我们注意到用户要求识别左边展示的完整的一页slide，并以latex形式呈现。通过观察图片，左边有两个相同的标题为"Incompressible Euler equations"的板块，分别位于上方和下方。我们需要提取完整的内容。

分析左边页面的内容：

1. 上方板块：
   • 标题：Incompressible Euler equations
   • 内容：考虑无界区域（NO boundaries）下，维度d=2,3时的不可压缩欧拉方程初值问题（IVP），方程形式为：

$\{\begin{array}{l}{u}_t+u\cdot \nabla u+\nabla P=f,(x,t)\in {\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}_{+}\\ \nabla \cdot u=0\\ u_0=u(x,0)\end{array}$

2. 下方板块：
- 与上方板块完全相同的内容（包括方程、解释和不可压缩条件）。

因此，我们需要将这两个板块的内容合并，以latex形式呈现。注意保持原样，包括方程和文字说明。

由于两个板块内容重复，我们只需完整呈现一次，但为了体现页面的原样，我们可以按照图片中的结构来组织。不过，用户要求的是“完整的那一页slide”，而图片中左右两部分是两页不同的slide（左边是内容，右边是另一部分）。这里用户明确要左边展示的完整的一页，所以我们要把左边这页的所有内容（包括重复的两个部分）都呈现出来？

但仔细观察，左边页面实际上是由两个相同的标题块组成的，可能是为了强调或重复展示。我们按照原样还原：

我们将写出latex代码，包含两个部分，每个部分都有标题、方程、解释和不可压缩条件。

注意：原图片中方程的排版是分栏的，我们尽量保持原样。

由于latex中不能有完全相同的重复标题而不引起混乱，我们可以用两个相似的section或者用两个minipage来分别展示。但根据图片，似乎是一个页面被分成了上下两个部分，每个部分都有相同的标题和内容。因此，我们可以这样组织：

使用两个类似的环境（比如amsmath的cases环境）来分别表示上下两个部分，但这样可能不够直观。另一种方式是使用两个独立的框（frame）？但原slide可能是连续的。

考虑到用户要求“以latex的形式呈现”，我们可以使用enumerate或itemize来分点，但原slide是文本和方程混合。我们选择用两个子部分（subsection）或者两个独立的段落来呈现。

但是，原slide的布局是上下两个相同的块，我们可以用两次相似的段落，加上标题。

然而，更简单的方式是直接复制内容，因为两个部分内容相同，但为了还原页面，我们写出两个部分。

具体步骤：

1. 开始一个section（或直接使用标题）为Incompressible Euler equations。
2. 然后第一个区块：考虑IVP（初值问题）的部分，包括方程、条件。
3. 然后第二个区块：再次重复相同的标题和内容。

但这样在latex中会重复，我们可以用两个minipage并排？但原图是上下结构。所以还是上下排列。

我们这样设计：

第一部分：
\subsection*{Incompressible Euler equations}
考虑不可压缩欧拉方程在${\mathbb{R}}^d$（d=2,3）且无边界条件下的初值问题：

$\{\begin{array}{ll}{u}_t+u\cdot \nabla u+\nabla P=f,& (x,t)\in {\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}_{+}\\ \nabla \cdot u=0& \\ u_0=u(x,0)& \end{array}$

$\nabla \cdot u=\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+\frac{\partial u_2}{\partial x_2}+\frac{\partial u_3}{\partial x_3}=0$

然后紧接着第二个相同的部分（因为原图上下有两个相同的块）。

但这样写可能会显得冗余，但为了还原原图，我们按照原图的结构输出。

注意：原图中方程的分隔是使用大括号（cases环境）和换行，我们保持。

现在，我们编写latex代码：