我需要证明表达式 $S=\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+d}+\frac{1-c^2}{d+a}+\frac{1-d^2}{a+b}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$，其中 $a,b,c,d\in [0,1]$ 且 $a^2+b^2+c^2+d^2=3$。不能通过尝试特殊值来证明，所以我需要进行一般性的推理。

首先，由于 $a,b,c,d\in [0,1]$，并且它们的平方和为3，这意味着它们不能太小，因为如果它们都小于1，它们的平方和可能小于3。实际上，由于每个都小于等于1，它们的平方和最大为4（当所有都为1时），最小为0。但这里是等于3，所以这些值必须接近1。

例如，如果所有都等于1，平方和是4，大于3。所以有些要小于1。但平方和为3，平均平方是3/4=0.75，所以平均每个数大约是√0.75≈0.866。所以它们都比较大，但不是全部为1。

现在看S的表达式，每个项是 $\frac{1-x^2}{y+z}$，其中x是a,b,c,d之一，y和z是另外两个。

我注意到分母是b+c, c+d, d+a, a+b，这些是连续两个变量的和。

分子是1 - x^2，其中x是分母中不包括的那个变量。例如，对于第一项，分子是1-a^2，分母是b+c，所以a不在分母中。

类似地，第二项是1-b^2除以c+d，b不在分母中。

所以，S是每个变量x的 $\frac{1-x^2}{\text{其他两个变量的和}}$ 的和。

由于有四个变量，并且约束是平方和，我可能需要使用一些不等式。

或者也许可以用柯西-施瓦茨不等式，因为看起来像的和。

回忆一下柯西-施瓦茨不等式。它有多种形式。

一个形式是对于向量，点积的平方不超过范数的平方的乘积。

但在这里，S是一个分式的和。

或许我可以考虑每个项 $\frac{1-x^2}{y+z}$。

注意1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)。

但不确定是否有帮助。

由于a,b,c,d在[0,1]，1 - x^2 ≥ 0，所以S是非负的，这很好。

现在，我需要最小化S，但证明最小值是1/2。

题目说最小值是1/2，但需要证明它至少是1/2，并且能达到1/2。

它说“最小值为1/2”，所以需要证明下界是1/2，并且是可实现的。

但题目说“不应该通过尝试特殊值得到证明”，所以我不能只给出一个例子，需要一般证明。

首先，我需要证明S ≥ 1/2。

然后，可能当某些值取特定时等号成立。

但既然不能使用特殊值，我需要一般证明。

或许我可以使用AM-GM不等式或其他不等式。

另一个想法：由于平方和固定，也许我可以设置一些变量相等来简化，但题目可能期望一般证明。

或者使用拉格朗日乘数法，但那可能太复杂，而且不是不等式。

我需要一个不等式方法来证明下界。

让我们观察分母。b+c, c+d, d+a, a+b。

注意(a+b) + (c+d) = a+b+c+d，同样(b+c) + (d+a) = a+b+c+d。

设T = a+b+c+d。

那么(b+c) + (d+a) = T，同样(a+b) + (c+d) = T。

但S有四项，分母是b+c, c+d, d+a, a+b。

实际上，b+c 和 d+a 的和是T，同样a+b 和 c+d 的和是T。

但S是这些的倒数之和，但分子不同。

或许我可以考虑S的对称性。

另一个想法：也许当a=b=c=d时，但a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4a^2 = 3，所以a=√3/2≈0.866，那么S = 4 * [ (1 - 3/4) / (2*√3/2) ] = 4 * [ (1/4) / (√3) ] = 4 * (1/(4√3)) = 1/√3 ≈ 0.577，大于0.5。

1/√3 ≈ 0.577 > 0.5，所以比最小值大。

现在，最小值可能是1/2，当某些值较小。

但题目说不能使用特殊值。

或许当两个变量为1，两个为0，但平方和=1+1+0+0=2<3，不够。

需要平方和为3。

例如，设a=1，b=1，c=1，d=0，但平方和=1+1+1+0=3，满足。

那么S = (1-a^2)/(b+c) + (1-b^2)/(c+d) + (1-c^2)/(d+a) + (1-d^2)/(a+b)

a=1，b=1，c=1，d=0

第一项：(1-1^2)/(1+1) = (0)/2 = 0

第二项：(1-1^2)/(1+0) = 0/1 = 0

第三项：(1-1^2)/(0+1) = 0/1 = 0

第四项：(1-0^2)/(1+1) = 1/2

所以 S=0+0+0+1/2=0.5，正好是1/2。

哦，所以当三个变量为1，一个为0时，S=1/2。

但 d=0，且 a,b,c=1。

现在，检查分母：b+c=1+1=2，c+d=1+0=1，d+a=0+1=1，a+b=1+1=2，全部大于0，因为分母不能为零，因为 b+c ≥0，但若 b=c=0，则分母为零，但在此情况下，当 d=0，a,b,c=1，分母都为正。

但在约束中，a,b,c,d ∈ [0,1]，所以零是允许的。

但在这个例子中，S=1/2。

现在，我需要证明在所有情况下 S ≥ 1/2。

所以，可能这个最小值是可达的，我需要证明它不会更小。

所以，我需要证明 S ≥ 1/2。

现在，如何在没有特殊值的情况下证明。

也许使用不等式。

另一个想法：由于分子是 1-x^2，分母是 y+z，其中 y,z 是另外两个。

但 x,y,z 是排列过的。

也许我可以使用每个项的下界。

例如，对于每个项 \frac{1-x^2}{y+z}。

但 x,y,z 是相关的。

注意在约束中，a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3。

现在，S = \sum \frac{1-a^2}{b+c}，其中求和是对四个项，但每个项对应一个变量。

更准确地说，S = \frac{1-a^2}{b+c} + \frac{1-b^2}{c+d} + \frac{1-c^2}{d+a} + \frac{1-d^2}{a+b}

现在，我可以考虑每个分母。

另一个想法：也许使用柯西-施瓦茨不等式。

柯西-施瓦茨不等式在某些情况下适用于分式求和。

例如，考虑向量。

设我有四个项：\frac{p_i}{q_i}，但这里分子和分母是相关的。

注意在 S 中，分子依赖于被减的数，分母是另外两个的和。

也许我可以写成 S = \sum_{cyc} \frac{1-a^2}{b+c}

但因为是循环的，所以是对称的。

现在，为了证明 S ≥ 1/2。

假设我固定分母，但很难。

另一个想法：由于 a,b,c,d ≤1，1-a^2 ≥0，等等。

此外，由 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 =3，且每个 ≤1，所以每个必须至少某个值，但之前当 a=b=c=1，d=0 时，是可行的。

d=0 是允许的。

现在，在 d=0 的情况下，S= (1-a^2)/(b+c) + (1-b^2)/(c+d) + (1-c^2)/(d+a) + (1-d^2)/(a+b)

当 d=0，变为 (1-a^2)/(b+c) + (1-b^2)/c + (1-c^2)/a + 1/(a+b)

由于 d=0，且 a^2+b^2+c^2=3。

但 a,b,c ≥0，a^2+b^2+c^2=3，但每个 ≤1，所以不可能，因为最大平方和是 3，当每个为 1，但 1^2+1^2+1^2=3，所以 a=b=c=1，d=0，如前所示。

如果有两个为零，但 a^2+b^2+c^2+d^2=3，如果两个为零，则另外两个平方和为 3，但每个 ≤1，所以不可能，因为 1^2+1^2=2<3。所以至少有三个非零，但在边界上，可以有两个为 1，一个为 1，一个为 0，如上所示。

现在，回到证明 S≥1/2。

也许我可以使用 AM-GM 不等式，但分母是线性的，分子是二次的，所以不确定。

另一个想法：考虑每个分数 \frac{1-x^2}{y+z}。

由 AM-GM，y+z ≥ 2√(yz)，但可能没有帮助。

注意 1-x^2 = (1-x)(1+x)，而 y+z 是另外两个。

但 1+x 和 y,z 没有直接关系。

也许可以使用柯西-施瓦茨不等式。

让我回忆一下柯西-施瓦茨不等式。

一个形式是：对于正数，(\sum \frac{a_i^2}{b_i}) (\sum b_i) \geq (\sum a_i)^2，但这里不是平方。

在 S 中，我有 \sum \frac{p_i}{q_i}，其中 p_i = 1-x_i^2，q_i 是分母。

但 p_i 和 q_i 是相关的。

也许考虑向量。

另一个想法：注意在表达式中，分母 b+c 对应不包括 a 和 d，但等等。

对于第一项，分母是 b+c，即所有变量除去 a 和 d？不，是 b 和 c，所以是除去 a 和 d，但 d 在分母中，不。

变量是 a,b,c,d。

分母 b+c 包含 b 和 c，不包括 a 和 d。

类似地，c+d 包含 c 和 d，不包括 a 和 b。

d+a 包含 d 和 a，不包括 b 和 c。

a+b 包含 a 和 b，不包括 c 和 d。

所以每个分母对应一对变量，而分子对应不在分母中的那个变量。

具体来说，对于每对“相邻”变量，但在这个循环中，a-b-c-d-a，所以对是 (b,c), (c,d), (d,a), (a,b)，而缺失的变量是 a,d,b,c 分别。

对于分母 (b,c)，缺失的是 a 和 d，但分子是 1-a^2，只提到 a，而不是 d。

在 S 中，对于分母 (b,c)，分子是 1-a^2，只涉及 a，不涉及 d。

类似地，对于 (c,d)，分子是 1-b^2，只涉及 b。

对于 (d,a)，分子是 1-c^2，只涉及 c。

对于 (a,b)，分子是 1-d^2，只涉及 d。

所以每个分子只涉及一个变量，即分母中未包含的变量。

在这个四元组中，每个变量被排除在一对分母之外。

具体来说，a 被排除在 (b,c) 的分母之外，所以分子是 1-a^2。

b 被排除在 (c,d) 的分母之外，分子是 1-b^2，依此类推。

现在，为了证明 S ≥ 1/2。

也许我可以考虑总和。

另一个想法：也许添加所有项并利用约束条件。

让我表示 P = a+b+c+d。

那么如之前所述，(b+c) + (d+a) = P，同样 (a+b) + (c+d) = P。

但 S 有四项。

注意 S = \frac{1-a^2}{b+c} + \frac{1-b^2}{c+d} + \frac{1-c^2}{d+a} + \frac{1-d^2}{a+b}

现在，我可以将每一项乘以分母之类的，但没什么帮助。

也许使用事实 \frac{1-x^2}{y+z} = \frac{(1-x)(1+x)}{y+z}。

但仍旧。

另一个想法：由柯西-施瓦茨不等式，以 Engel 形式，即 Titu's lemma：\sum \frac{x_i^2}{y_i} \geq \frac{(\sum x_i)^2}{\sum y_i}，但这里分子不是平方。

在 S 中，分子是 1-x^2，不是 x 的平方。

除非我写 1-x^2 = (1-x)(1+x)，但 1+x 不是常数。

也许我可以使用每个项的下界。

例如，考虑 \frac{1-a^2}{b+c}。

由于 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3，但 b 和 c 在分母中。

注意 b+c ≥ 2\sqrt{bc}，由 AM-GM，但 1-a^2 与 bc 没有直接关系。

也许利用 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 的事实，我可以表示 1-a^2 = b^2 + c^2 + d^2 + a^2 - a^2 - 2a^2 +1，等等。

1-a^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) - a^2 - a^2 +1 - a^2，不对。

1-a^2 = 1 - a^2，而总和是 3，所以 1-a^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) - a^2 - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) +1 + a^2，太乱了。

1-a^2 = (b^2 + c^2 + d^2) + (1 - a^2 - b^2 - c^2 - d^2) + a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a^2，还是太乱。

设 S_sum = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3。

那么 1-a^2 = 1 - a^2。

但 1 - a^2 = (S_sum - a^2) - (S_sum - 1) = (b^2 + c^2 + d^2) - (3 - 1) + a^2 - a^2，不对。

S_sum - a^2 = b^2 + c^2 + d^2。

但 1 - a^2 = 1 - a^2。

所以 1 - a^2 = [ (b^2 + c^2 + d^2) - (S_sum - 1) ] 等等，S_sum - 1 = 3 - 1 = 2，所以 1 - a^2 = (b^2 + c^2 + d^2) - 2 + a^2 - a^2，不对。

实际上，1 - a^2 = - (a^2 - 1) = - (a^2 - 1)。

但 a^2 - 1 ≤ 0，所以 1 - a^2 ≥ 0。

从总和来看，b^2 + c^2 + d^2 = 3 - a^2。

所以 1 - a^2 = 1 - a^2。

而 b^2 + c^2 + d^2 = 3 - a^2。

所以 1 - a^2 和 b^2 + c^2 + d^2 都是 3 - a^2 的函数。

具体地，1 - a^2 = (1 - a^2)，而 b^2 + c^2 + d^2 = 3 - a^2。

所以 b^2 + c^2 + d^2 = 3 - a^2。

现在，在分母中，对于第一项，是 b + c。

所以 \frac{1 - a^2}{b + c} = \frac{1 - a^2}{b + c}。

由柯西-施瓦茨或其它不等式，但 b + c 与 b^2 + c^2 相关。

例如，由柯西-施瓦茨，(b + c)^2 ≤ 2(b^2 + c^2)，所以 b + c ≤ \sqrt{2(b^2 + c^2)}。

但 b^2 + c^2 ≤ b^2 + c^2 + d^2 = 3 - a^2。

所以 b + c ≤ \sqrt{2(b^2 + c^2)} ≤ \sqrt{2(3 - a^2)}。

然后 \frac{1 - a^2}{b + c} ≥ \frac{1 - a^2}{\sqrt{2(3 - a^2)} }。

设 t = a^2，则 f(t) = \frac{1 - t}{\sqrt{2(3 - t)} }，其中 t ∈ [0,1]，因为 a∈[0,1]。

但这是一个项的下界，但 S 是四项的和，而且这个下界可能不是紧的。

此外，这个下界依赖于 a，但其他项也依赖于其他变量。

而且，对于每个项，我有这样的下界，但当我求和时，可能会高估。

例如，f(t) = \frac{1 - t}{\sqrt{2(3 - t)} }

让我简化：f(t) = \frac{1 - t}{\sqrt{2} \sqrt{3 - t} }

设 g(t) = \frac{1 - t}{\sqrt{3 - t}}
那么 f(t) = g(t) / \sqrt{2}

现在 g(t) = \frac{1 - t}{\sqrt{3 - t}}，t∈[0,1]

当 t=0 时，g(0) = 1 / \sqrt{3} ≈ 0.577

当 t=1 时，g(1) = 0 / \sqrt{2} = 0

导数：设 h(t) = g(t)^2 = \frac{(1-t)^2}{3-t}

h'(t) = [2(1-t)(-1)(3-t) - (1-t)^2 (-1) ] / (3-t)^2 = [ -2(1-t)(3-t) + (1-t)^2 ] / (3-t)^2

= (1-t) [ -2(3-t) + (1-t) ] / (3-t)^2 = (1-t) (-6 +2t +1 -t) / (3-t)^2 = (1-t)(-5 + t) / (3-t)^2

对于 t<1，1-t>0，-5+t<0，所以 h'(t) <0，因此 h(t) 在 [0,1] 上递减，所以 g(t) 也递减。

所以 g(t) 从 g(0)=1/√3 递减到 g(1)=0。

因此 f(t) 从 1/(2√3) ≈0.288 到 0。

但这是针对一个项的下界，而 S 有四项，所以如果我求和，每个项至少为 f(t_i)，但 t_i 不同，而且 f(t) 很小，例如当 a=1 时，f(a^2)=0，但其他项可能很大。

在 a=1 的情况下，但 a^2 + b^2 + c^2 + d^2=3，如果 a=1，则 b^2 + c^2 + d^2=2。

那么 S 有 \frac{1-1^2}{b+c} =0，\frac{1-b^2}{c+d}，\frac{1-c^2}{d+a} = \frac{1-c^2}{d+1}，\frac{1-d^2}{a+b} = \frac{1-d^2}{1+b}

现在，如果 b,c,d 很小，但 b^2 + c^2 + d^2=2，所以不能太小。

例如，如果 b=c=d=√(2/3)≈0.816，那么 S = 0 + \frac{1-2/3}{0.816 + 0.816} + \frac{1-2/3}{0.816 + 1} + \frac{1-2/3}{1 + 0.816} = \frac{1/3}{1.632} + \frac{1/3}{1.816} + \frac{1/3}{1.816}

≈ \frac{0.333}{1.632} ≈ 0.204，+ \frac{0.333}{1.816} ≈ 0.183，再两次，所以 0.204 + 0.183 + 0.183 = 0.57，大于 0.5。

但最小值是 0.5，所以需要更小的值。

在之前的最小值中，a=b=c=1，d=0，S=0.5。

所以回到证明。

也许使用柯西-施瓦茨不等式的一种形式。

另一个想法：考虑 S 和常数。

注意在最小值点，当 d=0，a=b=c=1，那么 S= \frac{0}{2} + \frac{0}{1} + \frac{0}{1} + \frac{1}{2} = 0.5。

一般地，也许我可以写 S = \sum \frac{1-x^2}{y+z}

现在，由柯西-施瓦茨，也许在求和的形式中。

考虑 ( \sum \frac{1-x^2}{y+z} ) ( \sum (y+z) )，但 \sum (y+z) 是 (b+c) + (c+d) + (d+a) + (a+b) = 2(a+b+c+d) = 2P，其中 P=a+b+c+d。

但分子 \sum (1-x^2) = 4 - (a^2+b^2+c^2+d^2) = 4-3=1。

哦！这很关键。

\sum_{cyc} (1 - a^2) = 1 - a^2 + 1 - b^2 + 1 - c^2 + 1 - d^2 = 4 - (a^2+b^2+c^2+d^2) = 4 - 3 = 1。

而分母的和是 (b+c) + (c+d) + (d+a) + (a+b) = (b+c + d+a) + (c+d + a+b) = (a+b+c+d) + (a+b+c+d) = 2P，其中 P = a+b+c+d。

但 S 是 \sum \frac{1-x^2}{d_x}，其中 d_x 是分母，而 \sum d_x = 2P。

由柯西-施瓦茨不等式，有 (\sum \frac{a_i^2}{b_i}) (\sum b_i) \geq (\sum a_i)^2，但这里 a_i 是 1-x^2，b_i 是分母。

但 1-x^2 不是常数，且 b_i 不同。

然而，如果我应用柯西-施瓦茨不等式到 S 和分母的和，但柯西-施瓦茨不等式是用于 \sum \frac{a_i^2}{b_i}，而这里分子是线性的，不是二次的。

具体来说，对于 S = \sum \frac{p_i}{q_i}，其中 p_i = 1-x_i^2，q_i 是分母。

由柯西-施瓦茨不等式，(\sum \frac{p_i^2}{q_i}) (\sum q_i) \geq (\sum p_i)^2，但这里我有 \sum \frac{p_i}{q_i}，不是 \sum \frac{p_i^2}{q_i}。

所以那不一样。

实际上，\sum \frac{p_i}{q_i} 没有直接的上界或下界。

但在这个例子中，我有 \sum p_i = 1，\sum q_i = 2P。

但 S = \sum \frac{p_i}{q_i}，而 p_i 和 q_i 是相关的。

然而，由柯西-施瓦茨不等式，有 (\sum \frac{p_i}{q_i}) (\sum q_i) \geq (\sum \sqrt{p_i})^2 之类的？不。

标准方法是使用 Titu's lemma 或柯西-施瓦茨不等式在 Engel 形式中：\sum \frac{x_i^2}{y_i} \geq \frac{(\sum x_i)^2}{\sum y_i}。

但这里，在 S 中，我有 \sum \frac{p_i}{q_i}，所以如果我能写 p_i = m_i^2，但 p_i = 1-x^2，不一定是平方。

除非我设 m_i = \sqrt{1-x^2}，但那样没有帮助。

注意在最小值时，当三个 p_i 为 0，一个为 1，并且 q_i 相应地为 2,1,1,2 或类似的值。

为了证明 S ≥ 1/2，我可以使用每个项的平均值。

由于 \sum p_i = 1，且 \sum q_i = 2P，根据调和平均不等式，但 S 是 \sum \frac{p_i}{q_i}，而 p_i 是权重。

实际上，根据柯西-施瓦茨不等式，有 (\sum \frac{p_i}{q_i}) (\sum q_i) \geq (\sum \sqrt{p_i} \sqrt{p_i} / \sqrt{q_i} * \sqrt{q_i} )^2，不对。

让我考虑一下。

根据柯西-施瓦茨不等式，有 \sum \frac{p_i^2}{q_i} \geq \frac{(\sum p_i)^2}{\sum q_i}，但那是针对 \sum \frac{p_i^2}{q_i}。

对于 \sum \frac{p_i}{q_i}，它可以是任意的。

例如，如果所有 q_i 相等，但这里不相等。

另一个想法：使用不等式 \frac{p_i}{q_i} \geq 2p_i / (q_i + c) 之类的，但没有帮助。

也许使用每个项的事实：\frac{1-x^2}{y+z}。

但如前所述，1-x^2 = b^2 + c^2 + d^2 - 2 + a^2 - a^2，等等。

由之前，1-x^2 和 y+z 与其他变量有关。

也许利用对于每个项，有 \frac{1-x^2}{y+z}，并且由于 y+z \leq 2，因为 y,z \leq 1，所以 \frac{1-x^2}{y+z} \geq \frac{1-x^2}{2}，那么 S \geq \sum \frac{1-x^2}{2} = \frac{1}{2} \sum (1-x^2) = \frac{1}{2} * 1 = 0.5。

哦！就是这样？

S = \sum \frac{1-x^2}{y+z}，其中 y+z 是两个变量的和，每个 \leq 1，所以 y+z \leq 2。

由于 1-x^2 \geq 0，所以 \frac{1-x^2}{y+z} \geq \frac{1-x^2}{2}。

因此 S \geq \sum \frac{1-x^2}{2} = \frac{1}{2} \sum (1-x^2) = \frac{1}{2} (4 - \sum x^2) = \frac{1}{2} (4 - 3) = \frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{2]。

此外，当 y+z < 2 时取等号，但在我们的情况下，当 a=b=c=1, d=0 时，对于第一项，\frac{1-a^2}{b+c} = 0/2，且 \frac{1-a^2}{2} = 0，相等。

对于第二项，\frac{1-b^2}{c+d} = 0/(1+0) = 0，而 \frac{1-b^2}{2} = 0，但分母是 c+d=1<2，而分子是 0，所以 \frac{0}{1} = 0 = \frac{0}{2}，所以相等。

类似地，对于第三项，\frac{1-c^2}{d+a} = 0/(0+1) = 0，\frac{0}{2} = 0。

对于第四项，\frac{1-d^2}{a+b} = 1/(1+1) = 1/2，而 \frac{1-d^2}{2} = 1/2，但分母 a+b=2，所以 \frac{1}{2} = \frac{1}{2}，相等。

但在不等式中，我们有 \frac{p}{q} \geq \frac{p}{2}，当 q \leq 2 且 p \geq 0 时，如果 q < 2 且 p > 0，则 \frac{p}{q} > \frac{p}{2}，但在等号成立时，当 p=0 或 q=2。

在最小值的情况下，当三个 p=0 时，我们有等号成立。

在求和时，S \geq \sum \frac{p_i}{2} = \frac{1}{2} \sum p_i = 0.5，且当每个 \frac{p_i}{q_i} = \frac{p_i}{2} 时等号成立，这要求当 p_i > 0 时 q_i=2，或者 p_i=0。

在最小值的情况下，当 d=0 时，对于 i 对应 d 的项，p_i = 1-d^2=1>0，且 q_i = a+b=2，所以等号成立。

对于其他项，p_i=0，所以等号成立。

现在，是否还有其他点满足等号？例如，如果所有变量都是 1，但 a^2+b^2+c^2+d^2=4>3，不满足约束。

或者如果两个是 1，两个是 0，但平方和为 2<3。

或者如果 a=1, b=1, c=1, d=0，如上所述。

假设 a=b=1，c=d=0.5？但 c^2 + d^2 = 0.25 + 0.25 = 0.5，a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2，总和 2.5 < 3，不够。

要满足平方和为 3，例如 a=b=1，c=1，d=0 如上所述。

或者 a=√(3/2)≈1.224，但 a≤1，不可能，因为最大值是 1。

所以唯一满足平方和为 3 且变量在 [0,1] 内的情况是三个为 1，一个为 0，或者排列组合。

例如，a=1, b=1, c=0, d=1，但平方和 1+1+0+1=3，那么 S = (1-1^2)/(1+0) + (1-1^2)/(0+1) + (1-0^2)/(1+1) + (1-1^2)/(1+1) = (0)/1 + 0/1 + 1/2 + 0/2 = 0 + 0 + 0.5 + 0 = 0.5。

类似地。

现在，在不等式中，S ≥ ∑ \frac{1-x^2}{2} = 0.5，当分母 q_i = y+z ≤ 2 时，等号成立当且仅当对于每个 i，要么 p_i=0，要么 q_i=2。

p_i=0 意味着 1-x_i^2=0，所以 x_i=1（因为 x_i ≥0）。

q_i=2 意味着 y+z=2。

在四变量中，对于每个项，q_i 是两个变量的和。

例如，对于第一项，q1 = b+c，当 q1=2 时，由于 b≤1，c≤1，所以 b=c=1。

类似地，对于第二项，q2=c+d=2，所以 c=d=1。

对于第三项，q3=d+a=2，所以 d=a=1。

对于第四项，q4=a+b=2，所以 a=b=1。

所以 q1=2 当且仅当 b=c=1。

q2=2 当且仅当 c=d=1。

q3=2 当且仅当 d=a=1。

q4=2 当且仅当 a=b=1。

现在，p_i=0 当 x_i=1。

在 S ≥ 0.5 中，等号成立当且仅当对于每个 i，要么 p_i=0 要么 q_i=2。

这必须对四个项都成立。

情况 1：所有 p_i=0，但 ∑p_i=1>0，不可能，因为 ∑p_i=1。

p_i 是 1-x_i^2，∑p_i=1>0，所以不能全部为零。

所以有些 p_i>0。

对于 p_i>0 的项，必须有 q_i=2。

但 q_i=2 要求两个变量为 1。

此外，p_i=0 当 x_i=1。

假设对于第四项，p_d =1-d^2>0（如果 d<1），那么对于第四项，q4=a+b 必须为 2，所以 a=b=1。

类似地，如果 p_a=0，则 a=1，等等。

在最小值的情况下，当 d<1 时，p_d=1-d^2>0（如果 d<1），在 d=0 时，p_d=1>0，所以 q4 必须为 2，即 a+b=2，所以 a=b=1。

现在，p_a=1-a^2=1-1=0，所以对于第一项，p_a=0，因此即使 q1=b+c 不一定为 2，但由于 p_i=0，不等式仍然成立。

类似地，p_b=0。

现在，对于第二项，p_b=0，所以成立。

对于第三项，p_c=1-c^2，如果 c=1，则 p_c=0。

在 d<1 且 a=b=1 的情况下，c 必须满足 a^2+b^2+c^2+d^2=1+1+c^2+d^2=2+c^2+d^2=3，所以 c^2+d^2=1。

现在，p_c=1-c^2，p_d=1-d^2。

现在，对于第二项，对应 b，p_b=1-b^2=0，所以由于 p_i=0，不需要 q_i=2。

类似地，对于第三项，对应 c，p_c=1-c^2。

如果 c<1，则 p_c>0，所以对于第三项，q3=d+a 必须为 2。

但 a=1，所以 d+a=d+1=2，因此 d=1。

但然后 c^2 + d^2 = c^2 +1，设等于 1，所以 c=0。

但然后 d=1，c=0。

那么 a=1,b=1,c=0,d=1。

那么平方和 1+1+0+1=3。

现在 S= (1-a^2)/(b+c) = (0)/(1+0)=0

(1-b^2)/(c+d)=0/(0+1)=0

(1-c^2)/(d+a)= (1-0)/(1+1)=1/2

(1-d^2)/(a+b)= (1-1)/(1+1)=0/2=0

所以 S=0+0+0.5+0=0.5，与之前相同。

如果 c=1，则 c^2 + d^2=1，1 + d^2=1，所以 d=0。

那么 a=1,b=1,c=1,d=0，与第一个情况相同。

所以在这两种情况下，S=0.5，并且等号成立。

现在，是否还有其他点？例如，如果对于某些项，q_i=2 但 p_i>0。

但如上所述，q_i=2 要求两个变量为 1。

但接着平方和至少为 2，如果只有两个为 1，但需要总和为 3，所以其他两个必须满足它们的平方和为 1，但每个 ≤1，所以可能，例如 a=1,b=1,c=1,d=0 是唯一的方式，或者排列组合，但如上所示。

假设 a=b=1，c 和 d 满足 c^2 + d^2=1。

如果 c 和 d 都小于 1，例如 c=d=√(1/2)≈0.707。

那么 p_a=1-1=0，p_b=0，p_c=1-0.5=0.5，p_d=1-0.5=0.5。

现在 S= \frac{1-a^2}{b+c} = 0/(1+0.707)≈0

\frac{1-b^2}{c+d} = 0/(0.707+0.707)≈0

\frac{1-c^2}{d+a} = (1-0.5)/(0.707+1) = 0.5 / 1.707 ≈ 0.293

\frac{1-d^2}{a+b} = (1-0.5)/(1+1) = 0.5 / 2 = 0.25

所以 S≈ 0 + 0 + 0.293 + 0.25 = 0.543 > 0.5

现在，检查不等式：对于第一项，\frac{p_a}{q1} =0，\frac{p_a}{2}=0，q1=b+c≈1.707<2，但 p_a=0，所以 0 ≥ 0。

第二项类似。

第三项，\frac{p_c}{q3} = 0.5 / 1.707 ≈ 0.293，而 \frac{p_c}{2}=0.5/2=0.25，且 0.293 > 0.25，因为 q3<2。

类似地，第四项，\frac{p_d}{q4} = 0.5 / 2 = 0.25，而 \frac{p_d}{2}=0.25，q4=2，所以相等。

但 S≈0.543 > 0.5，因为第三项更大。

现在，要使等号成立，我们需要对于每个 p_i>0 的项，q_i=2。

这里 p_c>0 且 p_d>0。

对于 p_d，q4=a+b=2，满足。

对于 p_c，q3=d+a=d+1，必须为 2，所以 d=1。

但然后 c^2 + d^2 = c^2 +1 =1，所以 c=0，与 c=0.707 矛盾。

如果 c=1，但 c^2 + d^2=1，1 + d^2=1，d=0，那么 p_c=0，但之前 p_c=0.5>0，矛盾。

所以只有当 c=0 或 d=0 时才可能，但如上所述。

因此，仅当三个变量为 1，一个为 0 时等号成立。

在不等式中，我们始终有 S ≥ \sum \frac{p_i}{2} = 0.5，当满足条件时等号成立。

而且在约束下，当变量在 [0,1] 内且平方和为 3 时，等号是可以实现的。

所以证明完成。

更严谨地说：由于对于每个 i，有 \frac{p_i}{q_i} \geq \frac{p_i}{2}，因为 q_i = y_i + z_i \leq 2（因为每个变量 ≤1），且 p_i \geq 0。

因此 S = \sum \frac{p_i}{q_i} \geq \sum \frac{p_i}{2} = \frac{1}{2} \sum p_i = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2》。

等号成立当且仅当对于每个 i，有 \frac{p_i}{q_i} = \frac{p_i}{2}，这当且仅当对于每个 i，有 p_i = 0 或 q_i = 2。

如上所述，在约束条件下，当且仅当三个变量为 1，一个为 0 时成立。

但即使没有具体说明，不等式也成立，且下界是 1/2，并且是可实现的。

所以证明完成。