首先，用户提供了一张图片，似乎是数学题，但由于是图片，我需要先解读图片中的内容。图片里显示的是：

“2 单选题

(2015年)设函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\frac{y}{2})=x^2-y^2$，则 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 依次是( ).

A. $\frac{1}{2},0$

B. $0,\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$

D. $-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$”

用户说的是“计算公式”，但这里是求偏导数，所以我需要解决这个偏导数的问题。

题目给出了函数方程：$f\left(x+\frac{y}{2}\right)=x^2-y^2$，要求求出 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

首先，我需要理解这个函数方程。它定义了一个函数 $f$，其输入是 $x+\frac{y}{2}$，输出是 $x^2-y^2$。但 $f$ 本身是关于一个变量的函数，这里 $x+\frac{y}{2}$ 是一个复合表达式。

设 $u=x+\frac{y}{2}$，那么方程是 $f(u)=x^2-y^2$。但 $x$ 和 $y$ 是独立变量，而 $u$ 依赖于 $x$ 和 $y$。

为了求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，我需要表示 $f$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。

由于 $f$ 是通过 $u$ 定义的，我应该使用链式法则。

设 $u=x+\frac{y}{2}$，那么 $f(u)=x^2-y^2$。

现在，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示当 $y$ 固定时，$f$ 关于 $x$ 的变化率。

同样，$\frac{\partial f}{\partial y}$ 表示当 $x$ 固定时，$f$ 关于 $y$ 的变化率。

但 $f$ 是一个单变量函数，定义在 $u$ 上，所以偏导数需要通过 $u$ 来表达。

我可以对给定的方程关于 $x$ 和 $y$ 求偏导数。

先求 $\frac{\partial f}{\partial x}$。

固定 $y$，对等式两边关于 $x$ 求偏导数。

左边：$f\left(x+\frac{y}{2}\right)$，由于 $y$ 固定，$\frac{y}{2}$ 是常数，所以对 $x$ 求导时，$u=x+\text{constant}$，所以 $\frac{\partial }{\partial x}f(u)=f^{\prime }(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime }(u)\cdot 1=f^{\prime }(u)$，因为 $\frac{\partial u}{\partial x}=1$。

右边：$x^2-y^2$，关于 $x$ 求偏导数（$y$ 固定），所以 $\frac{\partial }{\partial x}(x^2-y^2)=2x$。

因此，我们有：

$f^{\prime }(u)=2x$ ...(1)

类似地，求 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

固定 $x$，对等式两边关于 $y$ 求偏导数。

左边：$f\left(x+\frac{y}{2}\right)$，$u=x+\frac{y}{2}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2}$，所以 $\frac{\partial }{\partial y}f(u)=f^{\prime }(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial y}=f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{2}$。

右边：$x^2-y^2$，关于 $y$ 求偏导数（$x$ 固定），所以 $\frac{\partial }{\partial y}(x^2-y^2)=-2y$。

因此：

$f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{2}=-2y$ ...(2)

现在，我有两个方程：

从(1)： $f^{\prime }(u)=2x$

从(2)： $f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{2}=-2y$ ⇒ $f^{\prime }(u)=-4y$ (乘以2两边)

但 $f^{\prime }(u)$ 不能同时等于 $2x$ 和 $-4y$，除非 $x$ 和 $y$ 有关系，但 $x$ 和 $y$ 是独立变量，所以这里有问题。

我可能误解了偏导数的含义。

题目要求的是 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，但 $f$ 是一个单变量函数，所以偏导数可能指的是在某种上下文中的导数。

或许函数 $f$ 是关于两个变量的？但方程中 $f$ 的输入是单个变量 $x+\frac{y}{2}$，所以 $f$ 应该是单变量函数。

但偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 暗示了 $f$ 是多元函数，但这里定义似乎矛盾。

再看题目：“设函数 $f(x)$ 满足”，它写的是 $f(x)$，但方程中 $f$ 的参数是 $x+\frac{y}{2}$，所以可能 $f$ 是单变量函数，但我们需要求它对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，这需要小心。

或许 $f$ 是定义在实数上的函数，而 $x$ 和 $y$ 是额外变量。

但偏导数通常定义在多元函数上。

另一个想法：或许方程定义了 $f$ 作为一个多元函数，但输入是组合的。

设 $g(x,y)=f\left(x+\frac{y}{2}\right)=x^2-y^2$。

然后，$\frac{\partial g}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial g}{\partial y}$ 可以求，但题目要求的是 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，但 $f$ 不是直接关于 $x$ 和 $y$。

我需要表达 $f$ 的偏导数。

或许 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 意味着当固定 $y$ 时，$f$ 关于 $x$ 的导数，但由于 $f$ 通过 $u$ 定义，它应该是 $f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x}$。

类似地对于 $y$。

在题目中，它写的是 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，所以可能暗示 $f$ 是多元函数，但根据方程，它似乎是单变量。

或许函数 $f$ 是关于一个变量的，但我们需要求它关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，考虑 $u=x+\frac{y}{2}$。

从之前的推导，我有：

从固定 $y$ 求导： $\frac{\partial }{\partial x}f(u)=f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x}=f^{\prime }(u)\cdot 1=2x$ 所以 $f^{\prime }(u)=2x$ ...(1)

从固定 $x$ 求导： $\frac{\partial }{\partial y}f(u)=f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial y}=f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{2}=-2y$ 所以 $f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{2}=-2y$ ⇒ $f^{\prime }(u)=-4y$ ...(2)

但(1)和(2)矛盾，因为 $2x=-4y$ 不一定成立。

所以我的方法有问题。

问题可能在于 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的定义。当说 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，它必须指定其他变量被固定，但在这里，由于 $f$ 是单变量函数，偏导数没有定义，或者需要指定通过哪个路径。

但在上下文中，可能 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 意味着当固定 $y$ 时，$f$ 关于 $x$ 的导数，但 $f$ 依赖于 $u=x+\frac{y}{2}$，所以当固定 $y$，$u$ 随 $x$ 变化，所以 $\frac{df}{dx}=f^{\prime }(u)\frac{du}{dx}=f^{\prime }(u)\cdot 1$，而從方程，当固定 $y$，$f(u)=x^2-y^2$，所以 $\frac{df}{dx}=2x$，因此 $f^{\prime }(u)=2x$。

类似地，当固定 $x$，$\frac{df}{dy}=f^{\prime }(u)\frac{du}{dy}=f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{2}$，而 $f(u)=x^2-y^2$，所以 $\frac{df}{dy}=-2y$，因此 $f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{2}=-2y$，所以 $f^{\prime }(u)=-4y$.

但 $f^{\prime }(u)$ 不能同时是 $2x$ 和 $-4y$，除非 $2x=-4y$，即 $x=-2y$，但这不是对所有 $x,y$ 成立。

所以问题出在函数方程上。可能函数方程定义了 $f$ 的值，但 $f$ 是单变量函数，而右边是 $x^2-y^2$，它依赖于两个变量，所以对于固定的 $u$，当 $x$ 和 $y$ 变化时，右边变化，但左边固定，矛盾。

例如，取 $x=0,y=0$, 则 $u=0$, $f(0)=0^2-0^2=0$.

取 $x=1,y=0$, 则 $u=1+0/2=1$, $f(1)=1^2-0^2=1$.

取 $x=0,y=2$, 则 $u=0+2/2=1$, $f(1)=0^2-2^2=-4$.

但之前当 $x=1,y=0$, $f(1)=1$，现在当 $x=0,y=2$, $f(1)=-4$，矛盾，因为 $f(1)$ 不能同时是1和-4。

哦！所以函数方程 $f(x+\frac{y}{2})=x^2-y^2$ 对于所有 $x,y$ 不可能成立，因为对于同一个 $u=x+\frac{y}{2}$，当选择不同的 $x,y$ 使得 $u$ 相同，右边给出不同的值。

例如，$u=1$ 时，当 $x=1,y=0$, 右边=1，当 $x=0,y=2$, 右边= -4，不一致。

所以题目可能有误，或者我误解了。

或许函数 $f$ 是双变量函数？但题目写的是 $f(x)$，暗示单变量。

看图片，用户提供了，但文本是“设函数 f(x) 满足”，但方程中是 $f(x+\frac{y}{2})$，所以可能是个笔误，或者 f 是双变量函数。

在方程中，是 $f(x+\frac{y}{2})$，但如果 f 是单变量，它不能依赖于两个变量。

或许应该是 $f(x,y)$ 满足某个方程。

检查图片: "设函数 f(x) 满足 f(x + y/2) = x^2 - y^2"，但如上所述，这不可能。

除非定义域受限，但题目没说。

另一个想法：或许 "f(x)" 中的 x 是占位符，意思是 f 是一个函数，其输入是表达式，但方程中输入是 x + y/2，输出是 x^2 - y^2，但 x 和 y 是变量，所以 f 的值依赖于输入，但输入相同时应输出相同，但 x^2 - y^2 当输入相同时不一定相同。

所以可能题目有误。

或许 "f(x)" 表示 f 是一元函数，但方程中用于复合。

但在标准解释下，函数方程不一致。

或许 "f(x)" 是笔误，应该是 "f" 或 "g(x,y)"。

看选项，选项中有偏导数，所以很可能 f 是二元函数。

假设 f 是二元函数，设 f(x,y)，但方程是 f(x + y/2, something) 或类似。

方程是 f(x + y/2) = x^2 - y^2，如果 f 是单变量，问题依旧。

除非 f 的定义域是实数，但值不一致。

或许方程是 f(x, y) = x^2 - y^2 或类似，但题目写的是 f(x + y/2)。

另一个想法: 或许 "f(x)" 表示 f 是函数，但参数是 x + y/2，而 x 和 y 是变量，但 f 本身是单变量，所以对于每个输入，f 有唯一输出，但 x^2 - y^2 对于固定输入不是唯一的，所以矛盾。

所以很可能，题目本意是 f 为二元函数，方程是 f(x,y) = x^2 - y^2，但那样太简单，偏导数是 2x 和 -2y，但选项中没有 2x,-2y。

选项是常数或分数，所以不是。

或许方程是 f(u) = something with x and y, but u = x + y/2.

但如前所述，不一致。

除非我们求解 f' 而不指定，但题目要求数值或表达式。

从选项看，选项中的值是常数，所以可能对于所有 x,y 偏导数是常数，但根据方程，不可能。

或许 "依次是" 表示顺序，但值依赖于 x,y。

但选项是常数，所以可能是在特定点或 something.

题目没有指定点。

看年份 "2015年"，可能是一个标准问题。

另一个想法: 或许 "f(x)" 是标签，而 f 是二元函数，但写为 f(x) 表示在第一个参数为 x 时，但方程中 f(x + y/2) 可能意味着 f 的第二个参数是 missing.

我认为最合理的是假设 f 是单变量函数，但我们需要求 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y，意思是方向导数或类似，但偏导数通常不是。

或许在上下文，∂f/∂x 表示当固定 y 时 f 关于 x 的导数。

但从方程，当固定 y，f(u) = x^2 - y^2，u = x + y/2，所以 df/dx = d/dx [x^2 - y^2] = 2x，但 df/dx = f'(u) du/dx = f'(u) * 1, so f'(u) = 2x.

但 f'(u) 依赖于 x，不是常数。

类似地，∂f/∂y 当固定 x，df/dy = f'(u) du/dy = f'(u) * (1/2) = d/dy [x^2 - y^2] = -2y, so f'(u) * 1/2 = -2y, f'(u) = -4y.

但 f'(u) 不能同时是 2x 和 -4y.

除非我们表达 ∂f/∂x 作为 x,y 的函数，但选项是常数，所以可能不是。

或许 "计算公式" 意味着我需要找到 f 的表达式，然后求导。

但从 f(x + y/2) = x^2 - y^2，如见 earlier, it's impossible for all x,y, so perhaps we need to solve for f.

设 v = x + y/2, then x^2 - y^2 = (x - y)(x + y).

但 v = x + y/2, 所以不容易表达。

解出 x 或 y。

从 v = x + y/2, 所以 x = v - y/2.

然后 f(v) = x^2 - y^2 = (v - y/2)^2 - y^2 = v^2 - v y + (y^2)/4 - y^2 = v^2 - v y - (3/4)y^2.

但 f(v) 应该只依赖于 v, 但这里它有 y, 所以除非 y=0, 否则不一致。

所以函数方程除非在特定点否则无法满足。

可能题目有笔误，本意是 f(x,y) = x^2 - y^2，但偏导数是 2x 和 -2y，不在选项中。

或 f(x,y) = (x^2 - y^2)，但一样。

另一个想法：或许 "f(x + y/2)" 表示 f 是二元函数，第一个参数是 x + y/2，但第二个参数缺失，不合理。

可能方程是 f(x, y) = x^2 - (y/2)^2 或类似。

假设 f 是二元函数，方程是 f(x, y) = x^2 - y^2，但偏导数是 2x 和 -2y，不在选项中。

或 f(u,v) 其中 u = x + y/2, v = something.

但方程中没有 v。

看选项，选项A是 1/2, 0，B是 0, 1/2，C是 1/2, -1/2，D是 -1/2, 1/2，所以是常数，所以可能是在特定点，但题目没有指定。

或许在 (0,0) 点。

假设在 x=0,y=0，但 f(0 + 0/2) = f(0) = 0^2 - 0^2 = 0.

但偏导数需要极限。

从方程，对于点 (x,y)，f 在 u = x + y/2 处的值。

但要求 ∂f/∂x 在 (x,y) 处，但 f 是单变量，所以或许 ∂f/∂x 表示 (df/du) * (∂u/∂x) = f'(u) * 1.

类似地 ∂f/∂y = f'(u) * (1/2).

但 f'(u) 未知。

从 f(u) = x^2 - y^2，但 u = x + y/2，所以 f(u) = x^2 - y^2。

要找到 f'，我需要表达 f 关于 u 的导数。

但 f 是通过 x 和 y 定义的，而 x 和 y 与 u 相关。

例如，从 u = x + y/2，和 f(u) = x^2 - y^2。

但有两个方程，三个变量，所以有一个自由度。

例如，如果我固定 u，那么 x 和 y 必须满足 u = x + y/2，然后 f(u) = x^2 - y^2，但 x 和 y 不是唯一的，所以 f(u) 不是唯一的，矛盾。

所以函数方程无效。

可能题目本意是 f(x,y) = x^2 - (y/2)^2 或类似。

假设 f(x,y) = x^2 - (y/2)^2 = x^2 - y^2/4.

然后 ∂f/∂x = 2x, ∂f/∂y = - (2y)/4 = - y/2.

在 (0,0) 是 0,0，但不在选项中。

或 f(u) = u^2，但方程不满足。

另一个想法：或许 "f(x + y/2)" 表示 f 是一元函数，但应用于 x + y/2，而右边是 x^2 - y^2，但我们需要考虑 f 的值。

但还是一样的问题。

可能方程是 f(x + y/2) = f(x) - f(y) 或类似，但这里是 x^2 - y^2。

我认为题目中可能有笔误，可能是 f(x,y) = (x)^2 - (y/2)^2 或 f(x) = x^2 - c 之类的。

或许 "y/2" 是打字错误，应为 "y" 或其他。

我们来看选项。偏导数是常数，所以可能 f 是线性函数之类的。

假设 f(u) = a u，但 a(x + y/2) = x^2 - y^2 不可能。

或者 f(u) = a u^2，则 a(x + y/2)^2 = x^2 - y^2，不可能。

所以可能 f 是二元函数。

假设 f 是二元函数，方程为 f(x, y) = x^2 - y^2，但那样的话 ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = -2y，不是常数。

但选项是常数，所以可能是在一个特定点，但题目没有说明。

可能在 (0,0) 点，那么是 0,0，但 0,0 不在选项中。

选项 A 1/2,0 B 0,1/2 C 1/2,-1/2 D -1/2,1/2，所以可能是非零的。

也许方程是 f(x) = x^2 - c，但 c 是常数，但方程中有 y。

另一个想法：也许 "f(x)" 表示 f 是函数，而方程是 f(x + y/2) = x^2 - (y/2)^2 或类似的东西。

假设 f(x + y/2) = x^2 - (y/2)^2 = x^2 - y^2/4。

那么当固定 y 时，df/dx = d/dx [x^2 - y^2/4] = 2x。

但 f(u) = x^2 - y^2/4，其中 u = x + y/2，所以 x = u - y/2，因此 f(u) = (u - y/2)^2 - y^2/4 = u^2 - u y + y^2/4 - y^2/4 = u^2 - u y。

仍然依赖于 y，所以 f 依赖于 y，但 f 应该是单变量函数。

除非对于 f 的定义，y 是固定的，但题目中 y 是变量。

所以不行。

也许函数 f 只定义在 y=0 的情况下，但这不合理。

我认为最有可能的是题目有笔误，本意是 f(x,y) = x^2 - y^2，但偏导数不是常数，或者 f(x) = x^2，但方程不匹配。

另一个想法：也许 "f(x + y/2)" 表示 f 是应用于 x + y/2 的一元函数，而右边是 x^2 - y^2，但我们需要求 f 的偏导数，但 f 不是多元函数。

但题目要求 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y，所以可能在这个上下文中，它们表示 f 的导数乘以部分导数。

例如，∂f/∂x 表示 (df/du) * (∂u/∂x)，其中 u = x + y/2，所以是 f'(u) * 1。

类似地，∂f/∂y = f'(u) * (1/2)。

但 f'(u) 未知。

从方程 f(u) = x^2 - y^2，且 u = x + y/2。

为了求 f'(u)，我需要 f 关于 u 的导数，但 f 定义为 f(u) = x^2 - y^2，而 x 和 y 与 u 相关。

例如，如果我选择 x = u，y = 0，那么 f(u) = u^2 - 0^2 = u^2，所以 f'(u) = 2u。

但如果我选择 x = 0，y = 2u，那么 u = 0 + (2u)/2 = u，f(u) = 0^2 - (2u)^2 = -4u^2，所以 f'(u) = -8u。

不一致，因为 f'(u) 应该是一个函数，但这里依赖于选择。

所以函数方程没有定义 well-defined f。

因此，题目可能有错误。

也许在上下文中，我们假设 f 是 well-defined，并求出在某个点下的偏导数。

或者“y/2”是“c”之类的。

我们检查一下选项。

假设我们设定 x 和 y，使得 u 固定，但不行。

另一个想法：也许“f(x)”表示 f 是函数，而方程是 f(x) = x^2 - c，但 c 是常数，但方程中有 y。

我认为我需要假设函数方程是针对特定点或类似的情况。

也许“计算公式”意味着我需要找到数值值，但题目中没有给出点。

也许从选项来看，我们可以在某一点计算。

假设在 (x,y) = (0,0)，那么 f(0) = 0。

但偏导数需要定义。

对于 ∂f/∂x，当 y 固定，例如 y=0，f(x) = f(x + 0) = x^2 - 0 = x^2，所以 df/dx = 2x，在 x=0 时为 0。

类似地，对于 ∂f/∂y，当 x 固定，例如 x=0，f(y) = f(0 + y/2) = 0 - y^2 = -y^2，所以 df/dy = -2y，在 y=0 时为 0。

但 0,0 不在选项中。

在 x=1,y=0 时，∂f/∂x = 2*1 = 2，不在选项中。

也许在 u=0 时。

设 u = x + y/2 = 0，则 f(0) = x^2 - y^2。

但 x = -y/2，所以 f(0) = (-y/2)^2 - y^2 = y^2/4 - y^2 = -3y^2/4，依赖于 y，所以 f(0) 不唯一，矛盾。

所以不可能。

我认为题目中可能有笔误，可能是 f(x,y) = (x)^2 - (y/2)^2 或 f(x) = x^2 - k 之类的。

也许 "x^2 - y^2" 是 "x^2 - (y/2)^2" 的笔误。

假设 f(x + y/2) = x^2 - (y/2)^2。

那么 f(u) = x^2 - y^2/4，其中 u = x + y/2。

令 x = u - y/2，则 f(u) = (u - y/2)^2 - y^2/4 = u^2 - u y + y^2/4 - y^2/4 = u^2 - u y。

仍然依赖于 y。

所以不行。

除非 y 是常数，但不是。

也许 f 是线性的，但也不行。

另一个想法：也许 "f(x + y/2)" 表示 f 是二元函数，而 x + y/2 是第一个参数，但第二个参数没有给出。

但方程中右边是 x^2 - y^2，所以可能 f 只有一个参数。

我认为合理的假设是 f 是二元函数，方程为 f(x,y) = x^2 - y^2，但那样偏导数不是常数，或者题目本意是求在某个点下的值，但未指定。

也许“依次是”表示顺序，而值是表达式，但选项是常数。

我们来看选项 C: 1/2, -1/2，D: -1/2, 1/2。

也许是从方程中解出来的。

让我们解出 f。

从 f(u) = x^2 - y^2，u = x + y/2。

设 y = 2(v - x)，但很混乱。

假设 x 和 y 是相关的。

例如，如果我设 y = 0，则 f(x) = x^2。

如果 y = 2x，则 u = x + (2x)/2 = x + x = 2x，f(2x) = x^2 - (2x)^2 = x^2 - 4x^2 = -3x^2，所以 f(2x) = -3x^2，令 w = 2x，则 f(w) = -3 (w/2)^2 = -3w^2/4。

但之前当 y=0 时，f(x) = x^2，在 x=1 时，f(1) = 1，但根据这个，f(20.5) = f(1) = -3(0.5)^2 = -3*0.25 = -0.75，矛盾。

所以确实，函数方程不一致。

可能题目中 "f(x)" 是笔误，应该是 "g(x,y)" 之类的，或者方程不同。

也许 "f(x + y/2)" 表示 f 是一元函数，但方程是 f(x) + f(y/2) = x^2 - y^2 或类似的东西。

但题目不是这样。

另一个想法：也许 "y/2" 是 "0" 或 "c" 的笔误。

假设 f(x + c) = x^2 - y^2，但 y 没有定义。

我认为最有可能的是，方程是 f(x, y) = x^2 - y^2，而“f(x + y/2)”是题目描述错误，或者它是用来定义变量的。

但题目说“设函数 f(x) 满足 f(x + y/2) = x^2 - y^2”，这不可能。

也许“x”和“y”是特定值，但题目没有说明。

我认为为了推进，我需要假设函数方程对于所有 x,y 成立，并尝试找到 f'。

从前面的内容，有 f'(u) = 2x 来自一个导数，f'(u) = -4y 来自另一个，所以 2x = -4y，y = -x/2。

然后代入，u = x + (-x/2)/2 = x - x/4 = (3/4)x，f(u) = x^2 - (-x/2)^2 = x^2 - x^2/4 = (3/4)x^2，f'(u) = d/du [(3/4)x^2]，但 u = (3/4)x，x = (4/3)u，所以 f(u) = (3/4)(16/9)u^2 = (4/3)u^2？计算：x = 4u/3，f(u) = (3/4)(4u/3)^2 = (3/4)(16/9)u^2 = (48/36)u^2 = (4/3)u^2，所以 f'(u) = (8/3)u。

但偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 需要定义。

对于 ∂f/∂x，当 y 固定时，但 y 与 x 相关，所以不是真正的偏导数。

在这个子情形中，y = -x/2，所以 f 是 x 的函数，f(x) = (3/4)x^2，所以 df/dx = (3/2)x，但 ∂f/∂x 没有定义，因为 f 是单变量。

类似地。

所以不行。

我卡住了。

我们搜索一下类似的问题或标准方法。

也许“f(x)”表示 f 是函数，而方程是 f(x) = x^2 - c，但 c 是常数，但方程中有 y。

另一个想法：也许“y”是常数，但题目中说“依次是”，所以可能是针对变量。

我认为我需要向用户请求澄清，但由于是文本，我会假设一个常见的解释。

也许方程是 f(x) + f(y) = x^2 - y^2 或类似的东西。

但题目是 f(x + y/2) = x^2 - y^2。

我们假设 f 是二元函数，方程为 f(x, y) = x^2 - y^2，而“f(x + y/2)”是误导，但偏导数是 2x 和 -2y。

但不是常数。

也许题目是要求 f 在某个点下的导数。

或者“计算公式”意味着我需要找到表达式，但选项是常数。

我们来看选项; 也许是从计算中得来的。

假设在 x=0.5, y=0 时，f(0.5) = (0.5)^2 - 0 = 0.25，但 f 是单变量。

对于 ∂f/∂x，当 y 固定时，df/dx = 2x，在 x=0.5 时为 1，但不在选项中。

在 x=0, y=0 时，为 0。

也许在 x=0, y=2 时，f(0 + 2/2) = f(1) = 0^2 - 2^2 = -4。

当固定 y=2 时，∂f/∂x = df/dx = 2x，在 x=0 时为 0。

当固定 x=0 时，∂f/∂y = df/dy = -2y，在 y=2 时为 -4，不在选项中。

选项中有 1/2, -1/2 等。

也许“y/2”是“y”的笔误，所以 f(x + y) = x^2 - y^2。

那么 f(u) = x^2 - y^2，u = x + y。

然后 x = u - y，f(u) = (u - y)^2 - y^2 = u^2 - 2u y + y^2 - y2 = u^2 - 2u y，仍然依赖于 y。

同样的问题。

除非 f 是二元函数。

假设 f 是二元函数，方程为 f(x+y, x-y) = x^2 - y^2 或类似的东西。

但题目是 f(x + y/2) = x^2 - y^2。

我认为我必须认为 f 是线性的。

假设 f(u) = a u，则 a(x + y/2) = x^2 - y^2，不可能。

或 f(u) = a u^2 + b，同样不行。

所以可能 f 是二元函数。

假设 f 是二元函数，而“f(x + y/2)”表示第一个参数是 x + y/2，但第二个参数是 y 或 x。

例如，假设 f(x + y/2, y) = x^2 - y^2。

然后令 u = x + y/2, v = y，那么 f(u,v) = x^2 - v^2。

但 x = u - v/2，所以 f(u,v) = (u - v/2)^2 - v^2 = u^2 - u v + v^2/4 - v^2 = u^2 - u v - (3/4)v^2。

然后 ∂f/∂u = 2u - v，∂f/∂v = -u - (3/2)v。

在 (x,y) 上，u = x + y/2，v = y，所以 ∂f/∂u 和 ∂f/∂v。

但题目要求的是 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y。

∂f/∂x = (∂f/∂u)(∂u/∂x) + (∂f/∂v)(∂v/∂x) = (2u - v)(1) + (-u - 3/2 v)(0) = 2u - v。

类似地，∂f/∂y = (∂f/∂u)(∂u/∂y) + (∂f/∂v)(∂v/∂y) = (2u - v)(1/2) + (-u - 3/2 v)(1) = (1/2)(2u - v) + (-u - 3/2 v) = (u - v/2) - u - 3/2 v = - v/2 - 3/2 v = -2v。

现在，u = x + y/2，v = y，所以 ∂f/∂x = 2u - v = 2(x + y/2) - y = 2x + y - y = 2x。

∂f/∂y = -2v = -2y。

和 f(x,y) = x^2 - y^2 一样，但之前我们有 f(u,v) = u^2 - u v - 3/4 v^2，当 u=x+y/2，v=y 时，f(x+y/2,y) = (x+y/2)^2 - (x+y/2)y - 3/4 y^2 = x^2 + x y + y^2/4 - x y - y^2/2 - 3/4 y^2 = x^2 + (1/4 - 1/2 - 3/4) y^2 = x^2 - y^2，是的，所以 f(x,y) = x^2 - y^2，但第一个参数是 x+y/2，第二个是 y，但在题目中，它写的是 f(x + y/2)，没有第二个参数，所以可能不是。

在题目中，它写的是“f(x + y/2)”，所以可能只有一个参数。

但在这种解释下，如果我们假设 f 有两个参数，但题目写的是“f(x)”，所以可能不是。

也许在上下文中，f 是二元函数，而“f(x)”是简写。

但题目中写的是“f(x)”，在方程中是“f(x + y/2)”，所以可能 f 是一元函数。

我认为对于这个问题的目的，我将采用选项，并假设我们要求在 (0,0) 下的值，但为0，或者也许是从导数来的。

另一个想法：也许“∂f/∂x”表示 f 关于 x 的偏导数，但 f 是单变量函数，所以未定义，但在这个语境下，它可能表示 (df/du) * (∂u/∂x) = f'(u) * 1。

类似地 ∂f/∂y = f'(u) * (1/2)。

而 f'(u) 可以从方程中找出，但如前所述，它不一致。

除非我们使用微分。

对两边关于 x 和 y 求偏导。

从 f(x + y/2) = x^2 - y^2。

对两边关于 x 求偏导：f'(u) * ∂u/∂x = 2x，所以 f'(u) * 1 = 2x。

对两边关于 y 求偏导：f'(u) * ∂u/∂y = -2y，所以 f'(u) * (1/2) = -2y。

所以我们有 f'(u) = 2x (1)

和 f'(u) = -4y (2)

所以 2x = -4y，y = -x/2。

然后 f'(u) = 2x。

但 u = x + y/2 = x + (-x/2)/2 = x - x/4 = (3/4)x。

所以 f'(u) = 2x = 2 * (4/3)u = 8/3 u。

现在，对于 ∂f/∂x，如果我们指的是 (df/du) * (∂u/∂x) = f'(u) * 1 = 2x。

但 2x 不是常数。

类似地，∂f/∂y = f'(u) * (1/2) = (2x)/2 = x，或从 (2) f'(u) = -4y，所以 f'(u) * 1/2 = -2y。

但再次，不是常数。

也许在 u=0 时，则 x=0，y=0，f'(0) = 0，所以 ∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，但不在选项中。

或者也许“依次是”表示在某个点下的值，但未指定。

我认为我必须放弃并选择一个选项。

也许方程是 f(x) = x^2 - (y/2)^2，但 y 未定义。

另一个想法：也许“y”是常数，而“依次”是针对 x 和 y 的偏导数，但 y 是常量，所以 ∂f/∂y = 0，而 ∂f/∂x = 2x，不是常数。

但选项 A 1/2,0 表示 ∂f/∂x=1/2, ∂f/∂y=0，所以可能是在 x=1/2 时，但 y 是常数。

但题目中没有指定 y。

也许 y 是固定常数，但未给出。

我认为对于这个问题，我会假设函数是指定的，而我们要求偏导数，并选择 C 1/2, -1/2 或 D。

也许从选项来看，我们可以在特定点计算。

假设在 x=0.5, y=0 时，f(0.5) = (0.5)^2 - 0^2 = 0.25。

当 y 固定为 0 时，∂f/∂x = d/dx f(x) = d/dx (x^2) = 2x，在 x=0.5 时为 1，不在选项中。

在 x=0, y=0 时，为 0。

在 x=0, y=1 时，f(0 + 0.5) = f(0.5) = 0 - 1^2 = -1。

当 y 固定为 1 时，∂f/∂x = 2x，在 x=0 时为 0。

当 x 固定为 0 时，∂f/∂y = -2y，在 y=1 时为 -2。

不在选项中。

选项 B 是 0,1/2，C 1/2,-1/2。

假设在 x=0.25, y=0 时，f(0.25) = (0.25)^2 = 0.0625，∂f/∂x = 2*0.25 = 0.5 = 1/2。

对于 ∂f/∂y，当 x 固定时，例如 x=0.25，f(y) = f(0.25 + y/2) = (0.25)^2 - y^2 = 0.0625 - y^2，所以 df/dy = -2y。

在 y=0 时，为 0，所以是 1/2, 0，选项 A。

在 y=0.5 时，df/dy = -2*0.5 = -1，不在选项中。

所以如果在 (0.25,0) 点，∂f/∂x = 20.25 = 0.5 = 1/2，∂f/∂y = -20 = 0，所以是 A 1/2, 0。

但为什么是那个点？未指定。

也许在 (0,0) 点，但为 0,0。

或者也许“y”在方程中是常量，但偏导数中 y 是变量。

我认为对于这个目的，我会选择 A，但不确定。

也许“y/2”表示 y 是 x 的函数，但不太可能。

另一个想法：在“f(x + y/2)”中，“y/2”可能表示 y 除以 2，而 y 是变量，但 f 是单变量。

但在求偏导数时，我们考虑 x 和 y 是变量。

但在 (0,0) 点，∂f/∂x = 20 = 0，∂f/∂y = -20 = 0，但如果我们使用 f'(u) * partial u partial x，在 (0,0) 时，f'(u) = 2x = 0，所以 0*1 = 0，∂f/∂y = f'(u) * (1/2) = 0 * 1/2 = 0。

一样。

除非在 f' 不为零的点，但偏导数依赖于点。

但选项是常数，所以可能不是。

也许题目是要求 f' 在某个点下的值，但未指定。

我认为最合理的方式是假设函数方程成立，并且我们要求 f 的导数，但偏导数是在 x 和 y 上定义的。

也许在上下文中，“∂f/∂x”表示当 y 固定时 f 关于 x 的导数，而“∂f/∂y”表示当 x 固定时 f 关于 y 的导数，而对于 f(u)，u=x+y/2，所以 ∂f/∂x = f'(u) * 1，∂f/∂y = f'(u) * (1/2)，而 f'(u) 可以从方程中找出，但如前所述，它不一致。

除非我们使用全微分。

对两边取全微分。

df = f'(u) du，但 du = dx + (1/2) dy。

右边 d(x^2 - y^2) = 2x dx - 2y dy。

所以 f'(u) (dx + 0.5 dy) = 2x dx - 2y dy。

所以对于 dx 和 dy，有 f'(u) = 2x (从 dx 项)

f'(u) * 0.5 = -2y (从 dy 项)

所以 2x = -4y，y = -x/2。

然后 f'(u) = 2x。

但偏导数 ∂f/∂x = f'(u) * ∂u/∂x = 2x * 1 = 2x。

∂f/∂y = f'(u) * ∂u/∂y = 2x * 0.5 = x。

或者从方程中，当 y 固定时，df/dx = 2x，所以 ∂f/∂x = 2x。

当 x 固定时，df/dy = -2y，所以 ∂f/∂y = -2y。

但再次，不是常数。

也许在 x=1/2, y=0 时，∂f/∂x = 2*(1/2) = 1，∂f/∂y = -2*0 = 0，所以是 1,0，但选项有 1/2,0。

在 x=1/4, y=0 时，∂f/∂x = 2*(1/4) = 1/2，∂f/∂y = 0，所以是 1/2,0，选项 A。

在 x=0, y=1/2 时，∂f/∂x = 0，∂f/∂y = -2*(1/2) = -1，不在选项中。

所以如果在 y=0 的轴上，∂f/∂y = 0，而 ∂f/∂x = 2x，在 x=1/4 时为 1/2。

但为什么是 x=1/4？未指定。

也许“1/2”来自其他地方。

也许“y/2”在分母或其他地方，但不太可能。

另一个想法：在“f(x + y/2)”中，“y/2”可能表示 y 是第二变量，但写成了 f(x + y/2)，所以可能 f 有两个参数。

但题目中写的是“f(x)”，所以可能不是。

我认为为了作答，我会说答案是 A，1/2, 0，假设在 x=0.25, y=0 的点，但有些随意。

或者也许“计算公式”意味着我需要推导出 f'，但偏导数是要找的。

也许题目是要求 f 关于 u 的导数，但题目要求的是 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y。

我认为我会选择 C，1/2, -1/2，因为选项中有 -1/2。

或 D。

我们看看是否有标准的方法。

假设我们令 u = x + y/2，那么 f(u) = x^2 - y^2。

然后 x 和 y 是 u 和另一个变量的函数。

例如，如果我们固定 the value of u, but not.

Perhaps for the function to be well-defined, we need to have the same value for f at the same u, so x^2 - y^2 must be a function of u only.

So x^2 - y2 must be a function of x + y/2 only.

Let v = x + y/2, then x^2 - y^2 = (x-y)(x+y).

But x+y = (x + y/2) + y/2 = v + y/2, and x-y = (x + y/2) - y/2 - y = v - (3/2)y, messy.

From v = x + y/2, and s = x^2 - y^2.

Then s = x^2 - y^2, v = x + y/2.

From v, x = v - y/2, then s = (v - y/2)^2 - y^2 = v^2 - v y + y^2/4 - y^2 = v^2 - v y - (3/4)y^2.

For s to be function of v only, it must not depend on y, so the coefficients of y must be zero, but -v y - (3/4)y^2, so for this to be independent of y, it must be that v=0 and the expression is 0, but not for all v.

So only if v=0, but not generally.

So impossible.

Therefore, the only way is to assume that the function is defined at a specific point or something.

Perhaps the "y" in the equation is not the same as the variable y for partial derivative, but that doesn't make sense.

I think I have to box an answer.

I'll go with C, 1/2, -1/2, as a guess.

Or A.

Let's see the options; perhaps from the differential.

From f'(u) = 2x and f'(u) = -4y, so at a point where 2x = -4y, and for example if x=1, y= -1/2, then u = 1 + (-1/2)/2 = 1 - 0.25 = 0.75, f'(u) = 2*1 = 2.

Then ∂f/∂x = f'(u) * 1 = 2, ∂f/∂y = f'(u) * 1/2 = 1, not in options.

If x=0.5, y= -0.25, then f'(u) = 20.5 = 1, ∂f/∂x = 1, ∂f/∂y = 10.5 = 0.5 = 1/2, so 1, 1/2, not in options.

If we take ∂f/∂x = 2x, at x=0.5, it's 1, not 1/2.

At x=0.25, it's 0.5=1/2, and if y=0, ∂f/∂y = -2*0 = 0, so 1/2, 0.

So perhaps that's it.

所以答案是 A. \frac{1}{2}, 0

I think that's the best I can do.