首先，问题是关于一个骰子绕圈滚动，不滑动，我需要找出终点时顶面的数字。开始时顶面是3，并且骰子每对相对面上的数字和为7。

骰子有六个面，数字从1到6。相对面的和是7，所以：

• 1的相对面是6（因为1+6=7）

• 2的相对面是5（2+5=7）

• 3的相对面是4（3+4=7）

现在，看图。有两个骰子，一个在上面，标记为“Start”，另一个在下面，但路径是相同的，我想。路径是一个折线，骰子沿着路径滚动。

从图中，路径是这样的：从Start开始，向右，然后向下，然后向右，然后向上，然后向右，到End。让我数一下方格的数量。

上面的骰子：从Start开始，路径有多个方格。Start位置有一个骰子，然后它滚动经过几个方格。

路径：从骰子开始，向右移动一格，然后向下移动一格，然后向右移动一格，然后向上移动一格，然后向右移动两格到End。End是一个单独的方格，但骰子最终停在那里。

类似地，下面的骰子也是类似的，但起始位置不同？不，图中显示两个骰子，但路径是共享的吗？不，似乎上面的路径是针对上面的骰子，下面的路径是针对下面的骰子，但路径形状相同，只是起始方向不同？我需要仔细看。

图中，上面的骰子：Start在左边，骰子朝右，路径向右、向下、向右、向上、向右到End。

下面的骰子：Start在左边，但骰子朝下？等等，方向不同。

下面部分的骰子，Start在左，骰子朝右，路径是向右、向下、向右、向上、向右到End，和上面一样。

但两个骰子的初始方向不同？上面骰子的顶面是3，但下面骰子的顶面没有指定，问题只给了上面骰子的初始顶面是3。

问题说：“开始时顶面的数字为 3。” 指的是上面的骰子。

下面的骰子可能只是为了展示路径，但初始状态不同？不，问题中只有一个骰子，但图中有两个，可能是为了说明路径。

我认为只有一个骰子在滚动，从Start到End，沿着路径。

路径有转折点：向右、然后向下、然后向右、然后向上、然后向右。

每个移动都涉及骰子的滚动，所以面会改变。

骰子不滑动，意思是它只在转弯时滚动，改变方向。

但滚动时，它绕着边旋转，所以相邻面会变成新面。

我需要跟踪顶面数字的变化。

初始：顶面是3。

相对面：顶面3，底面是4（因为3+4=7）。

现在，骰子首先向右滚动。

当骰子向右滚动时，它绕着一个边旋转，该边是前面和右面的交界边。

定义方向。

假设初始时，骰子朝右。

所以，初始方向：

• 顶面：3

• 底面：4（相对顶面）

• 前面：假设我们面对滚动方向，但滚动时，我们需要考虑旋转轴。

或许更好定义坐标系。

设初始位置：骰子朝右，所以：

• 北面：上，但路径是二维的，有x和y方向。

既然路径有上下左右，我可以用方向。

初始：骰子朝东（右）。

顶面是3，所以底面是4。

现在，当骰子向东滚动时，它绕东-西边旋转，但东-西边是前后边？等等。

定义：设滚动方向为x轴。

初始：骰子朝x正方向（东）。

顶面是z正方向（上）。

前面是y正方向（北），但路径在平面中，所以y方向是垂直在滚动方向上。

或许简化：只考虑骰子在平面滚动，所以有四个方向：东、南、西、北。

初始：骰子朝东。

顶面是3。

当骰子向东滚动时，它绕东边旋转，意思是绕轴平行于y轴（南北方向）旋转。

当绕东边旋转时，东边是固定边，骰子向前（东）倾倒。

所以，新的顶面将是原来的南面或北面？取决于旋转方向。

通常，当骰子向东滚动时，如果它顺时针旋转，新的顶面是原来的南面；如果逆时针，是北面。但骰子滚动时，通常是绕边旋转，导致面更换。

标准方式：当骰子向某个方向滚动时，它绕与该方向垂直的轴旋转。

例如，向东滚动：绕南北轴旋转（y轴）。

假设初始状态：

• 顶：3

• 底：4（因为3+4=7）

• 前：设前为北（N），但路径有上下，所以前可能是上或下，但路径在网格上，所以“前”取决于方向。

定义方向：设初始时，骰子朝东，所以：

• 东面：朝东的面，但骰子有面，我们需要知道哪个面朝哪个方向。

初始顶面是3，所以3在z正方向。

底面是4在z负方向。

现在，对于x方向：朝东的面是，比如说，1或2等，但我们不知道。

类似地，朝北的面，等等。

但当我们滚动时，面会变化。

既然我们只关心顶面，我们可以跟踪顶面数字。

但顶面变化取决于滚动方向。

另外，相对面知识。

初始：顶面3，所以底面4。

当骰子向东滚动时，它绕东边旋转，但东边是骰子的一个边。

或许考虑骰子的姿态。

设初始骰子：

• 顶：3

• 底：4

• 北：设A（某个数字）

• 南：B（A的相对面，因为北和南相对，所以A + B = 7）

• 东：C（朝东的面）

• 西：D（C的相对面，所以C + D = 7）

但初始时，我们不知道A、B、C、D，只知道顶3和底4。

当骰子向东滚动时，它向前（东）倾倒，所以绕东-西轴旋转，但东-西轴是水平轴。

具体：骰子绕一个边旋转，该边是东和西面的交界边，但东和西是面的方向。

当绕东边旋转时，意思骰子绕一个平行于y轴的轴旋转，该轴通过东边和西边的交点，但简化：旋转后，新的顶面将是原来的北面或南面，取决于旋转方向。

通常，如果骰子向东滚动，顺时针旋转，新的顶面是原来的北面。

类似地，如果向西滚动，逆时针，新的顶面是南面。

但在这个图中，方向是：从Start开始，向右（东），然后向下（南），然后向右（东），然后向上（北），然后向右（东）到End。

所以，滚动序列：东、南、东、北、东。

每个滚动，骰子改变方向，顶面变化。

初始：顶面3。

第一次滚动：东（右）

当向东滚动时，骰子顺时针旋转（从上方看），所以新的顶面是原来的北面。

设初始北面为N，南面为S，东面为E，西面为W。

由于相对面：N + S = 7, E + W = 7。

顶面3，底面4。

当向东滚动时，新的顶面是原来的北面N。

所以，在第一次东滚之后，顶面是N。

现在，位置移动到了第一个方格。

第二次滚动：向下，南（因为y负方向）

现在，骰子朝南。

当前顶面是N。

当向南滚动时，骰子绕南边旋转，轴平行于x轴（东西方向）。

向南滚动：从上方看，但南是下方，所以如果朝南，滚动时，顺时针或逆时针？

定义：当骰子朝南时，向南滚动，意思向y负方向移动。

当朝南时，向南滚动：骰子绕西-东轴旋转，但具体，绕南边旋转。

如果骰子朝南，然后向南滚动，它可能逆时针旋转（从南面看），但标准方式：当向某个方向滚动时，它绕垂直的轴旋转。

通用方法：当骰子向某个方向滚动时，新的顶面取决于方向。

设当前朝方向为D，当向D滚动时，新的顶面是原来的左面或右面？不。

更好：当向方向D滚动时，骰子绕一个轴旋转，该轴平行于与D垂直的方向。

例如，朝东时，向东滚动，绕南北轴旋转。

旋转后，新的顶面是原来的北面（如果顺时针）。

类似地，朝南时，向南滚动，绕东西轴旋转。

朝南时，向南滚动：骰子向前（南）倾倒，所以绕东西轴旋转，新的顶面将是原来的下面，但等等。

具体：初始朝南，顶面是T。

当向南滚动时，它绕水平轴旋转，该轴平行于x轴（东西方向），旋转后，新的顶面是原来的底面？不。

当向南方滚动时，骰子绕其南北边缘旋转，导致东西方向的面成为新顶面。

例如，假设骰子朝南，顶面是T。

然后向南滚动：骰子绕其南边缘旋转（但南边缘是面？），实际上，它绕一个轴旋转，该轴是通过南边缘和北边缘的线，但简化。

标准：当向某个方向滚动时，新顶面是原侧面的对面，但取决于方向。

我可能把自己搞糊涂了。

让我查一下在线的骰子滚动参考，或者逻辑地思考。

既然相对面是已知的，我们可以只跟踪顶面数字，但需要知道滚动方向如何改变顶面。

每个滚动，顶面会变成原来四个侧面中的一个，具体取决于滚动方向。

对于向东滚动：顶面变为原来的北面。

对于向西滚动：顶面变为原来的南面。

对于向南滚动：顶面变为原来的东面？等等，不对。

我们来定义方向：

假设外部坐标：x 正方向为东，y 正方向为北，z 正方向为上。

初始方向：骰子朝东，所以其前（北）面、右（东）面等。

当向东滚动时，骰子绕 y 轴（南北方向）旋转，旋转轴垂直于运动方向。

绕 y 轴旋转：如果顺时针旋转，顶面变为原来的北面（如果北是 y 正方向）。

类似地，如果逆时针，但通常向东滚动是顺时针。

在这个例子中，对于向东滚动，我们假设为顺时针旋转，所以新顶面是原来的北面。

对于向南滚动：当朝南时，向南滚动，绕 x 轴（东西方向）旋转。

如果朝南，并向南滚动，绕 x 轴旋转，轴在东西方向，如果向上旋转，新顶面将是原来的西面或东面？等等。

具体来说：当向南方滚动时，骰子绕其东西边缘旋转，新顶面成为原底面，但底面是隐藏的。

更好：当向方向 D 滚动时，新顶面是原方向上的侧面。

例如，向东滚动：新顶面是原来的北面（对边）。

向南滚动：新顶面是原来的东面？我们来看一下。

我找到了一个参考：当骰子向某个方向滚动时，新顶面是滚动方向上相邻的面，但方向不同。

标准方式：

• 向东滚动：新顶面 = 原来的北面

• 向西滚动：新顶面 = 原来的南面

• 向北滚动：新顶面 = 原来的东面？等等，不对。

对于向北滚动：如果向北走，新顶面是原来的顶面，但等等，不对。

我们来思考一下：当向北滚动时，骰子绕其南边缘旋转，新顶面是原来的北面？但北面是前面。

初始：朝北，顶面 T。

向北滚动：骰子向前（北）倾倒，所以新顶面是原来的南面（如果南是底面，但等等）。

实际上，当向北滚动时，新顶面是原来的南面，因为骰子向前旋转。

类似地，向南滚动时，新顶面是原来的北面。

向东滚动时，新顶面是原来的北面或南面？ 对于向东滚动：当向东时，新顶面是原来的北面（如果北是加 y 方向）。

在坐标系中：设 x 东，y 北，z 上。

初始：顶面：z+，3

底面：z-，4

北：y+，设为 N，N + S = 7，S 是南，y-

东：x+，E，E + W = 7，W 是西，x-

当向东滚动（x+）时：绕 y 轴顺时针旋转（从上方看），所以新顶面是原来的北面（y+），也就是 N。

新底面变成原来的南面，但底面是相对的，所以新的底面应该是原来的南面，但南面是 y-，而 N 和 S 是相对的，所以新的顶面是 N，新的底面是 S，因为 N 和 S 是相对的。

在旋转之后：绕 y 轴旋转，顶面从 z+ 变为 y+，所以新的顶面是原来的北面。

新的底面是原来的南面，但南面是相对的，所以新的底面是 S，而 S 和 N 是相对的，所以新的底面是 S，但 S 是原来的南面，是的。

类似地，新的北面：在旋转之后，原来的东面（x+）变为 z+？在绕 y 轴顺时针旋转后，原来的东面（x+）移动到了底面？我们来看一下。

旋转：绕 y 轴顺时针旋转 90 度。

原来的北面（y+）变为 z+（顶面）

原来的南面（y-）变为 z-（底面）

原来的顶面（z+）变为 x-（西，如果 x 东）

原来的底面（z-）变为 x+（东）

原来的东面（x+）变为 y+？在绕 y 轴旋转时，x 和 z 坐标旋转。

点：绕 y 轴顺时针旋转，x 变为 z，z 变为 -x，等等。

对于一个面：

• 原来的北面 (y+)：仍然在 y+，但现在成为顶面，因为 z 方向。

旋转后，新的坐标系：但面是固定的。

在旋转之后，原来北面的法向量指向 z+，所以它成为顶面。

原来南面的法向量指向 z-，成为底面。

原来顶面 (z+) 的法向量：绕 y 轴顺时针旋转后，指向 -x（如果 x 东，那么 -x 是西）。

原来底面 (z-) 的法向量：指向 +x（东）。

原来东面 (x+)：法向量指向 x+，绕 y 轴顺时针旋转后，指向 y+？绕 y 轴旋转时，x 和 z 分量发生变化。

法向量：原来东面法向量是 (1,0,0)，绕 y 轴顺时针旋转（从 +z 看是顺时针），旋转矩阵：x' = xcosθ + zsinθ，等等，但 θ=90，所以 x' = z, y' = y, z' = -x。

所以法向量 (1,0,0) 变为 (0,0,-1) 在 (x',y',z') 中，但 z' 是上方向，所以 (0,0,-1) 是 -z，也就是向下，但底面是 -z，所以原来东面变成底面？不对。

旋转后的新位置：但法向量变了。

也许更容易理解的是：在旋转之后，骰子的面重新定向。

当向东滚动时，新的方向是：新的北面是原来的顶面？我们列出新的面。

在绕 y 轴顺时针旋转 90 度后：

• 原来的北面：现在在顶面位置（z+）

• 原来的南面：现在在底面位置（z-）

• 原来的顶面：现在在西面位置（x-，因为 x 东，所以 -x 是西）

• 原来的底面：现在在东面位置（x+）

• 原来的东面：现在在南面位置？原来的东面法向量是 (1,0,0)，旋转后，x' = z, y' = y, z' = -x，所以 (1,0,0) 变为 (0,0,-1)，也就是 (0,0,-1)，所以是向下，但南面是 y-，法向量是 (0,-1,0)，旋转后 (0,-1,0) 变为 (0,-1,0)，所以仍然在南方。

  旋转后的新方向：设新坐标系。

旋转后，骰子朝东的方向，但位置移动了。

就面而言：

• 新顶面：原是北面

• 新底面：原是南面

• 新北面：原是顶面（因为原顶面法向量 (0,0,1) 旋转后变为 (-1,0,0)，也就是西，但北面是 y+，所以新北面是原顶面？混乱。

法向量：原顶面法向量 (0,0,1)，绕 y 轴顺时针旋转 90 度：x' = xcos90 + zsin90 = 0 + z*1 = z

y' = y

z' = -xsin90 + zcos90 = -x + 0 = -x

所以 (0,0,1) 变为 (1,0,0) 在 (x',y',z') 中？输入是 (x,y,z) = (0,0,1) 对于顶面。

输出 (x',y',z') = (z, y, -x) = (1, 0, 0) 因为 x=0, y=0, z=1

所以 (1,0,0) 在新坐标系中，但新坐标系中 x' 是东，z' 是上，所以 (1,0,0) 是东方向，所以原顶面现在朝东。

类似地，原北面 (0,1,0) 输入: (0,1,0) 输出 (0,1,0) 所以 (0,1,0) 在新坐标系中是北方向。

原南面 (0,-1,0) 输出 (0,-1,0) 南方向。

原东面 (1,0,0) 输入 (1,0,0) 输出 (0,0,-1) 所以 (0,0,-1) 是下方向。

原西面 (-1,0,0) 输入 (-1,0,0) 输出 (0,0,1) 上方向？(0,0,1) 是上方向，但西面是 -x，法向量是 (-1,0,0)，输出 x' = z = 0, y' = 0, z' = -x = -(-1) = 1, 所以 (0,0,1) 是上方向。

但原西面是西方向，旋转后法向量是 (0,0,1)，所以是上方向。

但上方向是顶面，所以原西面现在在顶面位置？

我们来列出：

原顶面 (0,0,1) -> (1,0,0) 东方向

原底面 (0,0,-1) -> (0,0,-1) 底面，但 (0,0,-1) 是下方向，所以原底面现在朝下，但位置是 z-，所以是底面。

输出 (x',y',z') = (1,0,0) 对于原顶面，所以在新坐标系中，它朝东（x' 正方向）。

类似地，原北面 (0,1,0) -> (0,1,0) 朝北

原南面 (0,-1,0) -> (0,-1,0) 朝南

原东面 (1,0,0) -> (0,0,-1) 朝下（z' 负方向）

原西面 (-1,0,0) -> (0,0,1) 朝上（z' 正方向）

所以，在向东滚动之后：

• 新顶面：原西面？原西面 -> 朝上，所以是顶面。

但原西面是 W，而 W 是西，但旋转后它是顶面。

新顶面是原西面？从上面看：原西面 -> 朝上，所以新顶面是原西面。

但原顶面 -> 朝东。

新底面：原东面 -> 朝下。

新北面：原北面 -> 朝北，相同。

但北面是 y+，所以新北面是原北面。

新南面：原南面 -> 朝南。

新东面：原顶面 -> 朝东。

新西面：原底面 -> 朝西？原底面 (0,0,-1) -> (0,0,-1) 朝下，但西面是 x-，法向量为 (-1,0,0)，输入 (-1,0,0) 输出 (0,0,1) 朝上，所以新西面是原底面？混乱。

对于新方向：新西面是 x' 负方向。

原底面 (0,0,-1) 输入，输出 (0,0,-1) 对于 (x',y',z')，但 z' = -x，所以对于原底面输入 (0,0,-1)，输出 x' = z = -1, y' = 0, z' = -x = 0，所以 (-1,0,0) 在 (x',y',z') 中，所以是西方向（x' 负方向）。

类似地，原顶面输入 (0,0,1) 输出 (1,0,0) 东方向。

所以，在向东滚动之后：

• 新顶面: 原西面 (因为原西面 -> 上)

• 新底面: 原东面 (原东面 -> 下)

• 新北面: 原北面

• 新南面: 原南面

• 新东面: 原顶面

• 新西面: 原底面

但新底面是原东面，而原东面是 E，但 E 和 W 是相对的，等等。

对于顶面：新顶面是原西面 W。

但 W 是西，而西和东是相对的，所以 E 和 W 是相对的。

在数值上，我们不知道。

但顶面发生了变化：从原来的顶面 T 变成了原西面 W。

类似地，对于其他方向也是如此。

但在这个问题中，我们只关心顶面，所以对于向东滚动，新顶面是原西面。

类似地，对于向西滚动，新顶面是原北面？等等。

我之前想的是新顶面是原北面，但根据计算，对于向东滚动，新顶面是原西面。

但直觉上，当向东滚动时，北面应该变成顶面，但根据这个，是西面变成顶面。

我想我搞错了旋转方向。

也许对于向东滚动，是逆时针旋转，所以新顶面是原北面。

让我们再检查一下。

假设一个骰子，1 在顶面，2 在前面（北），3 在右面（东），然后向东滚动，3 应该落在底面，2 变成顶面？ 初始：1 在顶面，2 在北面，3 在东面。

向东滚动后：骰子绕东边旋转，所以北面向下，东面变成底面，顶面变成西面，南面变成顶面？南面是对面。

初始：底面是 6，南面是 4，比如说。

向东滚动：绕轴旋转，该轴是北边和南边的交线，但边是线。

骰子绕其与北面和东面接触的边旋转，但滚动时，它是绕东南角旋转，但简化后，是绕一条平行于 y 轴的轴。

如果顺时针旋转，北面变成顶面，顶面变成西面，东面变成底面，南面变成顶面？不对。

标准：当向东滚动时，新顶面是原来的北面。

例如，如果 2 在北面，滚动后 2 在顶面。

原来的顶面 1 现在在西门。

原来的东面 3 现在在底面。

原来的南面 4 现在在底面？不，底面是新的，但面是：新底面是原来的南面。

在在线资源中，当向某个方向滚动时，新顶面是滚动方向左侧的面，或类似的情况。

但对于这个问题的目的，我们使用路径。

在图中，路径有具体的滚动，我们可以利用相对面来推理。

初始顶面是 3。

第一次滚动：东

滚动之后，顶面会变成另一个面。

然后第二次滚动南，等等。

但我们需要知道初始的侧面。

由于相对面之和是7，而顶面是3，底面是4。

当骰子向东滚动时，新顶面将是原来的北面或南面。

但北面和南面是相对的，所以一个是另一个的7减去。

类似地，对于其他方向。

但北面数字未知。

然而，在滚动之后，顶面会改变，但数字是1到6，我们可以跟踪。

但有一个技巧：由于骰子不滑动，滚动的总旋转应该使得净效果为零，但路径有转弯，所以我们需要模拟每一步。

路径序列：从起点开始，滚动：东、南、东、北、东。

每个滚动，骰子改变方向，顶面也改变。

定义初始状态。

设初始顶面: T = 3

底面: B = 4 (因为 T+B=7)

北面: N，南面: S，N + S = 7

东面: E，西面: W，E + W = 7

我们不知道 N、S、E、W。

第一次滚动：东

当向东滚动时，新顶面是原来的北面，如果我们假设顺时针旋转。

我找到了一个一致的方式：在许多资料中，对于向东滚动，新顶面是原来的北面。

对于向南滚动，新顶面是原来的东面。

对于向北滚动，新顶面是原来的西面。

对于向西滚动，新顶面是原来的南面。

我将使用这个。

所以，第一次向东滚动后：新顶面 = 原来的北面 = N

现在，骰子朝东，与之前一样。

第二次滚动：南

现在，骰子朝南（因为向南移动）。

当前顶面是 N。

当向南滚动时，新顶面 = 原来的东面 = E

因为向南滚动，新顶面是原来的东面。

所以，在第二次向南滚动后，顶面是 E。

现在，骰子朝南。

第三次滚动：东

但骰子朝南，现在它向东滚动。

所以，当朝南时向东滚动，但滚动方向是东，所以新顶面取决于方向。

当向东滚动时，无论当前方向如何，新顶面都是原来的北面。

但“北面”是相对于当前方向而言的。

所以，当前，骰子朝南，因此它的北面是，比如说，在滚动之后，方向发生了变化。

当骰子朝南时，它的前面（北）是 y 正方向？定义当前方向。

在第二次向南滚动之后，骰子朝南，顶面是 E。

当前方向：朝南，所以：

• 北面：设 N2，但它是原来的一个面。

当向东滚动时，新顶面是当前的北面。

当前的北面是，在朝南时，北面是运动方向，但滚动方向是东，与当前方向垂直。

当向东滚动时，骰子顺时针旋转，新顶面是当前北面。

所以，在第三次向东滚动时，新顶面 = 当前北面。

但当前北面是什么？在朝南时，北面是滚动方向，但滚动方向是东，所以对于朝南的骰子，北面是哪里？

坐标：设当前方向为南，所以运动方向是南，因此骰子的北面是左还是右？ 当朝南时，北面是 +y 方向，东面是 +x 方向，等等。

当向东滚动时，绕 y 轴（南北方向）旋转，新顶面是当前的北面（y+）。

所以，在第三次滚动（东）时，新顶面是当前的北面。

但当前的北面是什么？在第二次滚动之后，顶面是 E，方向是南。

在第二次向南滚动之后，顶面是原来的东面 E，方向是南。

在向南滚动之后，骰子朝南，顶面是 E。

所以当前：顶面 E，方向南，因此：

• 北面：设 N_current，但它是骰子面。

由于方向是南，北面是左，东面是上？不，方向是运动方向。

当朝南时，相对关系：顶面是 E，底面是 B，但 B 是 4，但底面是相对顶面，所以如果顶面是 E，底面是 7-E。

类似地，北面：当朝南时，北面是 +y，所以是左面，如果 x 是东，y 是北。

定义：当朝南时，x 轴：东是 +x，西是 -x

y 轴：北是 +y，南是 -y，但方向是南，所以运动是 -y。

但对于面：顶面是 E，所以 z+ 是 E。

底面 z- 是 7-E。

北面 y+：设 N_curr

南面 y-：S_curr，N_curr + S_curr = 7

东面 x+：但顶面是 E，所以如果 E 是 z+，那么 x+ 和 x- 是侧面。

当朝南时，东面是 x+，所以是 E_east 或类似的东西。

设当前顶面: T_curr = E

底面: B_curr = 7 - E (因为相对)

北面: N_curr (y+)

南面: S_curr (y-), N_curr + S_curr = 7

东面: E_curr (x+)

西面: W_curr (x-), E_curr + W_curr = 7

但当顶面是 E 时，E 是 z+，所以对于 x 和 y 方向，面是北、南、东、西。

在向南滚动时，我们滚动到南，但第二次滚动是向南，我们已经做过了。

第三次滚动是向东，而当前方向是南。

所以对于向东滚动：新顶面是当前的北面，N_curr。

但 N_curr 是朝南时骰子的北面。

在第二次滚动之后，顶面是 E，但 E 是原来的东面，而北面是某个面。

由于骰子没有滑动，面是固定的，但方向改变了，所以北面在第二次向南滚动之后发生了变化。

在第二次向南滚动之后：当向南滚动时，新顶面是原来的东面 E。

而且，在向南滚动之后，骰子现在朝南，所以新的方向是南。

在向南滚动时，旋转后，新的北面是原来的顶面？等等。

当向南滚动时：绕 x 轴旋转。

绕 x 轴顺时针旋转（从 +x 方向看，但 x 是东，所以从东看）。

当向南滚动时，骰子绕东西轴旋转，新顶面是原来的东面。

在旋转之后，新的相对方向。

在向南滚动之后，新顶面是原来的东面。

新底面是原来的西面？或者南面。

类似之前：绕 x 轴顺时针旋转 90 度（向南滚动）。

输入法向量，输出。

初始方向朝南，但滚动时，运动是向南，所以绕 x 轴（东西方向）旋转。

绕 x 轴顺时针旋转（从 +x 看）。

法向量：原顶面 (0,0,1) 在 (x,y,z) 中，但方向是南，所以局部坐标。

为简化，设局部坐标，其中运动方向是 -y，但使用固定坐标。

假设固定坐标：x 东，y 北，z 上。

在第二次滚动之后：骰子朝南，顶面是 E。

所以当前姿态：朝南，所以其前部（北）是 -y 方向？定义。

当朝南时，运动方向是 -y（南），所以骰子的北部面朝向 -y，但北部面是法向量指向 +y，但 +y 是北，所以当朝南时，北部面在左侧。

法向量：对于朝南的骰子，其北部面的法向量是 +y（北），但因为它朝南，+y 是左方。

东部面法向量为 +x（东），等等。

顶面法向量为 +z（上）。

当向东滚动时，滚动方向是东，即 +x。

所以绕 y 轴旋转（南北方向），顺时针（从上方看）。

绕 y 轴顺时针旋转 90 度。

当前法向量：

• 顶面: (0,0,1)

• 底面: (0,0,-1)

• 北: (0,1,0) // y+，但朝南时，北面在左侧

• 南: (0,-1,0) // y-，南面在右侧？朝南时，南面在运动方向，但法向量是 (0,-1,0)，所以是向後。

但对于旋转，我们使用法向量。

绕 y 轴顺时针旋转 90 度：旋转矩阵，x' = xcos90 + zsin90 = 0 + z*1 = z

y' = y

z' = -xsin90 + zcos90 = -x + 0 = -x

所以对于法向量：

• 顶面 (0,0,1) -> (1,0,0) 在 (x',y',z') 中，所以是东部方向

• 底面 (0,0,-1) -> (-1,0,0) 在 (x',y',z') 中，所以是西部方向

• 北面 (0,1,0) -> (0,1,0) 北面

• 南面 (0,-1,0) -> (0,-1,0) 南面

• 东面 (1,0,0) -> (0,0,-1) 底面？ (1,0,0) 输入, x' = z = 0, y' = 0, z' = -x = -1, 所以 (0,0,-1) 向下

• 西面 (-1,0,0) -> (0,0,1) 向上

所以新顶面: 原西面 -> 向上, 所以新顶面是原西面

新底面: 原底面 -> (0,0,-1) 但原底面是 (0,0,-1) -> (-1,0,0) 在 (x',y',z') 中，但 (-1,0,0) 是西部，但西部是 x-，所以新西面是原底面？我们来看:

新顶面: 原西面

新底面: 原东面（因为原东面 -> (0,0,-1) 向下）

新北面: 原北面

新南面: 原南面

新东面: 原顶面（原顶面 -> (1,0,0) 东方向）

新西面: 原底面（原底面 -> (-1,0,0) 西方向）

在第三次向东滚动时，新顶面是原西面 W。

但原西面是初始的 W。

在第二次滚动之后，顶面是 E，但 E 是初始的东面。

对于第三次滚动，新顶面是当前北面，但根据计算，是原西面。

但原西面是初始的 W。

类似地，对于南滚，新顶面是原东面。

但回到问题。

初始：顶面 T=3

第一次滚动东：新顶面 = 原北面 N

所以滚动之后，顶面是 N

现在，骰子朝东，和初始一样。

第二次滚动南：现在向南滚动。

当向南滚动时，新顶面 = 原东面 E

所以新顶面是 E

现在，骰子朝南。

第三次滚动东：现在向东滚动，但当前方向是南。

当向东滚动时，新顶面 = 当前北面。

当前方向是南，所以北面是哪个面？

在第二次南滚之后，顶面是 E，方向是南。

所以当前，北面是，例如，在朝南时，北面在左侧，所以是原来的北面或其它。

根据之前的计算，对于南滚：当向南滚动时，新顶面是原东面 E。

在旋转之后，新方向是南，新的北面是原顶面？在南滚之后，新北面是原顶面。

在南滚中：绕 x 轴顺时针旋转。

输入：朝南，顶面 (0,0,1)

绕 x 轴顺时针旋转 90 度：x' = x, y' = z, z' = -y？绕 x 轴旋转。

绕 x 轴顺时针旋转（从 +x 看）。

旋转矩阵：x' = x

y' = ycosθ + zsinθ

z' = -ysinθ + zcosθ

对于 θ=90，cos90=0，sin90=1

所以 x' = x

y' = y0 + z1 = z

z' = -y1 + z0 = -y

所以对于法向量：

• 顶面 (0,0,1) -> (0,1,0) 在 (x',y',z') 中，但 y' = z = 1, z' = -y = 0, x' = 0, 所以 (0,1,0) 是北方向（y+）

• 底面 (0,0,-1) -> (0,-1,0) 南方向

• 北面 (0,1,0) -> (0,0,-1) 底面？ (0,1,0) 输入, x' = 0, y' = z = 0, z' = -y = -1, 所以 (0,0,-1) 向下

• 南面 (0,-1,0) -> (0,0,1) 向上

• 东面 (1,0,0) -> (1,0,0) 东方向

• 西面 (-1,0,0) -> (-1,0,0) 西方向

所以新顶面: 原南面 -> 向上, 但原南面 (0,-1,0) -> (0,0,1) 向上, 所以新顶面是原南面。

但原南面是 S，而 S 和 N 是相对的。

在向南滚动中，新顶面是原东面，但根据这个，新顶面是原南面。

我搞错了。

初始状态：假设骰子朝南，顶面是 T。

当向南滚动时，它向前倾倒，所以新顶面是原底面？不。

例如，如果顶面是1，前面（北）是2，南面是5，东面是3，底面是6。

向南滚动：骰子绕南边旋转，新顶面是东面3，底面变成地面，等等。

所以新顶面是原东面。

在计算中：输入顶面 (0,0,1) -> (0,1,0) 北方向，但北方向是 y+，不是上方向。

输出 (0,1,0) 是北方向，所以原顶面现在朝北。

原南面 (0,-1,0) -> (0,0,1) 上方向，所以新顶面是原南面。

但原南面是南面，法向量为 (0,-1,0)，输出 (0,0,1)，所以是新顶面。

但向南滚动时，新顶面应该是原东面。

矛盾。

对于南面：法向量 (0,-1,0)，输入，输出 x' = 0, y' = z = 0, z' = -y = -(-1) = 1, 所以 (0,0,1) 上方向，所以新顶面是原南面。

但直觉上，当向南滚动时，新顶面应该是东面或西面。

我认为在旋转中，当向南滚动时，是绕 x 轴旋转，新顶面成为原东面或西面。

但根据矩阵，新顶面是原南面。

但原南面是南面，当朝南时，南面在运动方向，所以当向南滚动时，骰子可能倒向侧面。

我放弃了。对于这个问题，我将使用相对面方法。

初始顶面: 3

第一次东滚: 新顶面 = 原北面

设原北面为 A，所以新顶面 = A

第二次南滚: 新顶面 = 原东面，设原东面为 C，所以新顶面 = C

第三次东滚: 新顶面 = 当前北面，但当前方向是南，北面是第二次滚动后的面。

第二次南滚后，顶面是 C，方向是南，所以北面是，例如，在第一次东滚后，北面可能变成了其他面。

但既然我们知道相对面，而顶面在变化，我们可以考虑旋转的总效果。

路径: 东、南、东、北、东

每个滚动对应一个 90 度的旋转。

净旋转: 东, 南, 东, 北, 东

但北和南相反，东和西相反。

序列: 东, 南, 东, 北, 东

所以方向变化: 从东开始，向南，然后向东，然后向北，然后向东。

但骰子方向: 初始东，经过东滚后仍为东，经过南滚后为南，经过东滚后为南然后东，但东滚后方向改为东，所以朝东。

在第二次南滚后，方向为南，第三次东滚后，方向变为东，因为向东滚动。

类似地。

对于顶面，每个滚动，顶面变为与滚动方向垂直的相邻面。

但使用相对面。

初始顶面 3，所以对面是 4。

第一次东滚: 新顶面 = 北面，设为 N

所以现在顶面是 N，对面是 7-N

第二次南滚: 新顶面 = 东面，但东面是相对于当前方向。

南滚后，新顶面是原东面。

但原东面是初始的东面，设为 E。

所以新顶面 E

现在，顶面 E，对面 7-E

第三次东滚: 新顶面 = 当前北面

当前方向是南，所以北面是，在第二次南滚之后，北面是初始的北面还是其他？

在南滚之后，新北面是原顶面，因为旋转。

在第二次南滚中: 当南滚时，新顶面 = 原东面 E

新北面 = 原顶面 T = 3，因为在南滚后，新的北面是原顶面。

类似地，新东面 = 原北面 N，等等。

所以第三次东滚时，新顶面 = 当前北面，即第二次南滚之后的新北面，也就是原顶面 T=3。

所以新顶面 = 3

但3是初始顶面。

然后，在第三次东滚之后，顶面再次是3。

现在，骰子朝东，因为第三次东滚后，方向是东。

第四次滚动：北

向北滚动。

当前顶面是3。

向北滚动：新顶面 = 当前南面？根据标准，向北滚动时，新顶面是原西面。

但使用相对坐标。

当前方向朝东，顶面是3。

向北滚动：新顶面 = 原北面，但向北滚动时，新顶面是原西面。

设当前：朝东，顶面 3，所以北面是初始的 N，但 N 是第一次滚动后的顶面，但现在是第三次之后。

在第三次东滚之后，顶面是 3，方向是东，所以北面是初始的 N，因为净效果。

第三次东滚后，顶面是 3，方向是东，所以面与初始状态相同？初始顶面是 3，方向是东，所以是的，在第三次东滚之后，骰子回到初始状态，顶面是 3，方向是东。

位置不同，但方向相同。

然后第四次滚动：北

向北滚动：新顶面 = 原西面？对于北滚，新顶面是原西面。

初始时，西面是 W，而 W 是西，但不知道。

既然顶面是 3，北滚后，新顶面是西面。

但西面是 E 的相对面，因为东和西是相对的，但东面是 E，所以西面是 7-E。

但 E 是南滚后的顶面。

第五次滚动：东，但我们需要找到终点。

但顶面在变化。

第四次北滚：新顶面 = 当前西面

当前朝东，顶面 3，所以西面是 W，设为 W。

所以新顶面 W

然后方向变为北，因为向北滚动。

第五次滚动：东

向东滚动，新顶面 = 当前北面

当前方向北，顶面 W，所以北面是，在北滚之后，新北面是原顶面。

在第四次北滚中：当向北滚动时，新顶面 = 原西面 W

新北面 = 原顶面 3

等等。

但让我们列出所有滚动。

初始：顶面 3

1. 东滚：新顶面 = 北面 N

2. 南滚：新顶面 = 东面 E

3. 东滚：新顶面 = 当前北面，但当前在第二卷之后，方向是南，北面是第二卷之后的新北面。

在第二次南滚之后：新顶面 = E

新方向：南

新北面：原顶面 T = 3（因为南滚后，新北面是原顶面）

新南面：原底面，但原底面是 7-E 或类似。

新东面：原北面 N

新西面：原南面 S

但 S = 7-N，因为北和南是相对的。

第三卷东：新顶面 = 当前北面 = 3（因为新北面是 3）

所以新顶面 = 3

新方向：东（因为东滚）

新北面：原西面，但原西面是 W，而 W 是西，但第二次南滚后，西面是原南面 S。

在第二次南滚之后，西面是 S。

东滚后：新顶面 = 原西面 = S

新北面 = 原北面，但原北面是 N，而 N 是第一次东滚后的顶面，但现在是第二次南滚之后的面。

在第二次南滚之后，北面是 3，如上所述。

在第二次南滚之后，北面是 3。

东滚时：新顶面 = 当前北面 = 3

新底面 = 当前南面

等等，但新顶面是 3。

然后新方向是东。

所以第三卷之后，顶面是 3，方向是东，与初始状态相同。

第四卷：北滚

当前顶面 3，方向东。

北滚：新顶面 = 当前西面？对于北滚，新顶面是原西面。

当前，西面是初始的 W，但面：顶面 3，所以西面是某个面，设为 W_curr。

但由于方向与初始相同，且顶面相同，所有面都与初始相同。

所以西面是 W。

新顶面 = W

新方向：北

新北面：原顶面 3，因为北滚后，新北面是原顶面。

第五卷：东滚

当前顶面 W，方向北。

东滚：新顶面 = 当前北面

当前北面：在第四卷北滚之后，新北面是原顶面 3，所以当前北面是 3。

所以新顶面 = 当前北面 = 3

然后新方向：东

所以第五卷之后，顶面是 3。

但终点在第五卷之后。

所以顶面是 3。

但初始时是 3，经过一圈后，又回到 3。

路径：东、南、东、北、东

从起点开始：东、然后南、然后东、然后北、然后东到终点。

在第三次东之后，回到初始状态，然后北、东。

但第四卷北：从东开始，向北滚动，所以新顶面是西面，但西面是 W，然后第五卷东：从北开始，向东滚动，新顶面是北面，但北面是 3，所以顶面是 3。

在第五卷之后，顶面是 3。

但终点在第五卷之后。

所以顶面应该是 3。

但问题是，在路径中，骰子是否回到了起点？不，位置不同，但方向相同。

在数值上，顶面是 3。

但让我们确认一下相对面。

初始顶面 3。

终点顶面 3。

但路径有转折，但净效果没有变化。

但序列是东、南、东、北、东，所以方向变化：东、南、东、北、东，所以净位移，但旋转：每个滚动是 90 度，总旋转：但方向恢复了。

对于骰子，面应该是一样的。

但让我们看看是否有滑动，但没有滑动，所以应该是一样的。

但也许在滚动中，面发生了变化，但在这个序列中，它又回到了原点。

第三卷东之后：顶面 3，方向东。

第四卷北：北滚，新顶面 = 西面，初始西面是 W，所以顶面 W。

然后方向北。

第五卷东：东滚，新顶面 = 北面，但北面是什么？在第四卷北滚之后，新北面是原顶面，但原顶面是 3，而北滚后，新北面是原顶面 3。

所以当前北面是 3。

新顶面 = 3。

所以是 3。

在第五卷东滚之后，顶面是 3。

所以终点顶面是 3。

但初始是 3，所以是同一个面。

但问题是要输出数字，所以是 3。

但也许我漏掉了什么。

在图中，有两个骰子，但上面一个的顶面是 3，下面一个没有指定，但路径相同，但起始方向不同？在下面部分，骰子也是朝右，但初始顶面可能不同，但问题中只有一个骰子。

也许对于下面的骰子，初始顶面不同，但问题没有说明，所以可能只针对上面那个初始顶面为 3 的骰子。

所以终点应该是 3。

但让我们检查一下答案。

也许路径长度有影响，但每个滚动都是一个方框，所以每个都是 90 度旋转。

总旋转：但序列是东、南、东、北、东，所以以东和北为主，但北和南抵消，东和西抵消，但这里有两次东，一次南，一次北，所以净方向是东，但骰子方向恢复了。

所以顶面应该和初始一样。

所以是3。

但初始是3，所以终点是3。

但问题是从3开始，结束于3。

但也许我需要确认一下。

另一个想法：在起点，顶面是3，但在终点，位置不同，但面是相同的。

所以我认为是3。

但答案可能不是3，所以也许我错了。

也许在滚动中，当它滚动时，在角落上，但每个滚动是独立的。

或者不滑动意味着它不会打滑，但会滚动，所以每一步都很好。

所以我认为顶面是3。

但让我们看看相对面。

初始：顶面3，底面4。

第一次东滚：新顶面北，设为N。

第二次南滚：新顶面东，E。

第三次东滚：新顶面，当前北面，第二次南滚后，北面是3，所以新顶面3。

第四次北滚：新顶面西，W。

第五次东滚：新顶面北，但北是什么？第四次北滚后，顶面W，方向北，所以北面是，北roll后，新北面是原顶面3，所以北面是3。

新顶面北，3。

所以是3。

在第五次东滚之后，顶面是3。

所以终点是3。

但也许对于终点，在第五次东滚之后，它位于终点，顶面是3。

所以数字是3。

但问题说“终点顶面将显示什么数字？”，所以是3。

但也许我需要把它框出来。

但一开始，顶面是3，结束也是3。

但也许在路径中，它滚到了不同的面，但在这个序列中，它又回到了3。

所以我认为是3。

但让我们看看图：路径是相同的，但下面部分的骰子可能初始顶面不同，但问题没有指定，所以可能不是。

也许对于下面部分，是用来展示路径的，但初始顶面没有给出。

所以我认为对于上面那个，结束是3。

所以数字是3。