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液体压强公式解题分析
2025/08/11·StepFun can make mistakes, check important info.
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解题
Reason
思考过程

首先,问题是关于两个试管中液体对底部的压强。题目说:两只试管相同,液体种类不同,质量相同,液面等高。问液体对试管底部的压强哪个更大。

关键公式是液体压强公式:,其中 是液体密度, 是重力加速度, 是液面高度。

已知条件:

  • 两只试管相同(可能指形状或底面积相同,但这里重要的是底面积不影响压强,压强只与密度和深度有关)。
  • 液体种类不同,所以密度 不同。
  • 质量相同,所以
  • 液面等高,所以

质量相同,但密度不同,所以体积不同。因为密度 ,所以体积

由于质量相同,密度大的体积小,密度小的体积大。

现在,液面等高,意味着液柱的高度 相同。但试管的形状呢?图片中,甲试管是直立的,乙试管是倾斜的。所以,乙试管的液面高度和试管总高度可能不同。

看图片:甲试管是垂直的,乙试管是倾斜的。液面等高,意思是液体的上表面在同一水平线上。

对于乙试管,因为是倾斜的,液体的实际深度(从液面到底部的垂直距离)可能和甲不同?不,液面等高,意思是液体的自由表面在同一高度。

在压强公式 中, 是深度,即从液面到底部点的垂直距离。在这里,既然液面等高,且底部在同一水平面(因为试管放在同一平面上),所以对于两个试管,液面到底部的垂直距离应该是相同的,因为液面高度相同,底部高度也相同。

假设试管底部在同一水平面上,液面也在同一水平面上,那么深度 是相同的,因为深度是垂直距离。

所以,

现在,压强 是常数, 相同,所以压强只取决于密度

但密度 不同,因为液体种类不同。质量相同,但密度不同,所以体积不同,但这里深度相同,所以密度大的压强应该大。

问题是,乙试管是倾斜的,虽然液面等高,但由于倾斜,液体的体积分布不同,但压强公式中的 是深度,只要深度相同,压强就只和密度有关。

让我确认一下。

对于乙试管,倾斜意味着液体的横向扩展,但垂直深度还是从液面到底部的垂直距离。既然液面在同一高度,底部在同一高度,深度 是相同的。

所以, 取决于

但质量相同,密度不同,所以我们需要找出哪个密度更大。

质量相同,体积不同。对于甲试管,直立,体积 ,其中 是底面积, 是高度。

对于乙试管,倾斜,体积 ,其中 是液体柱的长度,但由于倾斜,高度 和长度 不同。

设乙试管的倾斜角度为 ,那么液体柱长度 ,因为深度

体积

,因为直立。

现在,质量相同,所以

所以

简化,

两边同时除以 (假设 ),得到

因此,

由于 ,所以 ,当试管垂直时 ,但乙是倾斜的,所以 ,因此

压强

对于甲:

对于乙:

由于 ,所以 ,因此甲的压强更大。

但问题是,选项包括“甲更大”、“乙更大”、“一样大”或“不知道”。

根据以上,甲更大。

但让我检查是否有错误。

在公式中,,其中 h 是深度,两个试管中深度相同,因为液面高度相同,底部高度也相同。

但乙试管是倾斜的,液体的重量相同,但由于倾斜,力可能分布不同?不,压强是单位面积上的力。

液体对底部的压强应该是 ,其中 h 是深度,这应该是对的,因为它是流体静力学的基本原理。

另一种方式:压力 F = 重量 G = m g

但压强 p = F / A,其中 A 是底面积。

既然试管相同,底面积 A 相同。

重量 G 相同,因为质量相同,g 相同。

所以 F 相同,A 相同,因此 p 应该相同?

但这与之前的矛盾。

如果重量相同,底面积相同,那么压力相同,因此压强应该相同。

但根据密度公式,似乎不同。

哪里错了?

啊,我明白了。对于乙试管,由于是倾斜的,液体的重量是 mg,但作用在底部的力可能不是全部垂直向下,但试管是固定的,底部是水平的,所以液体的重量是由底部和侧壁共同支撑的。

在流体静力学中,对于静止液体,容器壁也会承担部分重量,但对于底部,压强是 ρgh,与容器的形状无关,只要底部是水平的。

是的,这是关键点:压强公式 p = ρgh 在静止流体中,在任意点只取决于深度,与容器形状无关。

所以,在底部,深度相同,但密度不同,所以压强不同。

但在我的第二种思路中,如果重量相同,面积相同,压力相同,但压强应该相同?不,压力 F 是总力,p 是单位面积力。

如果底面积相同,压力 F 相同,那么 p 相同。

但 F 是总重量吗?

对于甲试管,直立,重量完全由底部支撑,所以 F_甲 = G = mg。

对于乙试管,倾斜,重量也由底部和侧壁共同支撑。由于试管是锥形或类似形状,侧壁也会承担一部分重量。

因此,底部支撑的力小于总重量。

所以 F_乙 < G,而 F_甲 = G,因此即使 G 相同,F 也不同,所以 p 可能不同。

但根据流体静力学,压强在底部是 ρgh,所以对于相同深度,密度不同,压强就不同。

在乙试管中,由于是倾斜的,在底部点的深度和甲是一样的,所以 p 应该不同。

但让我们定量分析一下。

假设两个试管底面积都是 A。

对于甲:V_甲 = A * h,m = ρ_甲 * A * h,G = m g

F_甲 = G,因为底部支撑全部重量(假设侧壁垂直,不承重)。

对于乙:试管倾斜,设角度为 θ。

液体的体积 V_乙 = A * L,其中 L 是液体柱长度,且 h = L * sin(θ),所以 V_乙 = A * (h / sin(θ))

m = ρ_乙 * V_乙 = ρ_乙 * A * (h / sin(θ))

G = m g

现在,对于乙试管,由于是倾斜的,液体的重量由底部和侧壁共同支撑。试管是圆柱形的,所以侧壁是曲面。

对于圆柱形试管,当倾斜时,液体对底部的压力小于重量,因为部分重量由侧壁承担。

但压强 p = ρgh 在底部中心仍然成立。

实际上,在流体静力学中,压强公式 p = ρgh 是局部的,在深度 h 处,与容器是否倾斜无关。

所以对于两个试管,在底部,深度相同,所以 p = ρ g h。

因此 p 只取决于 ρ,因为 h 和 g 相同。

现在,由于液体种类不同,ρ 不同。

但质量相同,所以对于甲,V_甲 = m / ρ_甲

由于试管是直的,V_甲 = A * h,所以 m / ρ_甲 = A * h

对于乙,V_乙 = m / ρ_乙

但 V_乙 = A * L,且 h = L * sin(θ),所以 V_乙 = A * (h / sin(θ))

所以 m / ρ_乙 = A * (h / sin(θ))

但从甲可得,m / ρ_甲 = A * h

所以 (m / ρ_甲) / (m / ρ_乙) = (A h) / (A h / sin(θ)) = sin(θ)

所以 (1/ρ_甲) / (1/ρ_乙) * (ρ_乙 / ρ_甲) = sin(θ)?我们来写一下:

左边: (m / ρ_甲) / (m / ρ_乙) = ρ_乙 / ρ_甲

右边: (A h) / (A h / sin(θ)) = sin(θ)

所以 ρ_乙 / ρ_甲 = sin(θ)

因此 ρ_乙 = ρ_甲 * sin(θ)

由于 sin(θ) < 1(对于倾斜的试管),ρ_乙 < ρ_甲

因此 p_乙 = ρ_乙 g h < ρ_甲 g h = p_甲

所以 p_甲 > p_乙

因此,甲试管的压强更大。

但在选项中,A 是“甲更大”,B 是“乙更大”,C 是“一样大”,D 是“不知道”。

所以应该是 A。

但题目中说“液面等高”,在图片中,两个液面高度相同,但乙是倾斜的,所以液面是水平的,但试管是倾斜的。

在压强公式中,h 是深度,相同。

但直觉上,由于乙是倾斜的,液体“扩散”了,所以密度较小,但深度相同,所以压强较小。

由于质量相同但体积更大(对于相同的底面积,但乙在倾斜时底面积相同,但体积更大,因为长度更长),所以对于乙,V 更大,m 相同,所以 ρ 更小,因此 p = ρ g h 更小。

是的。

如果试管是相同的,但乙是倾斜的,所以对于相同的底面积,乙中的液体体积更大,因此密度更小,所以压强更小。

因此,甲更大。

但在题目中,它写的是“两只试管相同”,可能是指形状相同,但一个垂直,一个倾斜。

在图片中,甲是垂直的,乙是倾斜的,所以不是两者都垂直。

所以是的。

也许“相同”是指材料或厚度,但底面积可能相同。

我认为底面积是相同的。

所以,总结:对于甲,p_甲 = ρ_甲 g h

对于乙,p_乙 = ρ_乙 g h

由于 m 相同,V_乙 > V_甲(因为乙是倾斜的,所以对于相同的 A 和 h,V 更大),所以 ρ_乙 < ρ_甲,因此 p_乙 < p_甲。

因此,甲对底部的压强更大。

所以答案应该是 A,甲更大。

但让我确认一下选项。

A、甲更大

B、乙更大

C、一样大

D、不知道

所以是 A。

在最初的问题中,它写着“则:液体对试管底部的压强(?)”,然后列出选项。

所以我认为是 A。

但也许我漏掉了什么。

另一个想法:在压强公式中,对于乙,由于试管是倾斜的,底部的压强可能不是 ρgh,但根据标准物理,应该是。

例如,在一根倾斜的管子中,在相同深度,压强是一样的。

是的。

所以我认为这是正确的。

要解决这道物理题,需结合液体压强公式 和题目给定的条件分析,其中 为压强, 为液体密度, 为重力加速度, 为液面到底部的垂直深度。

步骤1:分析已知条件

  • 两只试管形状相同(底面积 相同)。
  • 液体种类不同(密度 不同)。
  • 液体质量相同)。
  • 液面等高(液体的自由表面在同一水平高度,且试管底部在同一水平面,因此液面到底部的垂直深度 相同,即 )。

步骤2:比较液体体积与密度

质量公式为 为液体体积),因此体积
由于质量 相同,密度 与体积 成反比 越大, 越小; 越小, 越大)。

观察试管状态:

  • 甲试管直立,体积 (底面积 乘高度 )。
  • 乙试管倾斜,设倾斜角为 ,则液体柱长度 (由几何关系,深度 ),因此体积

由于乙试管倾斜(),可得 (倾斜时,相同底面积和深度下,体积更大)。
结合 相同,由 可知:

步骤3:比较液体对底部的压强

液体压强公式为

  • 甲试管:
  • 乙试管:

由于 相同,且 ,因此 ,即甲试管底部受到的压强更大

结论

液体对试管底部的压强,甲更大。对应选项 A