题目要求证明不定方程 $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{29}^2=20x_1{x}_2\cdots x_{29}$ 一定存在一组正整数解 $(x_1,x_2,\dots ,x_{29})$，其中至少有一个 $x_i>1990$。我们可以通过反证法结合均值不等式和上界估计来证明。

反证法假设

假设存在一组正整数解 $(x_1,x_2,\dots ,x_{29})$，且所有 $x_i\le 1990$。我们需要证明这一假设会导致矛盾。

步骤1：分析方程两边的上界

设 $S=x_1{x}_2\cdots x_{29}$，则方程左边为 ${\sum }_{i=1}^{29}{x}_i^2$，右边为 $20S$。

根据算术-几何均值不等式（AM ≥ GM），对29个正数有：

$\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{29}^2}{29}\ge {\left(x_1^2\cdot x_2^2\cdot \cdots \cdot x_{29}^2\right)}^{\frac{1}{29}}$

即

${\sum }_{i=1}^{29}{x}_i^2\ge 29\cdot {\left(x_1{x}_2\cdots x_{29}\right)}^{\frac{2}{29}}$

因此，右边 $20S=20x_1{x}_2\cdots x_{29}$ 需满足：

$20x_1{x}_2\cdots x_{29}\ge 29\cdot {\left(x_1{x}_2\cdots x_{29}\right)}^{\frac{2}{29}}$

两边除以 ${\left(x_1{x}_2\cdots x_{29}\right)}^{\frac{2}{29}}$，得：

$20\cdot {\left(x_1{x}_2\cdots x_{29}\right)}^{\frac{27}{29}}\ge 29$

由于 $\frac{27}{29}>0$，且 $x_i\ge 1$（正整数），故 $x_1{x}_2\cdots x_{29}\ge 1$，因此上式自然成立。但这仅是从AM-GM不等式推导的必要条件，需进一步分析上界。

步骤2：估计乘积 $S$ 的上界

假设所有 $x_i\le 1990$，则 $S=x_1{x}_2\cdots x_{29}\le 1990^{29}$（每个 $x_i$ 最大为1990，乘积最大为各因子最大值的乘积）。

步骤3：分析方程左边的上界

对每个 $x_i$，利用平方和的放缩：

$x_i^2=x_i\cdot x_i\le x_i\cdot 1990(\text{因 }{x}_i\le 1990)$

因此，左边总和满足：

${\sum }_{i=1}^{29}{x}_i^2\le {\sum }_{i=1}^{29}1990\cdot x_i=1990\cdot {\sum }_{i=1}^{29}{x}_i$

又因为 $x_i$ 是正整数，且假设 $x_i\le 1990$，则 ${\sum }_{i=1}^{29}{x}_i\le 29\times 1990$（每个 $x_i$ 最大为1990，求和最大为各因子最大值的和）。因此：

${\sum }_{i=1}^{29}{x}_i^2\le 1990\times 29\times 1990=1990^2\times 29$

步骤4：推导矛盾

右边 $20S\le 20\times 1990^{29}$（因 $S\le 1990^{29}$）。

比较左右两边的上界：

$1990^2\times 29<20\times 1990^{29}$

显然成立，因为 $1990^{27}$ 远大于 $\frac{29}{20}$（当 $1990\ge 2$ 时，指数幂增长远快于常数倍）。但这与反证假设“左边和右边相等”矛盾——如果所有 $x_i\le 1990$，则左边的上界远小于右边的上界，无法满足方程。

结论

反证法假设不成立，因此原不定方程一定存在一组正整数解，且其中至少有一个 $x_i>1990$。

$\boxed{\text{证明成立}}$ （注：题目要求“证明”，最终结论是存在这样的解，过程通过反证法完成。）