首先，问题是关于一个数列的。前10项都是整数，从第11项开始，每一项是前两项的平均数。已知第1项和第2项都是奇数。需要找出从第11项开始，数列的值是什么特性：A. 恒等于整数，B. 恒等于偶数，C. 恒等于奇数，D. 恒等于非整数。

数列的定义：设第1项为 $a_1$，第2项为 $a_2$，都是奇数。从第3项开始，$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$ 对于 $n\ge 3$。

前10项是整数，所以对于 $n=3$ 到 $n=10$，$a_n$ 是整数。这意味着对于这些n，$\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$ 是整数，所以 $a_{n-1}+a_{n-2}$ 必须是偶数，因此 $a_{n-1}$ 和 $a_{n-2}$ 必须同奇偶（要么都奇，要么都偶）。

现在，已知 $a_1$ 和 $a_2$ 都是奇数。所以 $a_1$ 奇，$a_2$ 奇。

计算 $a_3=\frac{a_2+a_1}{2}$。由于 $a_1$ 和 $a_2$ 都是奇，奇 + 奇 = 偶，所以 $a_1+a_2$ 是偶数，因此 $a_3$ 是整数（因为除以2后是整数，因为和是偶）。

类似地，$a_4=\frac{a_3+a_2}{2}$。现在 $a_2$ 是奇，$a_3$ 是整数，但我们需要知道奇偶性。

由于前10项都是整数，并且递推关系是线性的，我们可以考虑数列的奇偶性模式。

定义奇偶性：用 0 表示偶，1 表示奇。

设 $b_n$ 表示 $a_n$ 的奇偶性，$b_n=0$ 或 1。

递推关系：$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$

但由于我们关心奇偶性，而且除法 by 2 可能会改变奇偶性，但只有当和是偶时，结果才是整数。

在模2下，$a_n\equiv \frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}\mathrm{mod}2$？ 不，因为除以2在模2下不直接定义。

更好的方式是想出序列 $b_n$ 的递推关系。

由于 $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$ 且为整数，因此 $a_{n-1}+a_{n-2}$ 是偶数，所以 $a_{n-1}$ 和 $a_{n-2}$ 同奇偶，即 $b_{n-1}=b_{n-2}$。

那么，一旦 $b_{n-1}=b_{n-2}$，$a_n$ 就是整数，但 $a_n$ 的奇偶性取决于 $a_{n-1}+a_{n-2}$ 除以2。

如果 $a_{n-1}$ 和 $a_{n-2}$ 都是偶，那么和是偶，除以2，结果可能是偶或奇，取决于数值。

例如，如果都是偶，比如 2 和 4，平均是 3，是奇；2 和 2，平均是 2，是偶。所以奇偶性不确定。

如果都是奇，比如 3 和 5，平均是 4，是偶；3 和 3，平均是 3，是奇。所以再次，奇偶性不确定。

但在这个问题中，我们有前10项是整数，所以递推成立。

现在，从 n=3 开始。

a1 奇，b1=1

a2 奇，b2=1

a3 = (a1 + a2)/2。由于 a1 和 a2 都是奇，和是偶，所以 a3 是整数。但 b3 是多少？取决于 a1 + a2。

a1 + a2：两个奇数的和是偶，但除以2后，如果和是2的倍数，但奇偶性：例如 a1=1，a2=1，a3=1 奇；a1=1，a2=3，a3=2 偶；a1=3，a2=3，a3=3 奇；a1=3，a2=5，a3=4 偶。所以当两个奇数都是奇时，平均可以是奇或偶。

类似地，如果两个都是偶，平均也可以是奇或偶。

但在这个序列中，由于 a1 和 a2 都是奇，并且序列是整数，我们需要看序列如何发展。

也许序列会稳定下来或者有某种模式。

由于 an = (a_{n-1} + a_{n-2})/2，这类似于一个线性递推。

让我写出递推关系。

an = (1/2) a_{n-1} + (1/2) a_{n-2}

两边乘以 2：2 an = a_{n-1} + a_{n-2}

所以 a_{n-2} - 2 a_n + a_{n-1} = 0？我们重新排列一下。

由 2 an = a_{n-1} + a_{n-2}

所以对于 n≥3，有 a_{n-2} - 2 a_{n-1} + a_n？不对。

2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

所以对于索引来说，是 a_{k} - 2 a_{k-1} + a_{k-2} = 0？我们设 k=n。

对于 n≥3，有 2 a_n - a_{n-1} - a_{n-2} = 0。

特征方程是 2r^2 - r - 1 = 0？我们来看看。

递推关系是：2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，所以 a_n = (1/2) a_{n-1} + (1/2) a_{n-2}

但为了使用整数递推，由于 a_n 是整数，并且 2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，所以序列满足 2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}。

现在，这个序列是线性的，并且由于 a1 和 a2 是整数，所有 a_n 对于 n≤10 都是整数。

现在，我们需要从第 11 项开始的性质。

但第 11 项是 a11，而关系式对于 n≥3 成立。

a11 是由 a10 和 a9 决定的，等等。

但前 10 项是整数，所以 a11 = (a10 + a9)/2，并且由于序列在 n≤10 时是整数，但 a11 可能不是整数，也可能不是。

题目说“从第 11 项开始，这个数列的值为：”，我们需要找出从第 11 项开始，所有项的特性。

所以对于 n≥11，a_n 可能具有某种性质。

但递推关系对于 n≥3 成立，所以对于 n≥11，a_n 是由 a_{n-1} 和 a_{n-2} 决定的。

但 a_{n-1} 和 a_{n-2} 可能不是整数，所以我们需要查看序列是否保持整数或者发生什么变化。

由于前 10 项是整数，并且递推关系是线性的，也许序列会变成常数之类的。

让我尝试计算前几项。

设 a1 = p，a2 = q，都是奇数整数。

那么 a3 = (a1 + a2)/2 = (p + q)/2

由于 a3 是整数，所以 p+q 是偶数，但 p 和 q 都是奇数，所以 p+q 是偶数，成立。

a3 = (p+q)/2

现在 a4 = (a3 + a2)/2 = ( (p+q)/2 + q ) / 2 = (p+q + 2q)/4 = (p + 3q)/4

a4 必须是整数，所以 (p + 3q) 必须能被 4 整除。

类似地，a5 = (a4 + a3)/2

但 a4 和 a3 是整数，所以 a5 是整数当且仅当 a4 + a3 是偶数，等等。

但我们需要确保前 10 项是整数，所以对于每个 n 从 3 到 10，a_n 是整数，因此这些组合必须满足整除条件。

由于 a1 和 a2 是奇数，并且序列是整数，也许序列在某种意义上是周期性的，或者奇偶性会稳定下来。

另一个想法：递推关系 2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2} 表明序列是等差数列，但也不一定。

例如，如果 a_{n-1} = a_{n-2}，那么 a_n = a_{n-1}，所以是常数。

但通常，它可能不会稳定。

让我假设 a1 和 a2 是具体的值。

设 a1 = 1，a2 = 1，都是奇数。

那么 a3 = (1+1)/2 = 1，是整数。

a4 = (a3 + a2)/2 = (1+1)/2 = 1

类似地，所有 a_n = 1，所以序列是常数 1，所有项都是奇数。

现在从第 11 项开始，仍然是 1，是奇数。

但这是特例。

另一个例子，a1 = 1，a2 = 3，都是奇数。

a3 = (1+3)/2 = 4/2 = 2，是偶数。

a4 = (a3 + a2)/2 = (2 + 3)/2 = 5/2 = 2.5，但 2.5 不是整数！但前 10 项必须是整数，所以在这个例子中，a4 不是整数，但题目说前 10 项是整数，因此对于 a1=1, a2=3，a4 不是整数，所以无效。所以 a1 和 a2 的选择必须使得所有前 10 项都是整数。

所以对于 a1 和 a2 都是奇数，并且序列对所有 n≤10 都是整数，a1 和 a2 需要满足某些条件。

由 a4 表达式，a4 = (p + 3q)/4 必须是整数，所以 p + 3q ≡ 0 mod 4。

但 p 和 q 是奇数，所以 p ≡ 1 或 3 mod 4，q 也是如此。

p + 3q ≡ 0 mod 4。

如果 q ≡ 1 mod 4，3q ≡ 3 mod 4，p + 3 ≡ 0 mod 4，所以 p ≡ 1 mod 4。

如果 q ≡ 3 mod 4，3q ≡ 9 ≡ 1 mod 4，p + 1 ≡ 0 mod 4，所以 p ≡ 3 mod 4。

所以 p 和 q 模 4 同余：如果 q ≡ 1，则 p ≡ 1；如果 q ≡ 3，则 p ≡ 3。

由于两者都是奇数，所以 p 和 q 在模 4 下必须同奇偶，但奇数在模 4 下是 1 或 3，所以 p 和 q 在模 4 下必须相同：都 ≡1 或都 ≡3 mod 4。

在 a1=1, a2=3 的例子中，1≡1，3≡3，不同，所以 a4 不是整数。

现在 a5 = (a4 + a3)/2

但 a4 和 a3 需要被计算。

设 a1 = p，a2 = q，两者在模 4 下相同。

为简单起见，设 a1 = 1，a2 = 1，两者 ≡1 mod 4。

那么 a3 = (1+1)/2 = 1

a4 = (a3 + a2)/2 = (1+1)/2 = 1

a5 = (a4 + a3)/2 = (1+1)/2 = 1，依此类推，所有项为 1。

另一个例子，a1 = 3，a2 = 3，两者 ≡3 mod 4。

a3 = (3+3)/2 = 3

a4 = (3+3)/2 = 3，所有项为 3。

现在，a1 和 a2 不同但模 4 同余的情况。

设 a1 = 1，a2 = 5，两者 ≡1 mod 4。

a3 = (1+5)/2 = 6/2 = 3

a4 = (a3 + a2)/2 = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4

a5 = (a4 + a3)/2 = (4 + 3)/2 = 7/2 = 3.5，不是整数！但 a5 应该是整数，因为 n=5≤10。

7/2 不是整数，所以对于 a1=1, a2=5，a5 不是整数，但前 10 项必须是整数，所以无效。

为什么？因为 a1 和 a2 都是 ≡1 mod 4，但 a4 = 4，是整数，a3 = 3，整数，但 a5 = (4+3)/2 = 7/2，不是整数，因为 4 和 3 奇偶性不同，和是奇数，不能被 2 整除。

一般来说，对于 a_n 是整数，a_{n-1} 和 a_{n-2} 必须同奇偶。

在序列中，对于每个 n，a_n 是整数，所以 a_{n-1} 和 a_{n-2} 同奇偶。

从 a1 和 a2 开始，都是奇数，所以奇偶性相同。

a3 = (a1 + a2)/2，由于 a1 和 a2 同奇偶，和是偶数，a3 是整数。

a3 的奇偶性：如果 a1 和 a2 都是奇，和是偶，但除以 2 后，如果和是 2 的倍数，但奇偶性不确定。

但在序列中，奇偶性可能发生变化。

例如，a1 和 a2 都是奇，a3 可以是奇或偶。

然后 a4 = (a3 + a2)/2，所以 a3 和 a2 必须同奇偶，这样 a4 才是整数。

类似地，对于 a5，a4 和 a3 必须同奇偶，等等。

所以对于序列中所有 n ≥ 2 的连续项，奇偶性必须相同，这样递推才能保持整数。

更准确地说，对于每个 n ≥ 3，a_n 是整数，所以 a_{n-1} 和 a_{n-2} 同奇偶。

因此，对于所有 n ≥ 2，a_n 和 a_{n+1} 同奇偶？不一定。

由 a3 是整数，所以 a2 和 a1 同奇偶，这个条件满足。

对于 a4 是整数，a3 和 a2 同奇偶。

对于 a5 是整数，a4 和 a3 同奇偶，等等。

所以对于每个 k，当 a_k 和 a_{k-1} 同奇偶时，a_{k+1} 是整数。

但奇偶性可能改变，也可能不变。

由 a3 和 a2 同奇偶，且 a4 和 a3 同奇偶，等等。

设 s_n 为奇偶性序列。

s1 = 1（奇）

s2 = 1（奇）

由于 a3 是整数，s2 和 s1 同奇偶，成立。

s3 可以是 0 或 1。

但 a4 是整数，所以 s3 和 s2 必须同奇偶。

类似地，a5 是整数，所以 s4 和 s3 必须同奇偶，等等。

所以对于所有 n ≥ 2，s_n 和 s_{n-1} 同奇偶？对于 n=2，s2 和 s1 同奇偶。

对于 n=3，s3 和 s2 同奇偶，对于 n=4，s4 和 s3 同奇偶，所以是的，对于所有 n ≥ 2，s_n 和 s_{n-1} 同奇偶，但 s1 和 s2 同奇偶，所以所有连续项对都有相同的奇偶性？不对。

s_n 和 s_{n-1} 有相同的奇偶性，对于每个 n ≥ 2。

对于 n=2：s2 和 s1 有相同奇偶性

n=3：s3 和 s2 有相同奇偶性

n=4：s4 和 s3 有相同奇偶性

所以由传递关系，s1 和 s2 有相同奇偶性，s2 和 s3 有相同奇偶性，所以 s1、s2、s3 全部具有相同奇偶性。

然后 s3 和 s4 有相同奇偶性，所以 s1、s2、s3、s4 全部具有相同奇偶性。

类似地，对所有 n，s_n 和 s_{n-1} 有相同奇偶性，所以所有项从 s1 开始都具有相同的奇偶性。

但 s1 是奇，所以所有 a_n 对于 n≥1 都是奇数？但之前的例子中，a1=1, a2=3，但 a2 是奇，a1 是奇，但 a3=2 是偶，所以 s3 是 0，s2 是 1，奇偶性不同，但在这个例子中 a4 不是整数，所以无效。

在序列保持整数的有效情况下，所有项必须是相同的奇偶性。

因为如果存在一个奇数和偶数的序列，那么当奇偶性不同时，平均数可能不是整数。

但在这个序列中，由于每一项都依赖于前两项，并且它们必须具有相同的奇偶性才能让平均值是整数，所以如果序列是整数，那么所有连续项必须具有相同的奇偶性。

因此，所有项必须具有相同的奇偶性。

因为 s1 和 s2 奇偶性相同，s2 和 s3 奇偶性相同，所以 s1、s2、s3 奇偶性相同，s3 和 s4 奇偶性相同，所以全部相同。

所以对于所有 n，a_n 具有相同的奇偶性。

但 a1 是奇，所以所有 a_n 是奇。

但之前的例子中，a1=1, a2=1，所有项是奇。

但 a1=1, a2=5 呢？a1=1 奇，a2=5 奇，但 a3=3 奇，a4=4 奇？a4=(3+5)/2=4，是偶，所以 s4=0，但 s3=1，奇偶性不同，而 a5=(4+3)/2=3.5 不是整数，所以无效。

但如果所有项是奇，例如 a1=1, a2=1，或 a1=3, a2=3，或 a1=1, a2=3 无效。

但 a1 和 a2 都是奇，并且模 4 同余，但奇偶性相同。

但所有项是奇吗？

假设 a1 和 a2 都是奇，并且序列是整数，那么所有 a_n 必须是奇。

因为如果某个 a_k 是偶，但 a1 是奇，而所有连续项奇偶性相同，所以不可能有偶项。

由奇偶性相同，所有项必须与 a1 相同奇偶性，是奇。

所以所有 a_n 是奇。

但那样的话，对于所有 n，a_n 是奇，所以 a_n 是整数，并且是奇。

但前 10 项是整数，但第 11 项呢？a11 = (a10 + a9)/2，两个奇数的和是偶，除以 2，但由于两个都是奇，平均是整数，并且是奇或偶？两个奇数的平均是偶？不，例如 3 和 5，平均是 4 偶；3 和 3，平均是 3 奇。所以可以是奇或偶。

但在所有项是奇的情况下，a11 是 (a10 + a9)/2，两个奇数的平均，是整数，但奇偶性：如果 a10 和 a9 奇偶性相同，平均是整数，但奇偶性可能不同。

但在序列中，由于所有项是奇，a11 是奇，但奇偶性可能改变？

不，如果所有项是奇，那么 a11 是 (奇+奇)/2 = 偶/2，但偶除以 2 可以是奇或偶，但数值上是整数。

但奇偶性可能改变。

例如，a1=1, a2=1，所有项是1，奇。

a1=1, a2=3，但无效。

另一个例子，a1=3, a2=3，所有项是3，奇。

但 a1=1, a2=1 是有效的。

a1=3, a2=7 呢？两者奇，1≡3 mod 4？3 和 7 都是 ≡3 mod 4。

a3 = (3+7)/2 = 10/2 = 5，奇。

a4 = (a3 + a2)/2 = (5+7)/2 = 12/2 = 6，偶。

现在 s4 = 0，s3 = 1，奇偶性不同，所以 a5 = (6+5)/2 = 11/2 = 5.5 不是整数，无效。

所以为了序列在 n≤10 时保持整数，所有项必须具有相同的奇偶性，并且由于 a1 是奇，所有项都是奇。

但所有项都是奇，那么对于 n≥3，a_n = (a_{n-1} + a_{n-2})/2，两个奇数的和是偶，所以可被 2 整除，但结果可能为偶或奇，但既然所有项都是奇，它必须是奇，所以 (a_{n-1} + a_{n-2})/2 是奇。

但 a_{n-1} 和 a_{n-2} 都是奇，设 a_{n-1} = 2k+1, a_{n-2} = 2m+1，那么和 = 2k+1 + 2m+1 = 2(k+m+1)，所以平均值 = k+m+1，是整数，并且奇偶性取决于 k+m+1。

但为了使平均值为奇，k+m+1 必须是奇，所以 k+m 必须是偶。

但 k 和 m 是整数，等等。

但序列可能不是常数。

例如，a1=1, a2=1，所有项是1。

但 a1=1, a2=3 无效。

a1=3, a2=3，所有项是3。

但 a1=1, a2=1 是有效的。

但有没有两个不同的奇数，使得序列在前10项内是常数？

假设 a1 和 a2 都是奇，并且 a3 = a2，那么 (p+q)/2 = q，所以 p+q = 2q，p = q，所以 a1 = a2，然后所有项都相等。

类似地，如果 a3 = a1，那么 (p+q)/2 = p，p+q = 2p，q = p。

所以如果序列是常数，那么 a1 必须等于 a2。

否则，如果 a1 ≠ a2，但都是奇，并且序列是整数，但所有项必须是奇，并且奇偶性相同，但数值可能变化。

但之前的尝试，当 a1 和 a2 不同时，在某个点奇偶性可能变得不同，但为了保持所有项为整数，奇偶性必须始终相同，所以如果 a1 和 a2 不同，但都是奇，序列可能最终变得不一致。

但题目说前10项是整数，所以对于给定的 a1 和 a2，两者为奇，序列在前10项必须都是整数。

所以 a1 和 a2 必须满足对于所有 n≤10，a_n 是整数。

由递推关系，2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，对于 n≥3。

所以序列由 a1 和 a2 决定。

对于 a3 是整数，2 a3 = a1 + a2，所以 a1 + a2 为偶，成立。

a4 是整数，2 a4 = a2 + a3，所以 a2 + a3 为偶。

a5 是整数，2 a5 = a3 + a4，等等。

由于所有 a_n 是整数，并且 2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，所以序列是整数线性递推序列。

特征方程为 2r^2 - r - 1 = 0，但 2 a_n - a_{n-1} - a_{n-2} = 0，所以特征方程是 2r^2 - r - 1 = 0。

2r^2 - r - 1 = 0, (2r +1)(r-1) =0，所以 r=1 或 r=-1/2。

所以通解是 a_n = A * (1)^n + B * (-1/2)^n

但 a_n 是整数，所以对于 n≤10，有 a_n = A + B (-1/2)^n

由于 a_n 是整数，而 (-1/2)^n 在 n>1 时是分数，所以 B 必须为 0，因此 a_n = A 对于所有 n 成立，因此序列是常数。

这可能吗？

例如，a1 = A + B (-1/2) = A - B/2

a2 = A + B (1/4) = A + B/4

但 a1 和 a2 是整数，所以 A - B/2 是整数，A + B/4 是整数。

设 k = B，则 A - k/2 为整数，A + k/4 为整数。

令 m = A - k/2，为整数，则 A = m + k/2

那么 a2 = (m + k/2) + k/4 = m + (3k)/4

这必须是整数，所以 (3k)/4 是整数，因此 k 必须是 4 的倍数，设 k = 4l，则 a2 = m + 3l

a1 = A - k/2 = (m + k/2) - k/2 = m，等等 A = m + k/2，a1 = A - k/2 = m

a2 = A + k/4 = (m + k/2) + k/4 = m + (3k)/4

设 a2 为整数，所以 (3k)/4 为整数，因此 k 可被 4 整除，设 k = 4l，则 a2 = m + 3l

a1 = m

但 a1 和 a2 是给定的，所以对于常数序列，a1 = a2。

否则，如果 B ≠ 0，则 a_n = A + B (-1/2)^n，对于 n≥1。

对于 n 很大时，它趋近于 A，但 B (-1/2)^n 在 n 很大时很小，但对于有限 n，如果 B 不是零，则 a_n 不是整数，除非 B=0。

例如，n=1，a1 = A + B (-1/2) = A - B/2

n=2，a2 = A + B (1/4) = A + B/4

如果 B 不为零，则 a1 和 a2 可能不是同时为整数，但在这个序列中，a1 和 a2 是整数，但 a3 = A + B (-1/8) = A - B/8，等等。

对于 a3 是整数，A - B/8 必须是整数，但 A 和 B 是常数。

由 a1 和 a2 开始。

a1 = A - B/2 是整数

a2 = A + B/4 是整数

令 a1 = p，a2 = q，都是整数。

则 p = A - B/2

q = A + B/4

从第一个式子，A = p + B/2

代入第二个式子，q = (p + B/2) + B/4 = p + (3B)/4

所以 q - p = (3B)/4

因此 B = (4/3)(q - p)

由于 B 必须是这样的，使得对于所有 n，a_n 是整数，但 a3 = A + B (-1/2)^3 = A - B/8

A = p + B/2

a3 = (p + B/2) - B/8 = p + (4B/8 - B/8) = p + (3B)/8

但 B = (4/3)(q - p)，所以 a3 = p + (3/8)(4/3)(q - p) = p + (1/2)(q - p) = p + q/2 - p/2 = (p/2) + q/2 = (p + q)/2

这正是我们已有的，a3 = (a1 + a2)/2。

类似地，a4 = A + B (1/16) = A + B/16

A = p + B/2

a4 = p + B/2 + B/16 = p + (9B)/16

B = (4/3)(q - p)，所以 a4 = p + (9/16)(4/3)(q - p) = p + (9/12)(q - p) = p + (3/4)(q - p) = p + 3q/4 - 3p/4 = (1/4)p + 3/4 q

但 p 和 q 是整数，a4 可能不是整数，除非 p 和 q 满足条件。

在序列中，a4 必须是整数，所以对于给定的 p 和 q，a4 是整数仅当 p 和 q 满足某些条件。

但为了使序列在 n≤10 时全部为整数，它要求除以 2 的误差在 n 很大时变小，但 B (-1/2)^n 在 n 很大时很小，但对于 n=10，(-1/2)^10 很小，但仍然是分数，所以除非 B=0，否则 a_n 不是整数。

例如，如果 B 不是零，a10 = A + B (-1/2)^10 = A + B/1024，所以除非 B 是 1024 的倍数，否则不是整数，但 B 是固定的，所以对于大的 n，它可能不是整数。

但在这个问题中，对于 n 直到 10，如果 B 是 2^10 的倍数，但 2^10=1024，所以如果 B 是 1024 的倍数，那么对于 n≤10，a_n 是整数，因为 |B (-1/2)^n| ≤ |B|/2^10，如果 B 是 2^10 的倍数，那么对于 n≤10，B (-1/2)^n 是整数，所以 a_n 是整数。

但 A 是整数，因为 a1 = A - B/2，如果 B 是偶数，则成立。

但让我们看看。

假设对于某个 k，序列在 n≤k 时是整数。

但在这个问题中，k=10。

但我们需要从第 11 项开始的性质。

回到递推关系。

2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2} 对于 n≥3。

所以差量方程。

令 d_n = a_n - a_{n-1}，但不确定。

注意到如果序列是常数，则成立。

否则，序列是线性的，并且由于特征根是 1 和 -1/2，通解是 a_n = A + B (-1/2)^n

对于 n≤10 时 a_n 为整数，由于 (-1/2)^n 的分母是 2^n，所以对于 n≤10，a_n 为整数，要求 B 是 2^{10} 的倍数，设 2^{10} M，其中 M 是整数。

那么 a_n = A + B (-1/2)^n = A + 2^{10} M (-1/2)^n = A + M (-1)^n 2^{10-n}

对于 n≤10，2^{10-n} 是整数，所以 a_n 是整数。

A 是整数，因为当 n=0 时，但 n 从 1 开始。

a1 = A + B (-1/2) = A - (2^{10} M)/2 = A - 2^9 M

a2 = A + B (1/4) = A + 2^{10} M /4 = A + 2^8 M

等等。

现在，a1 和 a2 是给定的，都是奇数。

但序列是从第 11 项开始，所以对于 n≥11，a_n = A + B (-1/2)^n

B = 2^{10} M，所以 a_n = A + 2^{10} M (-1/2)^n = A + M (-1)^n 2^{10-n}

对于 n≥11，2^{10-n} 是 1/2^{n-10}，所以当 n>10 时，分母是 2^{n-10}，因此 a_n 不是整数，除非 M=0。

如果 M=0，则 B=0，序列是常数，a_n 是整数。

但若 M≠0，则对于 n≥11，a_n 有分母 2^{n-10}，因此不是整数。

但题目要求从第 11 项开始，序列的值是恒等于某种东西。

在常数情况下，它是整数，但也可能不是整数。

但我们需要前 10 项是整数，所以对于 n≤10，a_n 是整数，但 n≥11 时，a_n 可能不是整数。

在选项中，D 是“恒等于非整数”，但如果序列是常数，则它是整数。

但序列是常数仅当 a1=a2。

否则，如果 a1≠a2，但序列在前 10 项是整数，那么对于 n≥11，a_n 不是整数。

但这是真的吗？

例如，假设 a1 和 a2 使得序列在 n≤10 时是整数，但 n>10 时不是。

但递推关系对所有 n 都成立，但 a_n 可能不是整数。

在通解中，a_n = A + B (-1/2)^n

当 n≤10 时，a_n 是整数，所以 B 必须是 2^{10} 的倍数，如上所述。

那么对于 n≥11，a_n = A + B (-1/2)^n = A + 2^{10} M (-1/2)^n = A + M (-1)^n 2^{10-n}

当 n>10 时，2^{10-n} 是分数，所以 a_n 不是整数，除非 M=0。

如果 M=0，那么 B=0，序列是常数，a_n 是整数。

但当序列是常数时，a1 必须是奇数，所以所有项是奇整数。

如果序列不是常数，那么 a1 和 a2 都是奇数，但 a1 和 a2 可能不相等，并且序列在 n≤10 时是整数，这要求 B 是 2^{10} 的倍数，但 B 由 a1 和 a2 决定。

由 a1 和 a2 出发，p 和 q。

从之前的内容，p = A - B/2

q = A + B/4

那么 B = (4/3)(q - p)，如之前所示。

但 B 必须是 2^{10} 的倍数，但 (4/3)(q - p) 是整数，所以 q - p 必须能被 3 整除，并且 B 是 2^{10} 的倍数。

但 a1 和 a2 是奇数，等等。

但也许对于序列在 n≤10 时是整数，它必须整除，但一旦如此，对于 n>10，a_n 就不是整数。

但问题是从第 11 项开始，所以对于 n≥11，a_n 不是整数。

但在常数情况下，对于 n≥11，它也是整数。

但常数情况是当 a1=a2 时。

但题目说“前 10 项是整数”，并没有说序列是常数，所以可能有两种情况：常数或非常数但前 10 项是整数。

在非常数情况下，对于 n≥11，a_n 不是整数。

在常数情况下，对于 n≥11，a_n 是整数。

但问题是要找出从第 11 项开始的特性。

在常数情况下，它是整数，在非常数情况下，它不是整数。

但选项包括“恒等于整数”或“恒等于非整数”，等等。

但“恒等于”意思是所有项从第 11 项开始都满足该属性。

在非常数情况下，从第 11 项开始，所有 a_n 都不是整数，所以是“恒等于非整数”。

在常数情况下，从第 11 项开始，所有 a_n 都是整数，所以是“恒等于整数”。

但常数情况是当 a1=a2 时。

但题目中，a1 和 a2 都是奇数，但可能相等，也可能不相等。

如果 a1=a2，则序列是常数，从第 11 项开始是整数。

如果 a1≠a2，但序列在前 10 项是整数，那么从第 11 项开始，所有项都不是整数。

但序列是否可能在前 10 项是整数而 a1≠a2？

根据通解，仅当 B 是 2^{10} 的倍数，但 B = (4/3)(q - p)，而 q - p 是整数，所以 (4/3)(q - p) 必须是 2^{10} 的倍数，因此 q - p 必须能被 3 整除，并且 (4/3)(q - p) 是 2^{10} 的倍数，所以 (q - p) 必须能被 3 整除，并且 (4/3)(q - p) 是 2^{10} 的倍数，所以 (q - p) 必须能被 3 * 2^{10} / gcd(4,2^{10}) 整除，但 4 和 2^{10}, gcd 是 4，所以 (q - p) 必须能被 3 * 2^{10} / 4 整除？我们来写一下。

B = (4/3)(q - p)

B 必须是 2^{10} 的倍数，所以 (4/3)(q - p) = 2^{10} M，其中 M 是整数。

所以 (4/3)(q - p) = 2^{10} M

两边同时乘以 3：4 (q - p) = 3 * 2^{10} M

所以 4 (q - p) = 3 * 1024 M

因此 q - p 必须能被 3 整除，设为 3K，那么 4*(3K) = 3*1024 M，所以 12K = 3072 M，因此 K = 256 M

12K = 3*1024 M = 3072 M，所以 K = 3072 M / 12 = 256 M

3072 / 12 = 256，没错。

所以 q - p = 3K = 3*256 M = 768 M

但 p 和 q 是整数，a1 和 a2 是奇数，所以 q - p 是偶数，因为两个都是奇数，差是偶数。

768 M 是偶数，没错。

所以当 a1 和 a2 满足 q - p = 768 M，并且 M 是整数时，序列在前 10 项是整数。

然后对于 n≥11，a_n 不是整数。

如果 M=0，那么 q-p=0，所以 a1=a2，序列是常数。

所以，总结：

• 如果 a1 = a2，那么序列是常数，所有项都是整数（并且是奇数）。

• 如果 a1 ≠ a2，但 |a1 - a2| 是 768 的倍数（因为 q-p = 768M），那么序列在前 10 项是整数，但对于 n≥11，a_n 不是整数。

但 768 是 2^8 * 3，但 2^8=256，256*3=768。

但在序列中，对于 n≥11，a_n 不是整数。

但问题是从第 11 项开始，所以在这两种情况下：

• 如果 a1 = a2，那么从第 11 项开始，所有项都是整数。

• 如果 a1 ≠ a2，那么从第 11 项开始，所有项都不是整数。

但题目中，a1 和 a2 是给定的，都是奇数，但未指定是否相等。

所以从第 11 项开始的值取决于 a1 和 a2。

但问题要求的是“恒等于”，意思是对于所有这样的序列，从第 11 项开始的值是固定的。

但在一种情况下是整数，在另一种情况下不是整数。

但可能对于所有序列，从第 11 项开始，它们都不是整数？不，在常数情况下，它们是整数。

但常数情况是可能的，例如 a1=a2=1。

那么从第 11 项开始，是整数。

如果 a1=1, a2=1+768=769，都是奇数，1 和 769。

那么 B = (4/3)(769 - 1) = (4/3)(768) = 4*256 = 1024，是 2^{10}，所以 M=1。

那么 a3 = (a1 + a2)/2 = (1+769)/2 = 770/2 = 385，是整数。

a4 = (a3 + a2)/2 = (385 + 769)/2 = 1154/2 = 577，是整数。

等等，直到 a10。

a10 = A + B (-1/2)^10 = A + 1024 * (1/1024) = A +1，或 A + (-1)^10 / 1024 * 1024，B=1024，(-1/2)^10 = 1/1024，所以 a10 = A + 1024 * 1/1024 = A+1

A 来自 a1 = A - B/2 = A - 1024/2 = A - 512 =1，所以 A = 513

a2 = A + B/4 = 513 + 1024/4 = 513 + 256 = 769，正确。

a10 = A + B (1/1024) = 513 + 1024/1024 = 513+1=514

现在 a11 = (a10 + a9)/2，但 a9 = A + B (-1/2)^9 = 513 + 1024 * (-1/512) = 513 - 1024/512 = 513 - 2 = 511

a10 = 514

a11 = (a10 + a9)/2 = (514 + 511)/2 = 1025/2 = 512.5，不是整数。

类似地，a12 = (a11 + a10)/2，但 a11 不是整数，等等。

所以对于 n≥11，a_n 不是整数。

在常数情况下，a11 是整数。

但题目是选择题，可能我们需要看看选项。

但选项是：

A. 恒等于整数

B. 恒等于偶数

C. 恒等于奇数

D. 恒等于非整数

在常数情况下，它恒等于整数（并且是奇数），所以是整数。

在非常数情况下，它恒等于非整数。

所以对于不同的序列，情况不同。

但也许在上下文中，或者我们需要找出它是什么。

但问题说“则从第11项开始，这个数列的值为”，并且是“值为”，可能是指值的性质。

但“恒等于”是选项的一部分。

也许对于所有序列，从第11项开始，它总是非整数？但常数序列是反例。

除非当 a1=a2 时，它包含在前10项中，但第11项仍然存在。

但题目说“前10项都是整数”，在常数情况下，前10项是整数，第11项也是整数。

但也许题目暗示序列不是常数，但并没有明确说明。

另一个想法：在递推中，从第11项开始，但第11项是 a11 = (a10 + a9)/2，而 a10 和 a9 是整数，但它们的和可能不是偶数，所以 a11 可能不是整数。

在常数情况下，a10 和 a9 奇偶性相同，和是偶数，所以 a11 是整数。

在非常数情况下，对于 n>10，a_n 可能不是整数。

但问题是从第11项开始，所以对于 n≥11，在非常数情况下，所有项都是非整数，在常数情况下，所有项是整数。

但奇偶性：在常数情况下，是奇数，但选项 B 和 C 是偶数和奇数，但在非常数情况下，不是整数，所以不适用。

所以没有统一的属性。

但也许对于这个序列，由于前10项是整数，但第11项开始使用平均数，并且因为 a1 和 a2 是奇数，但序列可能收敛，等等。

但根据通解，在 n>10 时，它呈指数衰减，但带有分数部分。

但让我们检查一下选项。

也许我误解了“从第11项开始”。

题目说：“从第11项开始，这个数列的值为”

而“值为”可能是指值的性质，但“恒等于”是选项的一部分。

另一个想法：在递推中，对于 n≥3，但前10项是整数，所以对于 n=3 到 10，a_n 是整数。

然后对于 n=11，a11 = (a10 + a9)/2，而 a10 和 a9 是整数，所以如果 a10 + a9 是偶数，那么 a11 是整数，否则是半整数或分数。

但奇偶性：由于所有前项是整数，但 a10 和 a9 可能具有不同的奇偶性，但在序列中，对于 a11 是整数，a10 和 a9 必须具有相同的奇偶性。

但在序列中，对于每个步骤，当计算 a_n 时，a_{n-1} 和 a_{n-2} 必须具有相同的奇偶性，这样 a_n 才是整数。

对于 n=11，a11 是整数仅当 a10 和 a9 具有相同的奇偶性。

但 a10 和 a9 是前10项的一部分，是整数，但它们可能具有不同的奇偶性吗？

但在序列中，为了 a10 是整数，当计算 a10 时，a9 和 a8 必须具有相同的奇偶性，等等。

但奇偶性可能发生变化。

例如，在 a1=1, a2=1 的常数序列中，所有奇数。

在 a1=1, a2=769 的例子中，a1=1 为奇数，a2=769 为奇数，a3=385 为奇数，a4=577 为奇数，等等，直到 a10。

a10=514，是偶数，a9=511 是奇数，所以 a10 和 a9 奇偶性不同，因此 a11 = (514 + 511)/2 = 1025/2 = 512.5 不是整数。

类似地，a12 = (a11 + a10)/2，但 a11 不是整数，所以 a12 可能也不是整数，等等。

但在所有情况下，对于 n≥11，当序列不是常数时，a_n 不是整数，当是常数时，a_n 是整数。

但常数序列是可能的，所以从第11项开始，它并不总是非整数。

然而，在题目中，它说“前10项都是整数”，在常数序列中，第11项也是整数，但也许题目是想让序列在第10项之后改变，但并不是这样。

也许对于所有序列，从第11项开始，它总是奇数或类似的情况，但在非整数情况下，不是整数。

但选项 D 是“恒等于非整数”，在非常数序列中是 true，在常数序列中则是 false。

所以没有统一的选择。

除非在题目中，当 a1 和 a2 是奇数，且前10项是整数，但序列是常数仅当 a1=a2，但 a1 和 a2 都是奇数，可能不相等，但当它们不相等时，从第11项开始，所有项都是非整数。

但当它们相等时，从第11项开始，所有项是整数。

但也许在上下文中，或根据选项，D 是预期答案，但有一个反例。

也许对于 n≥11，在常数序列中，它包含在“整数”中，但问题在于“恒等于”是否对所有序列都成立。

但让我们检查一下选项。

另一个想法: 递推式是 a_n = (a_{n-1} + a_{n-2})/2，所以对于 n≥11，a_n 是前两项的平均值，而由于前10项是整数，但 a10 和 a9 可能没有相同的奇偶性，因此 a11 可能不是整数，然后 a12 等等，一旦不是整数，就会保持为分数。

在常数序列中，它保持为整数。

但对于问题“从第11项开始”，在常数序列中，它是整数，在非常数序列中，它不是整数。

但也许题目有一个隐含条件，即序列不是常数，或者类似的情况。

也许对于所有序列，从第11项开始，它从来不等于整数？在常数序列中，它是整数。

我 can't see a way that all sequences have the same property for n≥11.

除非当 a1=a2 时，它被考虑在“前10项”中，但第11项是单独的。

但题目说“从第11项开始”，所以它包含第11项及之后的所有项。

在常数情况下，它们都是整数，在非常数情况下，它们都是非整数。

但也许在非常数情况下，当 M≠0 时，对于 n≥11，a_n 不是整数，但它是分数，所以是非整数。

在常数情况下，是整数。

但选项 A 和 D 是互斥的。

也许题目是假设序列不是常数，但并没有明确说明。

另一个想法：在递推关系中，它说“从第11项开始”，但前10项是整数，所以对于 n=11，它使用 a10 和 a9，它们是整数，但 a11 可能不是整数，然后对于 n=12，它使用 a11 和 a10，如果 a11 不是整数，a12 可能也不是整数，等等。

但在常数情况下，a11 是整数。

但让我们看看奇偶性或数值。

也许对于所有序列，由于 a1 和 a2 是奇数，序列在某种意义上是奇数，但并非如此。

我想我需要考虑，在序列中，对于 n≥3，2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2)，所以序列是整数线性组合。

但 2 a_n 是整数，所以 a_n 是半整数或整数，但前10项是整数，所以对于 n≤10，a_n 是整数，但对于 n>10，2 a_n 是整数，但 a_n 可能不是整数。

2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，所以 2 a_n 是整数，因此 a_n 是半整数或整数。

对于 n≥11，2 a_n 是整数，所以 a_n 是半整数或整数。

在常数情况下，是整数，在非常数情况下，对于 n>10，是半整数或分数。

在 a1=1, a2=769 的例子中，a11=512.5，是半整数，a12 = (a11 + a10)/2 = (512.5 + 514)/2 = 1026.5/2 = 513.25，不是半整数，等等，所以是分数。

但 2 a_n 是整数，所以 a_n 是半整数或整数。

半整数是当分母为 2 时。

但在通解中，对于 n>10，分母是 2^{n-10}，所以当 n>11 时，分母大于 2，因此不是半整数。

但 2 a_n 是整数。

对于选项，它可能是半整数，但选项中没有“半整数”，只有“整数”或“非整数”。

“非整数”包括半整数和分数。

在常数情况下，它是整数。

但在题目中，也许当它说“从第11项开始”，而前10项是整数，但第11项是第一个使用平均值的项，对于 n>11，它使用前面的项，这些项可能不是整数。

但属性可能取决于序列。

我认为唯一的方式是，对于所有序列，从第11项开始，它决不可能是整数，除非常数序列，但常数序列是可能的，所以它可以是整数。

但也许在上下文中，或根据选项，D 是正确答案，因为对于非常数序列，它是非整数，而常数序列是平凡序列，但题目说“某数列”，所以包含常数序列。

让我们检查一下中文：“某数列”意思是“某个数列”，所以是任意的，具有这些属性。

所以对于某些序列，从第11项开始是整数，对于某些则不是。

但题目说“则从第11项开始，这个数列的值为”，暗示对于所有这样的序列，从第11项开始的值具有相同的性质。

但如上所述，它并不具有。

除非当 a1 和 a2 是奇数，且前10项是整数时，序列必须是非恒定的，但当 a1=a2 时，它是恒定的，并且是整数。

但 a1 和 a2 都是奇数，所以当 a1=a2 时，它是恒定且是整数的。

当 a1≠a2 时，从第11项开始，所有项都是非整数。

但 property 不同。

Perhaps for the purpose of this problem, since the sequence can be constant, but maybe the "from the 11th item" implies that it is not constant, or something.

I think there might be a mistake in the reasoning.

Another idea: in the recurrence, for n≥3, but for n=11, a11 = (a10 + a9)/2, and a10 and a9 are integers, but for a11 to be integer, a10 + a9 must be even, which requires that a10 and a9 have the same parity.

In the sequence, for the first 10 terms to be integer, it is possible that a9 and a10 have different parity, as in the example where a9=511 odd, a10=514 even, then a11 not integer.

If the sequence is such that a9 and a10 have the same parity, then a11 could be integer.

But in the constant case, they do.

In non-constant, if by chance a9 and a10 same parity, a11 integer, but then for a12, it needs a11 and a10 same parity, etc., but it may not hold.

In the non-constant case with M≠0, for n>10, a_n is not integer, so it doesn't happen.

For example, in a1=1, a2=769, a9=511 odd, a10=514 even, different parity, a11 not integer.

If I choose a1 and a2 such that for n=9 and 10, they have the same parity, but in the decaying sequence, it might be possible, but with B multiple of 2^10, for n=10, a10 = A + B (1/1024) = A + M, since B=1024M, a10 = A + M

a9 = A + B (-1/2)^9 = A + 1024M (-1/512) = A - 2M

a8 = A + B (1/256) = A + 1024M / 256 = A + 4M

等等。

所以 a9 = A - 2M, a10 = A + M

奇偶性：如果 M 是整数，A 是整数，a9 和 a10 可能奇偶性相同，也可能不同，取决于 A 和 M。

例如，如果 M 是偶数，A 是偶数，那么 a9 和 a10 都是偶数。

如果 M 是奇数，A 是奇数，a9 = A-2M 是奇-偶=奇，a10 = A+M 是奇+奇=偶，所以奇偶性不同。

如果 A 是奇，M 是奇，a9 = 奇 - 偶 = 奇，a10 = 奇 + 奇 = 偶，奇偶性不同。

如果 A 是偶，M 是奇，a9 = 偶 - 偶 = 偶，a10 = 偶 + 奇 = 奇，奇偶性不同。

如果 A 是偶，M 是偶，a9 = 偶 - 偶 = 偶，a10 = 偶 + 偶 = 偶，奇偶性相同。

如果 A 是奇，M 是偶，a9 = 奇 - 偶 = 奇，a10 = 奇 + 偶 = 奇，奇偶性相同。

所以当 M 和 A 奇偶性相同时，a9 和 a10 奇偶性相同；否则不同。

在 a9 和 a10 奇偶性相同的情况下，a11 = (a9 + a10)/2 是整数，但 a11 = ( (A-2M) + (A+M) )/2 = (2A - M)/2 = A - M/2

由于 a11 是整数，M/2 必须是整数，所以 M 是偶数。

但 M 是整数，所以如果 M 是偶数，那么 a11 是整数。

然后 a12 = (a11 + a10)/2 = ( (A - M/2) + (A + M) )/2 = (2A + M/2)/2 = A + M/4

要成为整数，M/4 必须是整数，所以 M 可被 4 整除，等等。

但对于 n>10，随着 n 增加，分母指数增长，因此除非 M=0，否则 a_n 不能是整数。

例如，如果 M 是偶数，a11 是整数，但 a12 = A + M/4，所以如果 M 可被 4 整除，则 a12 是整数，但需要 M 可被 2^{n-10} 整除，对于大的 n 来说，这不可能，除非 M=0。

所以对于 n>10，如果 M 不是 2 的高次幂的倍数，a_n 不是整数，但即使对于某些 n 是整数，对于更大的 n 也不是。

但在序列中，对于 n≥11，它最终会变成非整数。

但问题是从 n=11 开始，所以对于 n=11,12,13,...，在 M≠0 且 M 不被高次幂整除的情况下，a11 可能不是整数，或者如果是，则 a12 不是，等等。

但最终，对于大于 10 的 n，它会变成非整数。

但对于从 n=11 开始的所有项，它们可能都是非整数，或者某些项是整数，但不是很长。

在常数情况下，所有项都是整数。

但也许对于这个问题，由于前 10 项是整数，而递推从第 11 项开始，但第 11 项依赖于 a10 和 a9，它们是在前 10 项中，所以对于 a11 是整数，我需要 a10 和 a9 同奇偶，但即使如此，a12 也可能不是整数，等等。

但为了简化，也许出题者的意图是，从第 11 项开始，所有项都是非整数，但常数序列是一个反例。

除非当 a1=a2 时，它被考虑在“前 10 项”中，但第 11 项是第一个非平凡项，但事实并非如此。

我认为唯一的办法是注意到在常数序列中，从第 11 项开始，它仍然是整数，但也许对于这个序列，由于 a1 和 a2 是奇数，且序列是整数，但平均值可能不是整数，但常数序列中它是整数。

I think I should look for the answer.

Perhaps the sequence must be such that for n≥11, it is not integer because the denominator grows.

But in the constant case, it is integer.

But let's assume that for the sequence to have the first 10 items integer with a1 and a2 odd and not equal, then from n=11 on, it is not integer.

And for the constant case, it is integer, but perhaps the problem implies that the sequence is not constant, or in the context, the "值为" means the value type.

But let's see the options.

Perhaps for all sequences, from the 11th item, it is always odd, but in the non-integer case, it's not integer, so not odd.

I think I found a way.

In the recurrence, for n≥3, 2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, so the sequence is determined, and for n>10, a_n is not integer unless the sequence is constant.

But in the constant case, it is integer.

But for the purpose of this problem, since the sequence can be constant, but maybe the "前10项" includes the case where it is constant, but the "从第11项开始" for constant sequence is still integer, but the option "恒等于非整数" is false for that.

But perhaps the problem has a typo or something.

Another idea: the recurrence is for n≥11, but the text says "从第11项开始，这个数列的值为", and "这个数列的值为" might mean the value of the sequence from there on.

But in the constant case, it is constant integer, in non-constant, it is fractional.

But let's check the answer choices.

Perhaps for the sequence, since a1 and a2 are both odd, the average (a1 + a2)/2 may not be integer, but in the sequence, it is for n≥3.

I think I need to accept that for non-constant sequences, from n=11 on, it is non-integer, and for constant, it is integer, but since the constant sequence is a special case, and for it, from n=11 on, it is integer, so it can be integer, so A is not always true, D is not always true.

But the question might be that for all such sequences, the value from 11th on is always non-integer, but it's not true.

Unless for the constant sequence, the 11th item is included in the first 10, but it's not.

I think there's a mistake in the problem or my reasoning.

Let's read the text again: "某数列的前10项都是整数，从第11项开始，每一项是前两项的的平均数。已知第1项和第2项都是奇数。"

"从第11项开始" means starting from the 11th item, each item is the average of the previous two.

But the previous two could be from the 10th and 9th, etc.

But for the 11th item, it is the average of the 10th and 9th.

Both are integers, but their sum may not be even, so the average may not be integer.

Then for the 12th, it is the average of the 11th and 10th, and so on.

In the constant case, the 10th and 9th are both integers and same parity, so 11th is integer.

But perhaps for the sequence to be defined, and the first 10 items integer, but the 11th may not be, and then subsequent may not be.

But for the property, it is not constant.

I think I should look for the answer online or assume that for all sequences, from 11th on, it is non-integer.

Perhaps the "前两项" for the 11th item are the 10th and 9th, which are integers, but the average may not be integer, and similarly for the 12th, if the 11th is not integer, the average may not be, etc.

But in the constant case, it is integer.

But let's see the options; perhaps C or B, but in non-integer case, not applicable.

I think the only consistent way is that for all sequences, from the 11th item, it is not always integer, but the option is "恒等于", which means always.

In the constant sequence, it is always integer, in non-constant, always non-integer.

So no.

Unless for the constant sequence, when we say " from the 11th item", it is the same as before, but the property is the same.

But the value is integer.

I think I have to go with D, as the most likely, or A.

But let's see the title or something.

Perhaps in the sequence, since a1 and a2 are odd, the average (a1+a2)/2 may not be integer, but in the sequence, for n=3, it is integer because it's given that the first 10 are integer.

But for n=11, it may not be.

I think I found a different approach.

Let me denote the sequence a1, a2, a3, ..., a10, all integer.

Then a11 = (a10 + a9)/2

a12 = (a11 + a10)/2

a13 = (a12 + a11)/2

等等。

现在，a11 是整数仅当 a10 和 a9 同奇偶。

但即使不是，a11 也可能半整数，等等。

但 from that point, the sequence may not be integer.

But for the property, it is difficult.

Perhaps the sequence from n=11 on satisfies that 2 a_n = a_{n-1} + a_{n-2} for n≥11, but with a9 and a10 integer, but a11 may not be.

Then the sequence is no longer integer.

But in the constant case, it is.

I think for the sake of this problem, the intended answer is that it is always non-integer from 11th on, so D.

Or perhaps it is always odd, but not.

Let's assume that for all sequences, a9 and a10 have different parity, but in the constant case, they have the same.

In the constant case, they have the same parity, in non-constant, they may have the same or different, but in the example, they have different.

In a1=1, a2=1, a9=1, a10=1, both odd, same parity.

In a1=1, a2=769, a9=511 odd, a10=514 even, different parity.

So it varies.

I think I should box D as the answer.

So the answer is D. 恒等于非整数

But in the constant case, it is integer, so it's not always true.

Perhaps the problem has a condition that the sequence is not constant, but it doesn't say.

Another idea: "从第11项开始" and "这个数列的值为" might mean that the value is defined as the average, but it could be fractional, so for all sequences, from 11th on, it is not necessarily integer, and in fact, for most, it is not.

But for the constant, it is.

I think I'll go with D.

So $\boxed{\text{D}}$

Or let's see the step by step reasoning.

Perhaps for the sequence, since the first 10 are integer, but the recurrence from 11th on uses average, and because a1 and a2 are odd, the sequence may have fractional values.

But in constant, it doesn't.

I think the answer is D.