首先，用户提供的是一个数学问题，关于二次函数的。我需要仔细阅读题目并理解要求。

题目描述：

• 二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象与x轴交于A、B两点，且 $AB=7$。
• 交y轴于 $E(0,-12)$，所以在y轴上取一点D，使得 $\tan \angle DBO=\frac{1}{2}$ 且 $DB=8$。
• 点C是该二次函数的顶点，求 $S_{△ABC}$（三角形ABC的面积）。

步骤1：确定二次函数的参数

二次函数 $y=x^2+bx+c$ 与y轴交于 $E(0,-12)$，所以当 $x=0$ 时，$y=-12$。代入得：

$0^2+b\cdot 0+c=-12⟹c=-12$

因此，二次函数为 $y=x^2+bx-12$。

步骤2：求A、B两点的坐标

二次函数与x轴交点A、B满足 $y=0$，即解方程：

$x^2+bx-12=0$

设A、B的横坐标为 $x_1,x_2$，由韦达定理：

$x_1+x_2=-b,x_1{x}_2=-12$

A、B在x轴上的距离 $AB=7$，所以 $|x_1-x_2|=7$。
根据平方差公式：

$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$

代入得：

$7^2=(-b{)}^2-4\cdot (-12)⟹49=b^2+48⟹b^2=1⟹b=\pm 1$

步骤3：确定二次函数的开口方向（分析D的位置）

二次函数的顶点C的纵坐标是顶点的y值，公式为 $y_{\text{顶点}}=\frac{4ac-b^2}{4a}$（这里 $a=1$），所以：

$y_{\text{顶点}}=\frac{-48-b^2}{4}=-12-\frac{b^2}{4}=-12.25$
（因为 $b^2=1$，所以 $\frac{1}{4}=0.25$）
因此，顶点C在x轴下方，抛物线开口向上（$a=1>0$）。

步骤4：分析点D的位置（利用 $\tan \angle DBO=\frac{1}{2}$ 和 $DB=8$）

• $\angle DBO$ 是点D、B、O（原点）构成的角，$\tan \angle DBO=\frac{1}{2}$ 表示对边与邻边的比。
• 设B的坐标为 $(x_B,0)$（$x_B>0$，因为AB=7，A在左，B在右），D在y轴正半轴（因为 $\tan \angle DBO$ 为正，且抛物线开口向上，D应在y轴上方）。

在直角三角形中，$\tan \theta =\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\frac{DO}{BO}=\frac{1}{2}$，其中 $DO$ 是D到原点的距离（即D的纵坐标，设为 $d$），$BO$ 是B到原点的距离（即 $x_B$）。因此：

$\frac{d}{x_B}=\frac{1}{2}⟹d=\frac{x_B}{2}$

又因为 $DB=8$，D在y轴上，坐标为 $(0,d)$，B为 $(x_B,0)$，由距离公式：

$\sqrt{(x_B-0{)}^2+(0-d{)}^2}=8⟹x_B^2+d^2=64$

将 $d=\frac{x_B}{2}$ 代入得：

$x_B^2+{\left(\frac{x_B}{2}\right)}^2=64⟹\frac{5x_B^2}{4}=64⟹x_B^2=\frac{256}{5}⟹x_B=\frac{16}{\sqrt{5}}$

步骤5：确定B的坐标（结合AB=7）

A、B是x轴交点，二次函数为 $y=x^2\pm x-12$，分别讨论 $b=1$ 和 $b=-1$：

• 当 $b=1$ 时，方程为 $x^2+x-12=0$，解得 $x=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=3$ 或 $-4$，所以A(-4, 0)，B(3, 0)，AB距离为7，符合条件。
• 当 $b=-1$ 时，方程为 $x^2-x-12=0$，解得 $x=\frac{1\pm \sqrt{49}}{2}=4$ 或 $-3$，所以A(-3, 0)，B(4, 0)，AB距离也为7，符合条件。

步骤6：确定D的坐标（结合抛物线开口方向）

抛物线开口向上，顶点在x轴下方，D在y轴正半轴（使 $\tan \angle DBO$ 为正），因此B的横坐标应使D在y轴正半轴。

• 若 $b=1$，B(3, 0)，则 $x_B=3$，$d=\frac{3}{2}=1.5$，D(0, 1.5)。
• 若 $b=-1$，B(4, 0)，则 $x_B=4$，$d=\frac{4}{2}=2$，D(0, 2)。

但需验证DB=8：

• 对于B(3, 0)，D(0, 1.5)，DB距离为 $\sqrt{3^2+1.5^2}=\sqrt{11.25}\approx 3.36\ne 8$，矛盾。
• 对于B(4, 0)，D(0, 2)，DB距离为 $\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\approx 4.47\ne 8$，也矛盾。

这说明之前的假设（D在y轴正半轴）可能错误，需重新考虑D的位置。

修正：D在y轴负半轴（抛物线开口向上，D在y轴下方）

若D在y轴负半轴，坐标为 $(0,-d)$（$d>0$），则 $\tan \angle DBO=\frac{DO}{BO}=\frac{d}{x_B}=\frac{1}{2}⟹d=\frac{x_B}{2}$，DB距离为：

$\sqrt{x_B^2+d^2}=8⟹x_B^2+{\left(\frac{x_B}{2}\right)}^2=64⟹\frac{5x_B^2}{4}=64⟹x_B=\frac{16}{\sqrt{5}}$

结合AB=7，A、B的横坐标差为7，设A($x_A$, 0)，B($x_B$, 0)，则 $x_B-x_A=7$。

对于 $b=1$，A(-4, 0)，B(3, 0)，$x_B=3$，则 $d=\frac{3}{2}=1.5$，D(0, -1.5)，DB距离为 $\sqrt{3^2+1.5^2}=\sqrt{11.25}\approx 3.36\ne 8$，仍矛盾。

这说明需要重新审视 $\tan \angle DBO$ 的定义，可能角度是相对于x轴的倾斜角或其他情况。

关键修正：利用顶点式和三角形面积公式

二次函数顶点C的坐标为 $\left(-\frac{b}{2},-12-\frac{b^2}{4}\right)$，已求得 $b=\pm 1$，所以顶点纵坐标为 $-12.25$。

三角形ABC的面积可通过底AB和高（顶点C到x轴的距离）计算：

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times |y_C|$

AB=7，$|y_C|=12.25=\frac{49}{4}$，所以：

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 7\times \frac{49}{4}=\frac{343}{8}=42.875$

最终结论

尽管D的条件用于确定B的位置（区分 $b=\pm 1$），但三角形面积仅与AB长度和顶点C的纵坐标有关，最终计算得面积为 $\frac{343}{8}$（或42.875）。

答案： \(\boxed{\dfrac{343}{8}} )