井深170.5米计算解析

井深170.5米计算解析

2025/07/25·StepFun can make mistakes, check important info.

从洞口向非常深的井底扔一块石头，自由落体，6.4秒听到石头落水的声音。求井底水面离洞口的距离

Reason

思考过程

首先，问题是：从洞口向非常深的井底扔一块石头，自由落体，6.4秒听到石头落水的声音。求井底水面离洞口的距离。
我需要找出井底水面离洞口的距离，也就是石头从洞口落到水面的时间。

石头做自由落体运动，所以它的位移可以由自由落体公式计算。自由落体公式是：

$s = \frac{1}{2} g t^{2}$

其中：

$s$ 是位移（距离）
$g$ 是重力加速度，通常取 $9.8 m/s^{2}$
$t$ 是时间

问题是，它说6.4秒听到石头落水的声音。这6.4秒是石头从洞口落到水面的时间吗？
它说“6.4秒听到石头落水的声音”，这意味着从扔石头到听到声音的总时间包括两个部分：石头下落的时间和声音从水面传回洞口的时间。

所以，6.4秒不是纯粹的石头下落时间；它包括了石头下落的时间和声音传播的时间。

设：

$t_{s}$ 为石头从洞口落到水面的时间（下落时间）
$t_{h}$ 为声音从水面传回洞口的时间（声音传播时间）
总时间 $t_{total} = t_{s} + t_{h} = 6.4 秒$

我需要找到距离 $s$ ，即井底水面离洞口的距离。

对于石头下落：

$s = \frac{1}{2} g t_{s}^{2}$

对于声音传播：声音在空气中以大约 340 m/s 的速度传播，所以：

$s = v_{h} \cdot t_{h}$

其中 $v_{h} = 340 m/s$ 是声音速度。

所以，我有：

$t_{s} + t_{h} = 6.4$

并且：

$s = \frac{1}{2} g t_{s}^{2}$

$s = v_{h} t_{h}$

因此，我可以将 $t_{h}$ 表达为：

$t_{h} = \frac{s}{v _{h}}$

代入总时间方程：

$t_{s} + \frac{s}{v _{h}} = 6.4$

但 $s = \frac{1}{2} g t_{s}^{2}$ ，所以：

$t_{s} + \frac{\frac{1}{2} g t _{s}^{2}}{v _{h}} = 6.4$

简化：

$t_{s} + \frac{g t _{s}^{2}}{2 v _{h}} = 6.4$

这是一个关于 $t_{s}$ 的二次方程。
让我写成标准形式：

$\frac{g}{2 v _{h}} t_{s}^{2} + t_{s} - 6.4 = 0$

现在，我需要求解这个二次方程来找到 $t_{s}$ ，然后计算 $s$ 。

首先，代入数值：
$g = 9.8 m/s^{2}$
$v_{h} = 340 m/s$

计算系数：

$\frac{g}{2 v _{h}} = \frac{9.8}{2 \times 340} = \frac{9.8}{680}$

计算那：
9.8 ÷ 680 = ? 680 ÷ 680 =1, 但 9.8 是 98/10，所以：

$\frac{9.8}{680} = \frac{98}{6800} = \frac{49}{3400}$
因为 98÷2=49, 680÷2=340，但更好简化：
9.8 / 680 = 98/6800 = 49/3400（除以2）
49 和 3400 可以除以... 49是7^2, 3400÷100=34, 但最好计算小数。

9.8 ÷ 680 = 0.0144117647... 约等于 0.01441

但保持分数：

$\frac{9.8}{680} = \frac{98}{6800} = \frac{49}{3400}$

现在，49/3400 可以简化：除以7？49÷7=7, 3400÷7? 3400÷7=485.714? 不是整数。
3400 ÷ 7：7485=3395, 3400-3395=5, 不整除。所以最大公约数？49和3400。
49=77, 3400=34100=2172^25^2=2^3 * 5^2 * 17，没有共同因子，所以是49/3400。

但或许用小数更容易计算。

设 a = g/(2 v_h) = 9.8 / (2 * 340) = 9.8 / 680

计算 9.8 / 680：
680 ÷ 100 = 6.8, 但 9.8 ÷ 680 = 98 ÷ 6800 = 0.0144117647
约 0.014412

但为了精确，保持为 9.8/680。

由于 g 是 9.8，v_h 是 340，我可以保留符号。

所以二次方程是：

$\frac{g}{2 v _{h}} t_{s}^{2} + t_{s} - 6.4 = 0$

代入 g=9.8, v_h=340

所以 a = 9.8 / (2 * 340) = 9.8 / 680

b = 1

c = -6.4

现在，解二次方程： t_s = [ -b ± sqrt(b^2 - 4ac) ] / (2a)

但 a 是小数，所以计算判别式。

首先，计算 4ac：

a = 9.8 / 680

c = -6.4

所以 4a c = 4 * (9.8/680) * (-6.4) = 4 * (-6.4) * (9.8/680) = -25.6 * (9.8/680)

计算 25.6 * 9.8 / 680 * (-1) 但符号先不管。

4ac = 4 * (9.8/680) * (-6.4) = - (4 * 9.8 * 6.4) / 680

类似地，b^2 = 1

所以判别式 D = b^2 - 4ac = 1 - [ - (4 * 9.8 * 6.4) / 680 ] = 1 + (4 * 9.8 * 6.4) / 680

现在计算数值。

首先，计算 4 * 9.8 * 6.4

4 * 9.8 = 39.2

39.2 * 6.4

40 * 6.4 = 256, 但 39.2 * 6.4 = 39.2 * 6 + 39.2 * 0.4 = 235.2 + 15.68 = 250.88

或者 39.2 * 6.4：392 * 64 / 100？39.2 * 6.4。

39.2 * 6 = 235.2

39.2 * 0.4 = 15.68

235.2 + 15.68 = 250.88

是的。

所以 4 * 9.8 * 6.4 = 250.88

现在除以 680：250.88 / 680

计算 250.88 ÷ 680

首先，680 ÷ 680 =1, 但 250.88 / 680 = 25088 / 68000 简化。

250.88 ÷ 680 = 25088 / 68000？250.88 * 100 = 25088, 680*100=68000，所以是 25088/68000

除以16？找公因数。

250.88 / 680 = 25088 / 68000

分子和分母除以8：25088÷8=3136, 68000÷8=8500，所以是3136/8500

再除以8？3136÷8=392, 8500÷8=1062.5 不是整数。

除以4：3136÷4=784, 8500÷4=2125，所以是784/2125

现在，784和2125，有公因数吗？784=28^2, 2125=2585=25517=12517，没有公因数，所以是784/2125。

但小数可能更容易。

250.88 / 680 = 0.368941176...

大约 0.36894

所以 4ac 部分在 D 中是 + (250.88 / 680) = +0.36894

但 4ac 是 - (250.88 / 680) 在表达式里，但 D = 1 - 4ac，而 4ac 是负的，所以 -4ac 是正的。

D = 1 - 4ac

4ac = 4 * a * c = 4 * (9.8/680) * (-6.4) = - (4 * 9.8 * 6.4 / 680) = - (250.88 / 680) = -0.368941176

所以 D = 1 - ( -0.368941176) = 1 + 0.368941176 = 1.368941176

现在，sqrt(D) = sqrt(1.368941176)

计算平方根。

首先，1.368941176，平方根约等于多少？

1.17^2 = 1.3689，因为 1.17*1.17。

1.171.17：117117=13689，所以 1.17*1.17=1.3689

是的，1.3689，而我们有 1.368941176，非常接近，所以 sqrt(1.368941176) ≈ 1.170

但更精确一点，1.17^2=1.3689，1.170^2=1.170*1.170。

1.1701.170：11701170=1368900，除以一百万是1.368900，但我们是1.368941，稍微大一点，所以sqrt大约是1.17005之类的，但1.17应该够用了。

但为了更精确，我们使用1.170。

1.170^2 = 1.368900

1.171^2 = 1.171*1.171。

1.171.17=1.3689，1.1711.171=(1.17+0.001)^2=1.17^2 + 21.170.001 + 0.001^2=1.3689 + 0.00234 + 0.000001=1.371241

太大了，因为1.371241 > 1.368941。

1.170^2=1.368900

1.168^2=1.168*1.168。

1.170^2=1.368900

1.169^2=1.169*1.169。

1.170*1.170=1.368900

1.1691.169：1.17-0.001，所以 (1.17 - 0.001)^2 = 1.17^2 - 21.17*0.001 + (0.001)^2 = 1.3689 - 0.00234 + 0.000001 = 1.366561

但 1.366561 < 1.368941，所以介于 1.169 和 1.170 之间。

1.1695^2 = (1.170 - 0.0005)^2 = 1.170^2 - 21.1700.0005 + (0.0005)^2 = 1.368900 - 0.001170 + 0.00000025 ≈ 1.36773025

仍然小于 1.368941。

1.369^2 = 1.369*1.369。

1.370^2 = 1.8769，太大了。

1.368941 的平方根。

由于 D = 1.368941176，非常接近 1.3689，而 1.17^2=1.3689，所以 sqrt(1.368941176) ≈ 1.170001 或类似的值，但可以取为 1.170。

但为了更精确，我们使用数值。

D = 1.368941176

sqrt(D) = sqrt(1.368941176) ≈ 1.17000（因为 1.17^2=1.3689，而 1.368941 - 1.3689 = 0.000041，增量约为 0.000041/(2*1.17) = 0.000041/2.34 ≈ 0.0000175，所以 sqrt≈1.1700175）

但可能 1.170 就足够了。

现在，在二次公式中，t_s = [ -b ± sqrt(D) ] / (2a)

但 a 是正数，b 是 1，c 是负数，所以我们需要正根。

t_s = [ -1 ± sqrt(D) ] / (2a)

由于 t_s 必须是正数，我们取正号，所以 -1 + sqrt(D)，因为 sqrt(D) > 1。

sqrt(D)≈1.170 > 1，所以 -1 + 1.170 = 0.170，是正数；-1 -1.170 是负数，所以舍入。

所以 t_s = [ -1 + sqrt(D) ] / (2a)

现在 2a = 2 * (g/(2 v_h)) = g / v_h

a = g/(2 v_h)

所以 2a = 2 * g/(2 v_h) = g / v_h

是的。

所以 t_s = [ -1 + sqrt(D) ] / (g / v_h) = [ -1 + sqrt(D) ] * (v_h / g)

现在 g = 9.8，v_h = 340

首先，v_h / g = 340 / 9.8

340 ÷ 9.8 = 340 / 9.8 = 3400 / 98 = 3400 ÷ 2 = 1700, 98 ÷ 2 = 49, 所以 1700 / 49

1700 ÷ 49。

49*34=1666，1700-1666=34，所以 34 + 34/49 = 34.692307... 或 1700/49

但保留分数：1700/49

现在，sqrt(D) ≈ 1.170，但 D 是 1.368941176，sqrt 约等于 1.170

但之前 D = 1.368941176，sqrt 1.170

但让我们使用更精确的值。

由于我们有 s 的表达式，但或许直接解 t_s 更好。

从 t_s + t_h = 6.4 且 s = v_h t_h 和 s = 0.5 g t_s^2 出发

所以 t_h = s / v_h

t_s = sqrt(2s/g)

因为 s = 0.5 g t_s^2，所以 t_s = sqrt(2s/g)

然后 t_s + s/v_h = 6.4

所以 sqrt(2s/g) + s/v_h = 6.4

代入 g=9.8，v_h=340

所以 sqrt(2s/9.8) + s/340 = 6.4

化简 sqrt(2s/9.8) = sqrt(2s / (9.8)) = sqrt(2s / (98/10)) = sqrt(2s * 10/98) = sqrt(20s / 98) = sqrt(10s / 49) 因为 20/98 = 10/49

20/98 = 10/49 是的。

所以 sqrt(10s / 49) = (1/7) sqrt(10s) ？不完全行，但保留为 sqrt(10s / 49) = (sqrt(10s))/7

类似地，s/340

所以 (1/7) sqrt(10s) + s/340 = 6.4

两边同时乘以 7 * 340 来消去分母。

设 k = sqrt(s)，但可能比较乱。

数值计算。

设 u = sqrt(s)，那么 s = u^2

所以 sqrt(10s / 49) = sqrt(10/49) u = (sqrt(10)/7) u

而 s/340 = u^2 / 340

所以方程： (sqrt(10)/7) u + u^2 / 340 = 6.4

代入数值 sqrt(10) ≈ 3.162

所以 (3.162 / 7) u + u^2 / 340 = 6.4

3.162 / 7 ≈ 0.451714

所以 0.451714 u + u^2 / 340 = 6.4

两边同时乘以 340：

340 * 0.451714 u + u^2 = 6.4 * 340

计算 6.4 * 340 = 2176

340 * 0.451714 ≈ 340 * 0.4517 = 3400.45 = 153, 3400.0017=0.578, 所以 153.578, 更精确 340*0.451714。

3400.4 = 136, 3400.05 = 17, 3400.0017=0.578, 3400.000014很小, 忽略，所以 136+17=153, +0.578=153.578

但 0.451714 * 340:

340 * 0.451714 = 340 * (0.45 + 0.001714) = 3400.45 = 153, 3400.001714=3400.001 = 0.34, 3400.0007=0.238, 340*0.000014=0.00476, 所以 0.34+0.238=0.578, +0.00476≈0.58276, 所以总数 153 + 0.58276 = 153.58276

近似为 153.583

所以方程为：

u^2 + 153.583 u = 2176？不对

来自：

0.451714 u + u^2 / 340 = 6.4

乘以 340：

340 * 0.451714 u + u^2 = 6.4 * 340

所以 u^2 + (340 * 0.451714) u = 2176

340 * 0.451714 ≈ 153.583 如上所示

6.4 * 340 = 2176 是的

所以 u^2 + 153.583 u - 2176 = 0？不对

方程是 u^2 + 153.583 u = 2176

所以 u^2 + 153.583 u - 2176 = 0

是的。

现在解这个二次方程：u = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)

其中 a=1, b=153.583, c= -2176

D = b^2 - 4ac = (153.583)^2 - 4(1)(-2176) = (153.583)^2 + 8704

计算 153.583^2

153^2 = 23409

0.583^2 = 0.339889

21530.583 = 2153=306, 3060.583

3060.5=153, 3060.08=24.48, 306*0.003=0.918, 所以 153+24.48=177.48, +0.918=178.398

所以 153.583^2 = 153^2 + 21530.583 + 0.583^2 = 23409 + 178.398 + 0.339889 = 23587.737889

现在 D = 23587.737889 + 8704 = 32291.737889

sqrt(D) = sqrt(32291.737889)

首先，179.6^2 = 32256.16, 179.7^2 = 32296.09, 179.8^2 = 32337.64

179.7^2 = (180-0.3)^2 = 32400 - 21800.3 + 0.09 = 32400 - 108 + 0.09 = 32292.09

32292.09，但我们是32291.737889，略小，所以 sqrt≈179.699

179.7^2 = 32292.09

32292.09 - 32291.737889 = 0.352111，所以更小，差值为 0.352111，导数为 2*179.7=359.4，所以增量约为 -0.352111/359.4 ≈ -0.00098，所以 sqrt≈179.7 - 0.00098 = 179.69902

但大概 179.7 就足够了。

但为了更精确，我们取 179.7。

179.7^2 是 32292.09，但 D 是 32291.737889，所以非常接近，sqrt(D) ≈ 179.699

但也许使用 179.7

现在 u = [-153.583 ± 179.7] / 2

取正根： (-153.583 + 179.7) / 2 = (26.117) / 2 = 13.0585

或者 (-153.583 + 179.699) / 2 = 26.116 / 2 = 13.058

所以 u ≈ 13.058

但 u 是 sqrt(s)，所以 s = u^2 ≈ (13.058)^2

计算 13.058^2 = (13 + 0.058)^2 = 169 + 2130.058 + (0.058)^2 = 169 + 1.508 + 0.003364 = 170.511364

所以 s ≈ 170.51 米

但这是近似值。

回到第一个方法。

我有 t_s + t_h = 6.4

s = 0.5 * 9.8 * t_s^2

s = 340 * t_h

所以 0.59.8t_s^2 + s = 6.4 * 340？不对。

从 t_s + s/340 = 6.4

和 s = 0.59.8t_s^2

所以 0.59.8t_s^2 + (0.59.8t_s^2)/340 = 6.4？不对。

t_s + s/340 = 6.4

s = 0.59.8t_s^2

所以 t_s + (0.59.8t_s^2)/340 = 6.4

化简: t_s + (4.9 t_s^2)/340 = 6.4

4.9/340 = 49/3400 = 0.01441176

所以 t_s + 0.01441176 t_s^2 = 6.4

所以 0.01441176 t_s^2 + t_s - 6.4 = 0

现在, a = 0.01441176, b=1, c= -6.4

D = b^2 - 4ac = 1 - 4(0.01441176)(-6.4) = 1 + 40.014411766.4

计算 4*6.4 = 25.6

25.6 * 0.01441176 ≈ 25.6 * 0.0144 = 25.60.01 = 0.256, 25.60.004=0.1024, 25.60.0004=0.01024, 但 0.0144 = 0.0144, 所以 25.60.014 = 0.3584, 25.60.0004=0.01024, 0.0004117625.6≈0.01054016, 所以总共 0.3584 + 0.01024 = 0.36864, +0.01054=0.37918? 不对

25.6 * 0.01441176

首先, 25.6 * 0.01 = 0.256

25.6 * 0.004 = 0.1024

25.6 * 0.0004 = 0.01024

25.6 * 0.00001176 ≈ 0.00030096

0.01441176 = 0.01 + 0.004 + 0.0004 + 0.00001176

但更简单: 25.6 * 0.01441176 = 25.6 * (0.014 + 0.00041176) = 25.60.014 = 0.3584, 25.60.00041176≈25.60.0004=0.01024, 25.60.00001176≈0.00030096, 所以 0.3584 + 0.01024 = 0.36864, +0.000301 = 0.368941

和之前一样。

所以 D = 1 + 0.368941 = 1.368941

sqrt(D) = 1.170

t_s = [ -1 + 1.170 ] / (2 * 0.01441176) = (0.170) / (0.02882352) ≈ 5.899

2a = 2*0.01441176 = 0.02882352

t_s = [ -1 + 1.170 ] / 0.02882352 = 0.170 / 0.02882352 ≈ ?

0.170 / 0.02882352

首先，0.02882352 * 5 = 0.1441176

0.170 - 0.1441176 = 0.0258824

0.02882352 * 0.9 = 0.025941168

0.0258824 / 0.02882352 ≈ 0.8978

所以 t_s ≈ 5.9 + 0.8978 = 5.8978 秒

然后 s = 0.5 * 9.8 * (5.8978)^2

首先，5.8978^2 = (5.9 - 0.0022)^2 = 34.81 - 25.90.0022 + (0.0022)^2 ≈ 34.81 - 0.02596 + 0.00000484 ≈ 34.78404484

s = 0.5 * 9.8 * 34.78404484 = 4.9 * 34.78404484

4.9 * 34 = 166.6

4.9 * 0.784 = 3.8416

4.9 * 0.00004484 忽略

所以 166.6 + 3.8416 = 170.4416

所以 s ≈ 170.44 米

但之前用另一种方法时，我得到了 170.51，很接近。

但我们需要检查总时间。

t_s ≈ 5.898 秒

t_h = s / 340 = 170.44 / 340 ≈ 0.501294 秒

总时间 = 5.898 + 0.501 = 6.399 ≈ 6.4 秒，正确。

但问题中，时间是 6.4 秒，可能我们需要精确值。

也许重力加速度是 10 m/s²？有时会这样近似。

但题目没有说明，所以可能使用 9.8。

也许声音速度是 340，但有时是 330，但通常为 340。

另一个想法：6.4 秒是精确的吗？可能我们需要解方程。

设 s 为距离。

t_s = sqrt(2s/g)

t_h = s / v_h

t_s + t_h = 6.4

所以 sqrt(2s/g) + s/v_h = 6.4

两边平方，但这样会很乱，因为有平方根。

设 x = s

所以 sqrt(2x/9.8) + x/340 = 6.4

设 k = sqrt(2x/9.8) = sqrt(2x/9.8)

但 2/9.8 = 1/4.9

所以 k = sqrt(x/4.9)

因为 sqrt(2x/9.8) = sqrt(2x / (98/10)) = sqrt(20x/98) = sqrt(10x/49) = (1/7) sqrt(10x)

如前所述。

但或许可以数值解。

由于 6.4 秒，而 g 是 9.8，v_h 是 340。

假设 s 是井深，但题目说“非常深的井”，所以声音传播时间不可忽略。

在二次方程中，t_s = [ -1 + sqrt(1 + 4 * (g/(2v_h)) * 6.4 * 2) ] / (2 * g/(2v_h)) 等等，不对。

由 D = 1.368941，sqrtD=1.170，t_s = [ -1 + 1.170 ] / (g/v_h) = 0.170 * (v_h / g)

v_h / g = 340 / 9.8 = 3400/98 = 1700/49

0.170 * 1700/49

0.170 = 170/1000 = 17/100

17/100 * 1700/49 = (17 * 1700) / (100 * 49) = (17 * 17) / (49) * 100/100 等等

17 * 1700 = 1717100 = 289*100 = 28900

分母 100*49 = 4900

所以 28900 / 4900 = 289/49 = 5.897959... = 5.898 秒

s = 0.5 * 9.8 * (5.898)^2 = 4.9 * 34.786404 = 4.9*34.786404

4.9*34 = 166.6

4.9*0.786404 = 3.8533776

总和 170.4533776 米

大约 170.45 米

但也许题目希望是精确值。

另一个想法：也许重力加速度是 10 米/秒²，声音是 340 米/秒。

尝试 g=10。

那么 s = 0.5 * 10 * t_s^2 = 5 t_s^2

s = 340 t_h

t_s + t_h = 6.4

所以 5 t_s^2 + 340 (6.4 - t_s) = s？不对。

s = 5 t_s^2

s = 340 (6.4 - t_s)

所以 5 t_s^2 = 340 (6.4 - t_s)

5 t_s^2 = 340*6.4 - 340 t_s

5 t_s^2 + 340 t_s - 2176 = 0

除以 5：t_s^2 + 68 t_s - 435.2 = 0

D = 68^2 + 4*435.2 = 4624 + 1740.8 = 6364.8

sqrt(D) = sqrt(6364.8) ≈ 79.78，因为 79.8^2=6368.04，79.7^2=6352.09，79.75^2=6355.0625，79.78^2=6361.2484，79.79^2=6363.0441，79.80^2=6368.04，79.79^2= (80-0.21)^2=6400 - 33.6 + 0.0441=6366.4441？错误。

79.79^2 = (80 - 0.21)^2 = 6400 - 2800.21 + (0.21)^2 = 6400 - 33.6 + 0.0441 = 6366.4441

但 6364.8，所以 79.78^2 = (79.8 - 0.02)^2 = 79.8^2 - 279.80.02 + 0.0004 = 6368.04 - 3.192 + 0.0004 = 6364.8484

是的，接近 6364.8，所以 sqrt≈79.78

t_s = [-68 + 79.78]/2 = 11.78/2 = 5.89 秒

s = 5 * (5.89)^2 = 5*34.6921 = 173.4605 米

然后 t_h = s/340 = 173.4605/340 ≈ 0.510 秒，总时间 5.89+0.51=6.40，正确。

但 g=10 时，s 更大。

但通常 g 是 9.8。

也许声音速度是 330，但我不这么认为。

题目中，6.4 秒是精确的，所以也许他们想要精确值。

但 g 和 v_h 没有给出，所以我们需要假设标准值。

在二次方程中，但有符号。

设 a = g/(2 v_h)

那么 t_s + s/v_h = 6.4

s = 0.5 g t_s^2

但 s/v_h = (0.5 g t_s^2)/v_h = a t_s^2，因为 a = g/(2 v_h)，所以 0.5 g / v_h = a

所以 t_s + a t_s^2 = 6.4

a t_s^2 + t_s - 6.4 = 0

t_s = [ -1 ± sqrt(1 + 4 a * 6.4) ] / (2a)

但 2a = g/v_h

s = 0.5 g t_s^2

但或许可以表示为 s。

由于 s = v_h t_h 且 t_h = 6.4 - t_s，而 s = 0.5 g t_s^2，所以 0.5 g t_s^2 = v_h (6.4 - t_s)

所以 0.5 g t_s^2 + v_h t_s - 6.4 v_h = 0

然后 t_s = [ -v_h ± sqrt(v_h^2 + 40.5 g * 6.4 v_h) ] / (20.5 g) = [ -v_h ± sqrt(v_h^2 + 2 g * 6.4 v_h) ] / g

化简： [ -v_h ± sqrt(v_h^2 + 12.8 g v_h) ] / g

= [ -v_h ± v_h sqrt(1 + 12.8 g / v_h) ] / g

但不是很优雅。

数值上，g=9.8, v_h=340，12.8 g = 12.8*9.8=125.44

12.8 g / v_h = 125.44 / 340 = 0.3691764706

1 + 0.3691764706 = 1.3691764706

sqrt(1.3691764706) ≈ 1.1702

那么 t_s = [ -340 + 340*1.1702 ] / 9.8 = 340 ( -1 + 1.1702) / 9.8 = 340 * 0.1702 / 9.8

0.1702 * 340 = 57.868

57.868 / 9.8 = 5.908571

s = 0.59.8(5.908571)^2 = 4.9 * 34.911 = 171.1639 米，等等，不一致。

我搞错了。

t_s = [ -v_h ± v_h sqrt(1 + 12.8 g / v_h) ] / g

取正号: [ -v_h + v_h sqrt(1 + 12.8 g / v_h) ] / g = v_h ( -1 + sqrt(1 + 12.8 g / v_h) ) / g

12.8 g / v_h = 12.8 * 9.8 / 340 = 125.44 / 340 = 0.3691764706

1 + 0.3691764706 = 1.3691764706

sqrt = 1.1702

-1 + 1.1702 = 0.1702

v_h / g = 340/9.8 = 34.693877

0.1702 * 34.693877 ≈ 5.908, 如前所述。

s = 0.59.8(5.908)^2 = 4.9*34.904464 = 171.131872 米

但之前用第一种方法时，我得到的是 170.45，有错误。

在第一种方法中，当 g=9.8, v_h=340 时，我有 t_s = 5.898 秒，s=170.45 米。

但这里 t_s=5.908，s=171.13，总时间 t_h = s/340 = 171.13/340=0.5033，5.908+0.5033=6.4113，不是 6.4，所以错误。

我认为我在二次方程中出错了。

从 0.5 g t_s^2 + v_h t_s - 6.4 v_h = 0

对于 g=9.8, v_h=340

0.5*9.8 = 4.9

所以 4.9 t_s^2 + 340 t_s - 6.4*340 = 0

6.4*340 = 2176

所以 4.9 t_s^2 + 340 t_s - 2176 = 0

现在 a=4.9, b=340, c= -2176

D = b^2 - 4ac = 340^2 - 44.9(-2176) = 115600 + 44.92176

4*4.9=19.6

19.6*2176

首先，202176=43520，所以 19.62176 = 202176 - 0.42176 = 43520 - 870.4 = 42649.6

所以 D = 115600 + 42649.6 = 158249.6

sqrt(D) = sqrt(158249.6) = 397.828，因为 397.8^2=158244.84，397.9^2=158412.41，397.8^2=158244.84，158249.6 - 158244.84=4.76，增量 4.76/(2*397.8)≈4.76/795.6≈0.006，所以 sqrt≈397.806

t_s = [ -340 + 397.806 ] / (2*4.9) = (57.806) / 9.8 = 5.898571

然后 s = 0.59.8(5.898571)^2 = 4.9 * 34.7866 = 170.45434 米

t_h = 170.45434/340 = 0.501367 秒

总时间 5.898571 + 0.501367 = 6.399938 约等于 6.4 秒。

所以 s = 170.45 米

但也许四舍五入到米或厘米。

题目是中文的，但可能期望是数值答案。

由于 6.4 是 64/10 = 32/5，但 g 和 v_h 是标准值。

也许在上下文中，他们使用 g=10。

但让我检查一下问题：“自由落体”，所以 g 可能是 9.8 或 10。

但 6.4 秒，如果 g=10，s 会更大。

但在这个问题中，井“非常深”，所以声音时间很重要。

也许答案是 170 米。

但让我们看看是否可以不使用近似。

假设 g=9.8, v_h=340。

但从根本上说，s 由下式求出：

s = 0.5 g t_s^2

t_s = 6.4 - s/340

所以 s = 0.5 g (6.4 - s/340)^2

代入 g=9.8

s = 4.9 (6.4 - s/340)^2

令 u = s

4.9 (6.4 - u/340)^2 = u

展开:
4.9 (40.96 - 12.8 u/340 + (u/340)^2) = u

简化 12.8/340 = 128/3400 = 32/850 = 16/425

但数值上:

6.4^2 = 40.96

12.8 u /340 = 0.037647 u

(u/340)^2 = u^2/115600

所以 4.9 [40.96 - 0.037647 u + u^2/115600] = u

4.9*40.96 = 200.704

4.9*(-0.037647 u) = -0.1844703 u

4.9* u^2/115600 = 0.000042391 u^2

所以 0.000042391 u^2 - 0.1844703 u + 200.704 = u

Bring to left:
0.000042391 u^2 - 0.1844703 u - u + 200.704 = 0

0.000042391 u^2 - 1.1844703 u + 200.704 = 0

Multiply by 1000000 to simplify:
42.391 u^2 - 1184470.3 u + 200704000 = 0

This is messy.

Use the first method.

I think 170.45 m is fine, but perhaps round to 170.5 m or something.

Since the time is 6.4 s, which has one decimal, so s to one decimal.

170.5 m.

But let's see if the problem expects exact fraction.

Another idea: perhaps the sound speed is 332 m/s or something, but I think 340 is standard.

Perhaps in such problems, they use g=10 and v=340.

Then s = 5 t_s^2

t_s + s/340 = 6.4

5 t_s^2 + 340(6.4 - t_s) = 0

5 t_s^2 - 340 t_s + 2176 = 0? No

s = 5 t_s^2

s = 340 (6.4 - t_s)

5 t_s^2 = 340 (6.4 - t_s)

5 t_s^2 = 2176 - 340 t_s

5 t_s^2 + 340 t_s - 2176 = 0

Divide by 5: t_s^2 + 68 t_s - 435.2 = 0

Now, D = 68^2 + 4*435.2 = 4624 + 1740.8 = 6364.8

t_s = [-68 ± sqrt(6364.8)]/2

sqrt(6364.8) = sqrt(63648/10) = (1/sqrt(10)) sqrt(63648) but not nice.

6364.8 = 63648/10, sqrt = sqrt(63648)/sqrt(10)

But 252^2=63504, 253^2=64009, 252.5^2=63756.25, too big, 252.2^2=63592.84, 252.3^2=63652.29, 252.4^2=63705.76, 252.3^2=63652.29, 63652.29 - 6364.8? D is 6364.8, but 252.3^2=63652.29 for 6364.8? 252.3^2=63652.29, but D is 6364.8, so sqrt(6364.8) = 79.78 as before.

79.78^2=6364.8484, so for D=6364.8, sqrt=79.78

t_s = (-68 + 79.78)/2 = 11.78/2 = 5.89 s

s = 5*(5.89)^2 = 5*34.6921 = 173.4605 m

t_h = 173.4605/340 = 0.510 s, total 5.89+0.51=6.40 s.

But with g=9.8, s=170.45 m.

Perhaps the answer is 170 m or 171 m.

But let's assume g=9.8.

Perhaps the time includes something else, but I think 170.5 m is reasonable.

Since 6.4 seconds, and g=9.8, v=340, s=170.5 m.

But in the initial calculation, with t_s=5.898 s, s=170.45, so 170.5 m if rounded.

But let's see the answer.

Another thought: "6.4秒听到石头落水的声音" and "自由落体", so the time is from throwing to hearing, so we must subtract the sound time.

Perhaps for a deep well, but here it is deep, so sound time is significant.

I think 170 meters is close.

Perhaps they use g=10.

But let's box the answer as 170.5 m.

I think for the purpose, we can say approximately 170 meters.

But let's calculate exactly with fractions.

Assume g=9.8=98/10=49/5 m/s², v_h=340 m/s, t=6.4=32/5 s.

Then s = (1/2)(49/5) t_s^2

s = 340 t_h

t_s + t_h = 32/5

From s = (49/10) t_s^2

t_h = s/340

t_s + s/340 = 32/5

(49/10) t_s^2 + 340 (32/5 - t_s) = s? Not.

s = (49/10) t_s^2

Also s = 340 (32/5 - t_s)

So (49/10) t_s^2 = 340 (32/5 - t_s)

Multiply both sides by 10: 49 t_s^2 = 3400 (32/5 - t_s) 2? 10340 = 3400, but.

(49/10) t_s^2 = 340 (32/5 - t_s)

Multiply both sides by 10: 49 t_s^2 = 3400 (32/5 - t_s)

3400 * 32/5 = 3400/5 * 32 = 680*32 = 21760

3400 * (- t_s) = -3400 t_s

So 49 t_s^2 = 21760 - 3400 t_s

49 t_s^2 + 3400 t_s - 21760 = 0

Now solve: a=49, b=3400, c= -21760

D = b^2 - 4ac = 3400^2 - 449(-21760) = 11560000 + 44921760

4*49=196

196*21760

First, 20021760=4,352,000, 421760=87,040, so 19621760 = 20021760 - 4*21760 = 4,352,000 - 87,040 = 4,264,960

So D = 11,560,000 + 4,264,960 = 15,824,960

sqrt(D) = sqrt(15,824,960)

3976^2 = 15,808,576? 4000^2=16,000,000, 3980^2=15,840,400, too big, 3970^2=15,760,900, 3975^2= (4000-25)^2=16,000,000 - 2400025 + 625=16,000,000-200,000+625=15,800,625

3976^2= (3975+1)^2=15,800,625 + 239751 +1^2=15,800,625 + 7,950 +1 = 15,808,576

3977^2= (3976+1)^2=15,808,576 + 2*3976 +1 = 15,808,576 + 7,952 +1 = 15,816,529

3978^2=15,816,529 + 2*3977 +1 = 15,816,529 + 7,954 +1 = 15,824,484? Let's calculate:

3977^2=15,816,529

3978^2= (3977+1)^2=15,816,529 + 2*3977 +1 = 15,816,529 + 7,954 +1 = 15,824,484

But D=15,824,960, so 15,824,960 - 15,824,484 = 476, so increment 476/(2*3978) = 476/7956 ≈ 0.0598, so sqrt≈3978.0598

t_s = [ -3400 + 3978.0598 ] / (2*49) = (578.0598)/98 = 5.898568367

s = (49/10) * (5.898568367)^2 = 4.9 * 34.7866 = 170.45434 m, same as before.

So s = 170.45 m

For the answer, perhaps 170.5 m or 170 m.

Since the time is 6.4 s, which is two significant figures, but 6.4 has two, g and v_h have three, so s should have two or three.

6.4 has two significant figures, but it's 6.4, which is 6.40 if exact, but usually in such problems, we take it as is.

Perhaps the answer is 170 meters.

I think I'll go with 170.5 meters.

But in the calculation, it's 170.45, so 170.5 when rounded.

Perhaps the problem expects 171 if g=10.

But I think for accuracy, let's state 170.5 m.

But in the box, perhaps just the number.

Another idea: "非常深的井" might imply that the sound time is negligible, but the time is 6.4 s, which is long, and for a shallow well, sound time is small, but here it says deep, so we should include.

If sound time negligible, then s = 0.59.8(6.4)^2 = 4.9*40.96 = 200.704 m, then t_h = 200.704/340≈0.59 s, so total time 6.4 + 0.59=6.99 s, not 6.4 s, so we must include sound time.

So s is less.

With sound, s=170.5 m.

I think 170.5 meters is the answer.

So the distance is 170.5 meters.

石头从洞口自由落体到井底水面，总时间（包括石头下落和声音传播）为6.4秒。设石头下落时间为 $t_{s}$ ，声音传播时间为 $t_{h}$ ，则 $t_{s} + t_{h} = 6.4$ 秒。

井底水面离洞口的距离为 $s$ 米。石头下落时，满足自由落体公式：

$s = \frac{1}{2} g t_{s}^{2}$

其中重力加速度 $g = 9.8 m/s^{2}$ 。

声音在空气中传播速度约为 $v_{h} = 340 m/s$ ，因此：

$s = v_{h} t_{h}$

代入已知值：

$t_{h} = \frac{s}{340}$

将 $t_{h}$ 表达为 $s$ 的函数，代入总时间方程：

$t_{s} + \frac{s}{340} = 6.4$

又因为 $s = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_{s}^{2} = 4.9 t_{s}^{2}$ ，所以：

$t_{s} + \frac{4.9 t _{s}^{2}}{340} = 6.4$

简化：

$t_{s} + 0.01441176 t_{s}^{2} = 6.4$

整理为二次方程：

$0.01441176 t_{s}^{2} + t_{s} - 6.4 = 0$

求解该二次方程：

系数 $a = 0.01441176$ , $b = 1$ , $c = - 6.4$
判别式 $D = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \times 0.01441176 \times (- 6.4) = 1 + 4 \times 0.01441176 \times 6.4$
计算： $4 \times 0.01441176 \times 6.4 = 0.368941$ ，所以 $D = 1 + 0.368941 = 1.368941$
$D \approx 1.170$
根为： $t_{s} = \frac{- 1 \pm 1.170}{2 \times 0.01441176}$
取正根（因为时间必须为正）： $t_{s} = \frac{- 1 + 1.170}{0.02882352} = \frac{0.170}{0.02882352} \approx 5.89857 秒$

计算距离：

$s = 4.9 \times (5.89857)^{2} = 4.9 \times 34.7866 \approx 170.45434 米$

验证总时间：

$t_{h} = \frac{170.45434}{340} \approx 0.50137 秒$
$t_{s} + t_{h} \approx 5.89857 + 0.50137 = 6.39994 \approx 6.4 秒$ ，符合条件。

因此，井底水面离洞口的距离为 $170.5 米$ （保留一位小数）。

$170.5$