625=1400，37^2=1369，38^2=1444>1400，1400-1369=31，不是
y=26, 2025-676=1349，36^2=1296，37^2=1369>1349，1349-1296=53，不是
y=27, 2025-729=1296，36^2=1296，所以 z=36，y=27
y=28, 2025-784=1241，35^2=1225，36^2=1296>1241，1241-1225=16=4^2，所以 z=4，y=28
y=29, 2025-841=1184，34^2=1156，35^2=1225>1184，1184-1156=28，不是
y=30, 2025-900=1125，33^2=1089，34^2=1156>1125，1125-1089=36=6^2，所以 z=6，y=30
y=31, 2025-961=1064，32^2=1024，33^2=1089>1064，1064-1024=40，不是
y=32, 2025-1024=1001，31^2=961，32^2=1024>1001，1001-961=40，不是
y=33, 2025-1089=936，30^2=900，31^2=961>936，936-900=36=6^2，所以 z=6，y=33
y=34, 2025-1156=869，29^2=841，30^2=900>869，869-841=28，不是
y=35, 2025-1225=800，28^2=784，29^2=841>800，800-784=16=4^2，所以 z=4，y=35
y=36, 2025-1296=729，27^2=729，所以 z=27，y=36
y=37, 2025-1369=656，25^2=625，26^2=676>656，656-625=31，不是？之前我们有 24^2 + 20^2=576+400=976>656，23^2+17^2=529+289=818>656，22^2+18^2=484+324=808>656，21^2+19^2=441+361=802>656，20^2+16^2=400+256=656，是的，所以 y=37, k-y^2=2025-1369=656，656-20^2=656-400=256=16^2，所以 z=16，但 y=37, z=16
同样地，y=38, k=2025-1444=581，如前所述，没有解
y=39, 2025-1521=504，没有解
y=40, 2025-1600=425，我们有 (5,20),(20,5)，但 y=40, k-y^2=425，所以 z^2=425，z=5 或 20？但这是针对固定的 y。当 y=40 时，z^2=425，z=20 或 5，但 20^2=400，5^2=25，所以 (40,20) 和 (40,5)？不：对于每个 y，我们得到对应的 z。所以当 y=40 时，z^2=425，z=√425=5√17，不是整数。所以没有解？但之前对于 k=425，有 (20,5) 等，但那是当 x 不同时。这里对于 x=0, k=2025，y=40，z 需要满足 z^2=2025-1600=425，而 425 不是完全平方数，因为 20^2=400，21^2=441>425。所以没有整数 z。同样地，对于 y=41, 2025-1681=344，不是平方数。y=42, 2025-1764=261，有解，但 y=42, z^2=261，z=√261，16^2=256，17^2=289>261，261-256=5，不是平方数，所以没有整数 z。y=43, 2025-1849=176，没有。y=44, 2025-1936=89，有 (8,5) 等，但 y=44, z^2=89，z=√89 不是整数。y=45, z=0。
所以列出我们找到的解：
y=0, z=45
y=15, z=6
y=19, z=8
y=20, z=5 ？2025-400=1625，40^2=1600，1625-1600=25，所以 z=5，是的 (20,5)
y=27, z=36
y=28, z=4
y=30, z=6
y=33, z=6
y=35, z=4
y=36, z=27
y=37, z=16 ？2025-1369=656，656-256=400？z^2=656，25^2=625，26^2=676>656，656-625=31 不是平方数，但 16^2=256，20^2=400，256+400=656，所以当 y=37 时，z=16？37^2=1369，2025-1369=656，而 16^2=256，但 256 ≠ 656，z 需要满足 z^2=656，而 25.6^2=655.36，不是整数。但 24^2=576，28^2=784>656，656-576=80 不是平方数，所以没有，我弄错了。
早期的：当 y=16 时，k-y^2=2025-256=1769，不是平方数。对于 y=37，656 不是平方数。但之前对于 k=656，有 (20,16)，但那是当 k=656 时，这里 k=2025。
所以对于 y=37，没有解。
继续：
y=38, 581 不是平方数
y=39, 504 不是
y=40, 425 不是平方数
y=41, 344 不是
y=42, 261 不是平方数（16^2=256，261-256=5 不是平方数）
y=43, 176 不是
y=44, 89 不是平方数
y=45, z=0
现在，我们已有的解： (0,45), (15,6), (19,8), (20,5), (27,36), (28,4), (30,6), (33,6), (35,4), (36,27)
(27,36) 和 (36,27) 都列出了。
现在，还有更多吗？y=6, z=15？但当 y=6 时，k-y^2=2025-36=1989，不是平方数。同样地，y=5 时，2025-25=2000，不是平方数。y=8 时，2025-64=1961，不是。y=4 时，2025-16=2009，不是。y=6 时，1989 不是平方数。
但 (6,15) 应该是一个解，但当 y=6 时，z^2=1989，z=√1989，44^2=1936，45^2=2025>1989，1989-1936=53，不是平方数，所以没有整数 z。类似地，对于 y=6，没有解，但 (15,6) 是当 y=15 时，z=6。
所以解是：
(0,45), (15,6), (19,8), (20,5), (27,36), (28,4), (30,6), (33,6), (35,4), (36,27)
(36,27) 是 y=36, z=27。
现在，还有 (45,0) 当 y=45, z=0。
还有 (27,36) 和 (36,27)，但 (27,36) 已列出。
(6,15) 缺失，但如前所述，当 y=6 时，没有解。
类似地，(8,19) 当 y=8 时，2025-64=1961，44^2=1936，1961-1936=25，所以 z=44？44^2=1936，1961-1936=25，所以 z=5？但 z^2=1961，z=44.28，不是整数。44^2=1936，45^2=2025，1961 - 1936 = 25，但 1936 + 25 = 1961，所以 z=5？但 y=8, z=5，8^2 + 5^2=64+25=89 ≠2025。错误。
对于 y=8，k-y^2=2025-64=1961，而 1961 是完全平方数吗？44^2=1936，45^2=2025，1961-1936=25，所以 1961 = 44^2 + 25，但 25 是 5^2，但这是 y 和 z 的，但这里是固定 y，求 z，所以 z^2=1961，而 44.28^2=1961.5184，44.2^2=1953.64，44.3^2=1962.49>1961，44.29^2=1961.0041，接近但 44.28^2= (44 + 0.28)^2=1936 + 2440.28 + 0.28^2=1936 + 24.64 + 0.0784=1960.7184，44.29^2=1936 + 2440.29 + 0.29^2=1936 + 25.52 + 0.0841=1961.6041，太大，1961 - 1936 = 25，所以 (44 + a)^2 = 1936 + 88a + a^2 = 1961，所以 88a + a^2 = 25，a=25/88≈0.284，0.284^2=0.080656，88*0.284=24.992，总和 25.072656 > 25，所以不是整数。所以没有。
类似地，其他 y 也没有。
但 (5,20) 怎么样：当 y=5 时，2025-25=2000，不是平方数。但当 y=20 时，我们有 (20,5)。
类似地，(6,15) 当 y=6 时，1989 不是平方数。
所以列表中的 10 个解： (0,45), (15,6), (19,8), (20,5), (27,36), (28,4), (30,6), (33,6), (35,4), (36,27)
(45,0) 缺失，当 y=45 时，z=0。
还有 (4,28) 当 y=4 时，2025-16=2009，不是平方数。
(8,19) 没有。
(6,30) 当 y=6 时，没有。
(4,35) 当 y=4 时，没有。
(6,33) 当 y=6 时，没有。
(27,36) 和 (36,27) 都有。
但 (44,8) 没有，等等。
还有 (45,0) 当 y=45 时。
还有 (0,45) 已列出。
那么 (9,42) 呢？81+1764=1845<2025，2025-81=1944，42^2=1764，43^2=1849，44^2=1936，1944-1936=8，不是平方数。
(12,39) 144+1521=1665<2025，2025-144=1881，43^2=1849，1881-1849=32，不是平方数。
(18,24) 324+576=900<2025，2025-324=1701，41^2=1681，1701-1681=20，不是。
(21,28) 441+784=1225<2025，2025-441=1584，39^2=1521，40^2=1600>1584，1584-1521=63，不是。
(24,27) 576+729=1305<2025，2025-576=1449，38^2=1444，1449-1444=5，不是。
(25,30) 625+900=1525<2025，2025-625=1400，37^2=1369，38^2=1444>1400，1400-1369=31，不是。
(32,31) 1024+961=1985<2025，2025-1024=1001，31^2=961，32^2=1024>1001，1001-961=40，不是。
所以可能只有我们已有的那些。
但 (30,6) 和 (6,30) 没有，但 (30,6) 在列表中。
列表： (0,45), (15,6), (19,8), (20,5), (27,36), (28,4), (30,6), (33,6), (35,4), (36,27), (45,0)
(45,0) 是额外的，所以是 11 个解？但 (27,36) 和 (36,27) 是不同的。
所以 11 个解。
但 (6,15) 不在列表中，因为当 y=6 时没有解。
类似地。(5,20) 不在列表中。
所以对于 k=2025，n(k)=11。
确认：解为：
(0,45), (45,0)
(15,6), (6,15) 缺失
(19,8), (8,19) 缺失
(20,5), (5,20) 缺失
(27,36), (36,27)
(28,4), (4,28) 缺失
(30,6), (6,30) 缺失
(33,6), (6,33) 缺失
(35,4), (4,35) 缺失
(36,27) 已包含
(27,36) 已包含
所以只有 (0,45), (45,0), (15,6), (19,8), (20,5), (27,36), (28,4), (30,6), (33,6), (35,4), (36,27) — 11 个解。
但 (36,27) 和 (27,36) 都包含了。
现在，对于 x=0，n(k)=11。
但 x 是固定的，对于每个 x，我们计算 n(2025 - x^2)，即满足 y^2 + z^2 = 2025 - x^2 的 (y,z) 对数。
在原始问题中，对于每个 x，我们添加 n(k) 到总和中。
当 x=0 时，n(2025)=11。
现在 x=1，k=2025-1=2024。
2024 除以 8=253，2024/8=253，253/11=23，所以 81123=2024。
23≡3 mod 4，指数 1 是奇数，所以不能是两个平方数之和。检查 y 从 0 到 44，2024 - y^2 是平方数吗？44^2=1936，2024-1936=88 不是平方数。43^2=1849，2024-1849=175 不是。42^2=1764，260 不是。41^2=1681，343 不是。40^2=1600，424 不是。39^2=1521，503 不是。38^2=1444，580 不是。37^2=1369，655 不是。36^2=1296，728 不是。35^2=1225，799 不是。34^2=1156，868 不是。33^2=1089，935 不是。32^2=1024，1000 不是。31^2=961，1063 不是。30^2=900,1124 不是。29^2=841,1183 不是。28^2=784,1240 不是。27^2=729,1295 不是。26^2=676,1348 不是。25^2=625,1399 不是。24^2=576,1448 不是。23^2=529,1495 不是。22^2=484,1540 不是。21^2=441,1583 不是。20^2=400,1624 不是。19^2=361,1663 不是。18^2=324,1700 不是。17^2=289,1735 不是。16^2=256,1768 不是。15^2=225,1799 不是。14^2=196,1828 不是。13^2=169,1855 不是。12^2=144,1880 不是。11^2=121,1903 不是。10^2=100,1924 不是。9^2=81,1943 不是。8^2=64,1960 不是。7^2=49,1975 不是。6^2=36,1988 不是。5^2=25,1999 不是。4^2=16,2008 不是。3^2=9,2015 不是。2^2=4,2020 不是。1^2=1,2023 不是。0^2=0,2024 不是平方数。所以 n=0。
x=2，k=2025-4=2021，是质数吗？2021 除以 3=673.666，除以 7=288.714，11=183.727，13=155.461，17=118.882，19=106.368，23=87.869，29=69.689，31=65.193，37=54.621，41=49.292，43=47，4347=2021？4047=1880，347=141，总和 2021，是的，4347=2021。43≡3 mod 4，47≡3 mod 4，指数都是 1，是奇数，所以不能。n=0。
x=3，k=2025-9=2016。
2016=2^5 * 3^2 * 7，7≡3 mod 4，指数 1 是奇数，所以不能。n=0。
x=4，k=2025-16=2009。
2009 除以 7=287，7287=2009？7280=1960，77=49，总和 2009，是的。287 除以 7=41，所以 7^2 * 41。7≡3 mod 4，指数 2 是偶数，41≡1 mod 4，b_i=1，所以可以。m(k)=4(1+1)=8？∏ (b_i+1) 对于 p_i≡1 mod 4，只有 41，所以 4*2=8。
解：y^2 + z^2=2009。41^2=1681，2009-1681=328 不是平方数。40^2=1600，409 不是。39^2=1521，488 不是。38^2=1444，565 不是。37^2=1369，640 不是。36^2=1296，713 不是。35^2=1225，784=28^2，所以 (35,28)。(28,35)。43^2=1849，2009-1849=160 不是平方数。42^2=1764，245 不是。44^2=1936，73 不是。45^2=2025>2009。所以 (35,28),(28,35)。n(k)=2。
x=5，k=2025-25=2000。
2000=2^4 * 5^3，5≡1 mod 4，b_i=3，所以 m(k)=4*(3+1)=16。
解：y^2 + z^2=2000。44^2=1936，2000-1936=64=8^2，所以 (44,8)。(8,44)。40^2 + 20^2=1600+400=2000，所以 (40,20)。(20,40)。30^2 + 40^2=900+1600=2500>2000，35^2=1225，775 不是平方数。36^2=1296，704 不是。37^2=1369，631 不是。38^2=1444，556 不是。39^2=1521，479 不是。41^2=1681，319 不是。42^2=1764，236 不是。43^2=1849，151 不是。0 到 44 的其他值。所以 (40,20),(20,40),(44,8),(8,44)。n(k)=4。
x=6，k=2025-36=1989。
1989 除以 3=663，663/3=221，221/13=17，所以 3^2 * 13 * 17。13≡1 mod 4，17≡1 mod 4，所以可以。m(k)=4*(1+1)(1+1)=42*2=16。
解：1989-44^2=1989-1936=53 不是平方数。43^2=1849，1989-1849=140 不是。42^2=1764，225=15^2，所以 (42,15)。(15,42)。41^2=1681，308 不是。40^2=1600，389 不是。39^2=1521，468 不是。38^2=1444，545 不是。37^2=1369，620 不是。36^2=1296，693 不是。35^2=1225，764 不是。34^2=1156，833 不是。33^2=1089，900=30^2，所以 (33,30)。(30,33)。31^2=961,1028 不是。29^2=841,1148 不是。28^2=784,1205 不是。27^2=729,1260 不是。26^2=676,1313 不是。25^2=625,1364 不是。24^2=576,1413 不是。23^2=529,1460 不是。22^2=484,1505 不是。21^2=441,1548 不是。20^2=400,1589 不是。19^2=361,1628 不是。18^2=324,1665 不是。17^2=289,1700 不是。16^2=256,1733 不是。15^2=225,1764=42^2，所以 (15,42) 已有。14^2=196,1793 不是。等等。所以 (42,15),(15,42),(33,30),(30,33)。n(k)=4。
这太繁琐了，也许我可以写一个小的脚本，但既然我是在手动操作，也许我可以假设我计算了总和，或者寻找一种方法。
我在网上找到了一种方法，或者回忆起来，三个平方和的数量是 (2n+1) 乘以某个东西，但我不确定。
另一个想法：总和 sum_{x=0}^{45} n(2025 - x^2) 等于满足 x^2 + y^2 + z^2 = 2025 的解的数量，这正是我们想要的。
每个满足 x^2 + y^2 + z^2 = 2025 的三元组 (x,y,z) 贡献 1，而在总和中，对于每个 x，我们添加满足 y^2 + z^2 = 2025 - x^2 的 (y,z) 的数量，所以是的，总和正是我们想要的。
但为了计算它，我需要计算它。
也许 2025 是 45^2，而 45 很小，所以我可以计算所有满足 x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2025 的解，但我不需要这样。
或者使用公式。
经过搜索我的记忆，对于 n = k^2，三个平方和的数量是已知的，但我不记得了。
也许我可以利用 2025 是奇数这一事实，但没什么帮助。
另一个想法：在数论中，三个平方和的数量与系数 r_3(n) 有关，它是 12 倍的类数之类的东西，但可能太复杂了。
也许对于 n = k^2，它是 6k + 2 或类似的东西，但当 k=1 时，n=1，解为 (1,0,0) 及其排列，所以 3 个解，6*1+2=8，不对。
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，所以 3 个解。
当 k=2 时，n=4，解为 (2,0,0) 及其排列，3 个解； (0,2,0) 相同； (0,0,2)；还有 (1,1,√2) 不是整数； (2,0,0) 等；还有 (0,0,2)，但 (1,1,√2) 不行，所以只有 3 个解：每个位置是 2 或 0，但 2^2+0^2+0^2=4，所以 (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)。没有其他，所以 3 个解。
6*2+2=14，不对。
当 k=3 时，n=9，解为 (3,0,0) 及其排列：3 个解； (2,2,1) 4+4+1=9，所以 (2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)，所以 3 个解；总共 6 个解。
6*3+2=20，不对。
也许 r_3(n) = 6 如果 n 是平方数，但 n=1 时是 3，n=4 时是 3，n=9 时是 6，不对。
r_3(n) 通常包括负数和顺序，所以对于 n=1，r_3(1) = 8？(1,0,0) 有 6 个排列？不，对于三个平方和，r_3(n) 是满足 x^2+y^2+z^2=n 的整数解的数量，包括负数。
对于 n=1，解为：x,y,z 中一个为 ±1，其余为 0，所以 3 个位置 *2 个符号 = 6 个解？(1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0),(0,-1,0),(0,0,1),(0,0,-1)，所以 6 个解。
通常 r_3(n) 包括所有整数。
对于 n=0，r_3(0)=1：(0,0,0)
对于 n=1，6 个解。
对于 n=2，(1,1,0) 及其符号和排列：每个坐标可以是 ±1 或 0，但 x^2+y^2+z^2=2，所以两个是 ±1，一个是 0。
选择哪个是 0 的位置：3 种选择，然后另外两个是 ±1，所以 2^2=4 种选择，总共 3*4=12 个解？例如：(1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0),(-1,-1,0)，同样 (1,0,1) 等，所以是的，12 个解。
对于 n=3，不能，r_3(3)=0。
对于 n=4，(2,0,0) 及其符号和排列：3 个位置 *2 个符号（对于 2）*1（对于 0）=6 个解，但 (2,0,0) 等，还有 (0,2,0) 等，但这是包含的。还有 (1,1,√2) 不是整数，所以只有 6 个解？(2,0,0) 有 3 个位置，每个有 2 个符号，所以 6 个解。但 (0,0,2) 包含在内。还有 (1,1,√2) 不是，所以 6 个解。
但对于我们的问题，我们只需要非负整数，并且可能 order 无关，但问题中我们需要有序三元组，所以可能 r_3(n) 是包含符号和顺序的。
在 r_3(n) 中，它包括了所有整数解，所以是有序三元组，包括负数和零。
对于我们的目的，我们需要非负整数解，所以 y≥0, z≥0，但 x 也是。
在 r_3(n) 中，对于每个解 (x,y,z)，其中 x,y,z 是整数，但在我们的情况中，我们想要 x,y,z ≥0。
所以，对于 n>0，非负解的数量可以通过 r_3(n) 除以 8 或类似的方式得到，但这不是精确的，因为当有零时。
例如，n=1，r_3(1)=6，非负解为：(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，所以 3 个，6/2=3，但 2 是 2^1 或类似的东西。
一般来说，对于 n>0，非负解的数量是 r_3(n) / 8 如果 n 不是平方数，但 n=1 是平方数，r_3=6，6/2=3，但 2 是 2^1。
也许是根据对称性。
对于 n=2025，我可以计算 r_3(2025)，然后除以 8 或类似的操作。
首先，r_3(n) 的公式。
r_3(n) = 12 * (1 if n≡1 or 2 mod 4, else 0) 之类的，但我不确定。
标准公式：如果 n 是 3 的倍数，则 r_3(n) = 0 如果 n ≡ 7 mod 8，否则为 12 乘以某个东西。
更精确地说：r_3(n) = 0 如果 n ≡ 7 mod 8。
否则， r_3(n) = 12 * (número of ways to write n as a sum of three squares with odd index or something) 但很复杂。
我记得对于 n = k^2， r_3(n) 是可以计算的。
2025 = 45^2，45 = 95，所以 2025 = 8125。
也许可以递归地计算。
但这可能比手动计算更麻烦。
也许我可以接受我需要计算从 x=0 到 45 的 n(2025 - x^2) 的总和，我可以查一下或者用程序计算。
假设我计算了它，或者假设我知道它是 33 或类似的东西。
另一个想法：在 online 上或记忆中，对于 n= k^2，三个平方数的数量是 6k 如果 k 是偶数，6k+2 如果 k 是奇数，但 k=1 时，6*1+2=8，但我们是 3，不对。
k=3，6*3+2=20，但我们是 6，不对。
也许 r_3(n) 对于 n=k^2 是 6k 如果 k 是奇数，但 k=1 时是 6，我们是 3 个非负解，但 r_3 是 6，所以 r_3(n) = 6k 对于 k 是奇数？k=1，61=6，是的；k=3，63=18，但之前对于 n=9，解： (3,0,0) 有 6 个解（符号和排列），(2,2,1) 及其排列：选择哪个是 1：3 种选择，然后 1 有 2 个符号，2 有 2 个符号，所以 3*4=12 个解，总共 6+12=18，是的。所以 r_3(9) = 18。
对于 k=5，n=25，r_3(25) = 65=30？解： (5,0,0) 及其排列：32=6 个解（位置和符号），(4,3,0) 及其排列：选择哪个是 0：3 种选择，然后 4 和 3 各有 2 个符号，所以 34=12 个解，(3,4,0) 相同，但已包含，(3,3,√7) 不是， (4,3,0) 已包含，(1,3,√15) 不是， (5,0,0) 已包含，(3,4,0) 已包含，还有 (1,2,√20) 不是， (0,3,4) 已包含，还有 (5,0,0) 等，那么 (1,2,√20) 不是， (2,3,√12) 不是， (3,3,√7) 不是， (4,4,√-7) 不是，所以只有 (5,0,0) 和 (4,3,0) 类型。所以 6 + 12 = 18，但 65=30，18<30，所以不对。对于 (4,3,0)，当我们有 (4,3,0) 时，排列： (4,3,0), (4,0,3), (3,4,0), (3,0,4), (0,4,3), (0,3,4)，所以 6 种排列，每种有 4 个符号变体（4 和 3 各有两个符号），所以 6*4=24 个解。 (5,0,0) 3 个位置 *2 个符号 = 6 个解。总共 24+6=30，是的。所以 r_3(25)=30。
对于非负解，我们有 (5,0,0) 及其排列：3 个解（因为 y,z ≥0，所以 (5,0,0),(0,5,0),(0,0,5)），(4,3,0) 及其排列： (4,3,0),(4,0,3),(3,4,0),(3,0,4),(0,4,3),(0,3,4)，所以 6 个解。总共 3+6=9 个非负解。
回到 n=2025=45^2，所以 r_3(2025) = 6*45 = 270。
然后，对于非负解，我们需要除以符号和零的因子。
每个非负解 (a,b,c) 对应 r_3(n) 中的 8 个解，如果 a,b,c >0，因为每个符号有 8 种组合（每个坐标取负或正）。
如果有一个零，比如 c=0，那么 (a,b,0) 对应 r_3(n) 中的 4 个解：(±a,±b,0)，符号组合。
同样，如果有两个零，比如 (a,0,0)，对应 2 个解：(a,0,0), (-a,0,0)。
如果三个都零，一个解。
所以，对于 n>0，令 P 为满足 a>b>c>0 的解的数量，但为了计数，令 A 为所有组件为正的解的数量。
B 为恰好一个零的解的数量。
C 为恰好两个零的解的数量。
D 为三个零都为零的解的数量。
那么 n(k) = A + B + C + D。
在 r_3(n) 中，每个 A 类型的解对应 8 个解（符号）。
每个 B 类型的解对应 4 个解（符号，零的位置固定）。
每个 C 类型的解对应 2 个解（符号）。
D 对应 1 个解。
所以 r_3(n) = 8A + 4B + 2C + D。
对于 n=2025>0，D=0。
所以 r_3(n) = 8A + 4B + 2C。
另外，非负解的总数 N = A + B + C。
我们想要的是 N。
从 r_3(n) = 8A + 4B + 2C = 2(4A + 2B + C)
而 N = A + B + C。
所以 r_3(n) = 2(4A + 2B + C) = 2(3A + B + C + (A + B)) = 2(2N + (A + B)) 等等，不是很好。
r_3(n) = 8A + 4B + 2C = 2(4A + 2B + C)
N = A + B + C
令 S = A + B，则 C = N - S，但可能没帮助。
注意 r_3(n) / 2 = 4A + 2