好的，我们来为拉格朗日点的解释加入数学公式。需要强调的是，理解这些公式需要对牛顿力学、万有引力定律、旋转参考系和微积分（求导找极值）有基础了解。我们主要关注日-地系统（太阳质量 $M_S$，地球质量 $M_E$，第三体质量 $m$ 远小于 $M_S$ 和 $M_E$，可忽略其对主天体的影响）。

核心公式：旋转参考系中的有效势能

在随太阳和地球一起旋转的参考系中（非惯性系），第三体 $m$ 受到两种力：

1. 真实力： 太阳引力 ${\vec{F}}_S=-G\frac{M_{S}m}{r_S^3}{\vec{r}}_S$（${\vec{r}}_S$ 是从 $m$ 指向太阳的矢量），地球引力 ${\vec{F}}_E=-G\frac{M_{E}m}{r_E^3}{\vec{r}}_E$（${\vec{r}}_E$ 是从 $m$ 指向地球的矢量）。
2. 虚拟力： 离心力 ${\vec{F}}_{cent}=m\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r})\approx -m{\omega }^2\vec{\rho }$（在角速度 $\vec{\omega }$ 足够小时，可用近似公式，其中 $\vec{\rho }$ 是从旋转轴（质心）指向 $m$ 的位置矢量）。这个力的大小与 $m$ 到旋转轴的距离 $\rho$ 的平方成正比，方向沿径向向外。

有效势能 $U_{eff}$ 定义为在这个非惯性系中，物体在位置 $\vec{r}$ 处的势能（包含虚拟力对应的势能项）：

$U_{eff}(\vec{r})=-\frac{G{M}_{S}m}{|\vec{r}-{\vec{r}}_S|}-\frac{G{M}_{E}m}{|\vec{r}-{\vec{r}}_E|}-\frac{1}{2}m{\omega }^2|\vec{r}-{\vec{r}}_{CM}{|}^2$

其中：

• $\vec{r}$ 是第三体 $m$ 相对于某个固定惯性系的坐标。
• ${\vec{r}}_S$ 是太阳在惯性系中的坐标。
• ${\vec{r}}_E$ 是地球在惯性系中的坐标。
• ${\vec{r}}_{CM}$ 是日-地系统的质心在惯性系中的坐标。
• $|\vec{r}-{\vec{r}}_S|$ 是 $m$ 到太阳的距离（标量）。
• $|\vec{r}-{\vec{r}}_E|$ 是 $m$ 到地球的距离（标量）。
• $|\vec{r}-{\vec{r}}_{CM}|$ 是 $m$ 到质心的距离（标量）。
• $\omega$ 是地球绕太阳公转的角速度（恒定）。

关键点： 拉格朗日点正是有效势能 $U_{eff}$ 的平稳点（即梯度为零的点：$\nabla U_{eff}=0$）。这意味着在这些点上，作用于 $m$ 上的真实引力与虚拟离心力达到矢量平衡。

具体点的公式推导（简化与近似）

为简化计算，我们做一个坐标变换：

1. 将质心 $CM$ 取为原点。
2. 让地球 $E$ 位于 $x$ 轴的 负 方向（坐标为 $-R{\vec{e}}_x$，$R$ 是日-地距离）。
3. 让太阳 $S$ 位于 $x$ 轴的 正 方向（坐标为 $+R^{\prime }{\vec{e}}_x$，$R^{\prime }$ 并非严格等于 $R$，因为质心不在几何中心，但近似认为 $R\approx R^{\prime }$，且 $M_S{R}^{\prime }\approx M_{E}R$，满足 $M_S{R}^{\prime }=M_{E}R=(M_S+M_E)D$，其中 $D$ 是日-地实际距离）。
4. 系统绕 $CM$ 以角速度 $\omega$ 在 $x-y$ 平面旋转。

在旋转参考系中，有效势能可表示为（忽略常数项）：

$U_{eff}(x,y)=-\frac{G{M}_{S}m}{\sqrt{(x-R^{\prime }{)}^2+y^2}}-\frac{G{M}_{E}m}{\sqrt{(x+R{)}^2+y^2}}-\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$

（因为 $|\vec{r}-{\vec{r}}_{CM}|=\sqrt{x^2+y^2}$，原点在 $CM$）

拉格朗日点满足：

$\frac{\partial U_{eff}}{\partial x}=0\text{和}\frac{\partial U_{eff}}{\partial y}=0$

L1, L2, L3 点（在 x 轴上，y=0）

当 $y=0$ 时（即在连接太阳和地球的直线上），公式简化为：

$U_{eff}(x,0)=-\frac{G{M}_{S}m}{|x-R^{\prime }|}-\frac{G{M}_{E}m}{|x+R|}-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

对 $x$ 求导并令导数为零：

$\frac{d}{dx}\left[-\frac{G{M}_{S}m}{|x-R^{\prime }|}-\frac{G{M}_{E}m}{|x+R|}-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\right]=0$

考虑不同区间的导数（根据 $x$ 在 $-R$, $R^{\prime }$ 之间，或 $x>R^{\prime }$, 或 $x<-R$）：

以 L1 (在 -R 和 R' 之间，更靠近地球) 为例：

• 在 $(-R,R^{\prime })$ 区间内，$|x-R^{\prime }|=R^{\prime }-x$, $|x+R|=x+R$。
• 导数：

$\frac{d}{dx}=\frac{G{M}_{S}m}{(R^{\prime }-x{)}^2}+\frac{G{M}_{E}m}{(x+R{)}^2}-m{\omega }^{2}x=0$

• 整理得：

$\frac{G{M}_S}{(R^{\prime }-x{)}^2}+\frac{G{M}_E}{(x+R{)}^2}={\omega }^2$

以 L2 (在地球外侧，x > R') 为例：

• 在 $(R^{\prime },\infty )$ 区间内，$|x-R^{\prime }|=x-R^{\prime }$, $|x+R|=x+R$。
• 导数：

$\frac{d}{dx}=-\frac{G{M}_{S}m}{(x-R^{\prime }{)}^2}+\frac{G{M}_{E}m}{(x+R{)}^2}-m{\omega }^{2}x=0$

• 整理得：

$-\frac{G{M}_S}{(x-R^{\prime }{)}^2}+\frac{G{M}_E}{(x+R{)}^2}={\omega }^{2}x$

以 L3 (在地球背面，x < -R) 为例：

• 在 $(-\infty ,-R)$ 区间内，$|x-R^{\prime }|=R^{\prime }-x$, $|x+R|=-(x+R)$。
• 导数：

$\frac{d}{dx}=\frac{G{M}_{S}m}{(R^{\prime }-x{)}^2}-\frac{G{M}_{E}m}{(-(x+R){)}^2}-m{\omega }^{2}x=0$

$\frac{G{M}_S}{(R^{\prime }-x{)}^2}-\frac{G{M}_E}{(x+R{)}^2}={\omega }^{2}x$

L4 和 L5 点（在等边三角形的另外两个顶点，y ≠ 0）

L4 和 L5 点满足方程：

$\frac{\partial U_{eff}}{\partial x}=0\text{和}\frac{\partial U_{eff}}{\partial y}=0$

具体的表达式比较复杂，但关键的是，在旋转参考系中，这两个点处的引力合力（太阳引力和地球引力的矢量和）恰好等于物体在该点随参考系旋转所需的向心力（圆心在 $CM$，半径 $\rho =|\vec{r}-{\vec{r}}_{CM}|$）。

结论（梯度为零的条件）：
对于 L4/L5，在旋转系中，第三体 $m$ 受到的真实引力（合力）${\vec{F}}_{grav}$ 与虚拟离心力 ${\vec{F}}_{cent}=-m{\omega }^2\vec{\rho }$（$\vec{\rho }$ 是从 $CM$ 指向 $m$ 的矢量）大小相等、方向相反：

${\vec{F}}_{grav}={\vec{F}}_{cent}\Rightarrow {\vec{F}}_{grav}+{\vec{F}}_{cent}=0$

这从受力的角度确认了平衡。

总结公式的意义

1. 有效势能 $U_{eff}$：提供了寻找平衡点的理论框架。拉格朗日点是 $\nabla U_{eff}=0$ 的点。
2. 受力平衡方程：无论是坐标导数形式还是矢量形式 ${\vec{F}}_{grav}+{\vec{F}}_{cent}=0$，都直接表达了拉格朗日点的核心物理：第三体的合力（在旋转系中看）为零。
3. 近似与数值解：精确求解拉格朗日点的位置（特别是 L1, L2, L3）通常需要数值方法。上面的导数方程是数值求解的基础。例如，对于 L1，需要解 $\frac{G{M}_S}{(R^{\prime }-x{)}^2}+\frac{G{M}_E}{(x+R{)}^2}={\omega }^2$。对于日-地系统，L1 的位置非常接近地球（距离约 150万公里），L2 在地球外侧约 150万公里，L3 在地球轨道外侧背面，距离略大于 1 个天文单位 (AU)。
4. 稳定性条件：判断一个平衡点是否稳定需要看有效势能在这个点的海森堡矩阵（Hessian Matrix）是否是正定的。对于 L4 和 L5，在限制性三体问题（ $m\ll M_E$ ）下，当质量比 $\mu =M_E/(M_S+M_E)$ 满足某些条件时（通常都满足），Hessian 矩阵的符号保证了稳定性。

重要提示

• 这些公式看起来可能很复杂，但它们定量地定义了拉格朗日点。
• 理解旋转参考系和虚拟离心力的概念是理解这些公式的关键。
• 实际计算拉格朗日点的精确位置（尤其是 L1-L3）需要数值求解非线性方程（如上面 L1 的方程）。
• 公式中涉及的质量 $M_S,M_E$、角速度 $\omega$、距离 $R,R^{\prime }$，都通过开普勒第三定律（ ${\omega }^2=G(M_S+M_E)/a^3$，其中 $a$ 是日-地半长轴）相互关联。

希望这些公式能加深你对拉格朗日点物理本质的理解！如果对某个具体点的计算过程有更深入的问题，可以提出来。