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液体压强公式与密度关系解析
2025/08/11·StepFun can make mistakes, check important info.
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1. 解题的思考出发点 基本假设: 两试管置于同一均匀重力场中,即重力加速度 g 为恒量。 液体为不可压缩的理想流体。 基本原理: 静止液体内部压强公式:P=ρgh,其中 ρ 为液体密度,h 为液体深度。 密度定义式:ρ=Vm。 2. 问题分解与引导 分析压强公式变量: 题目要求比较两试管底部的压强 P甲 和 P乙。根据公式 P=ρgh,请分析该式中的三个变量 g、h 和 ρ 在甲、乙两种情况下的关系。哪些是已知的常量或等量?哪个是需要进一步探究的变量? 建立密度关系: 题目给出了关键条件:“液体种类不同,质量相同” (m甲=m乙)。请结合图示,判断两试管中液体体积 V甲 和 V乙 的大小关系。 基于体积关系和质量相等的前提,利用密度公式 ρ=Vm,推导出两种液体密度 ρ甲 和 ρ乙 的大小关系。 综合推导: 将你得出的密度关系代入第一步的压强公式分析中,最终确定 P甲 和 P乙 的关系。
Reason
思考过程

首先,问题是关于比较两个试管底部液体的压强。已知条件:两只试管相同(应该是底面积相同?),液体种类不同,质量相同,液面等高。选项是问哪个试管底部的压强大。

关键公式是液体压强公式:,其中 是液体密度, 是重力加速度(常量), 是液体深度。

从图中看,液面等高,所以深度 相同,因为试管底部到液面的高度是一样的。所以 也相同。那么压强的大小就取决于密度

现在,密度 和体积有关,因为密度 ,质量 相同(题目说质量相同),所以密度和体积成反比:质量相同,体积大的密度小,体积小的密度大。

看图片,甲试管的液体体积大,乙试管的液体体积小。因为甲试管的液面高度和乙相同,但甲试管是竖直的,乙试管是倾斜的。所以,尽管液面高度相同(深度相同),但液体的体积不同。

在甲试管中,液体是竖直的柱体,所以体积

在乙试管中,试管是倾斜的,所以液体的体积不是底面积乘高度,因为高度是竖直高度,但液体在倾斜试管中会铺开。

实际上,对于静止液体,压强只取决于深度 (从液面到点的竖直距离),而不取决于试管的形状或倾斜程度。这是液体压强的基本原理。

所以,既然液面等高,意味着深度 相同,那么压强应该只取决于 ,但 不同。

但质量相同,密度不同,所以体积不同。

在乙试管中,由于倾斜,相同体积的液体会有更低的液面?不,这里液面是等高的。

看图片:两个试管的液面在同一水平线上,所以深度 相同。

现在,质量 相同。

密度 ,所以体积 和密度成反比。

在甲试管中,试管竖直,所以体积 ,其中 是底面积。

在乙试管中,试管倾斜,所以液体的体积不是 ,因为倾斜时,液体在试管中占据的长度更长,但横截面积相同(假设试管均匀)。

假设两只试管相同,意思是底面积相同,形状可能不同,但这里乙是倾斜的。

对于倾斜的试管,液体的体积可以计算为:如果试管是圆柱形的,倾斜时,液体体积是底面积乘上液体柱的竖直高度,因为压强基于竖直深度。

实际上,无论试管是否倾斜,只要液面高度相同,深度就相同,压强公式 仍然适用,其中 是竖直深度。

所以,对于乙试管,尽管倾斜,但液面深度 相同,所以 取决于 .

不同,因为质量相同,体积不同。

在甲中,体积 (因为竖直)。

在乙中,由于倾斜,相同底面积下,液体体积更小? 让我们思考。

假设试管是圆柱形,底面积 S。

在甲中,竖直,液面高度 h,体积 V甲 = S * h。

在乙中,倾斜,液面高度相同 h(竖直高度),但由于倾斜,液体在试管中占据的长度 L 比 h 大,因为倾斜。

体积 V乙 = S * L,其中 L 是液体柱的长度沿试管方向。

但竖直高度是 h,所以 L > h,因为倾斜。

所以 V乙 = S * L > S * h = V甲。

因此,V乙 > V甲。

但质量 m 相同,所以密度 ρ = m/V,因此 V 大的密度小,所以 ρ乙 < ρ甲。

因为 V乙 > V甲,m 相同,所以 ρ乙 < ρ甲。

然后压强 P = ρ g h。

h 相同,g 相同,ρ甲 > ρ乙,所以 P甲 > P乙。

所以甲更大。

选项:A、甲更大;B、乙更大;C、一样大;D、不知道。

所以应该是 A。

但让我确认。

或许我错了。

另一个方式:液体对试管底部的压强。

在乙中,由于倾斜,底部可能支持力不同,但压强是液体内部的压强。

问题说“液体对试管底部的压强”,所以是试管底部受到的液体压强。

在静止液体中,压强只取决于深度,所以同深度,压强应该只取决于密度。

但这里密度不同。

质量相同,但体积不同,导致密度不同。

在图片中,乙试管的液面等高,但体积小? 不,从图中看,乙试管的液体看起来体积小。

看图片:甲是满的竖直试管,乙是倾斜的试管,但液面高度相同。

在倾斜试管中,如果液面高度相同,但试管倾斜,所以实际液体体积较小,因为液体柱短。

例如,假设试管底面积相同。

在甲,竖直,高度 h,体积 V甲 = S h。

在乙,倾斜角度 θ,液面竖直高度 h,那么液体柱的长度 L = h / sinθ,如果试管是均匀的。

体积 V乙 = S * L = S * (h / sinθ) > S h = V甲,因为 sinθ < 1。

所以 V乙 > V甲。

但质量 m 相同,所以 ρ乙 = m / V乙 < m / V甲 = ρ甲,因为 V乙 > V甲。

因此 ρ乙 < ρ甲。

然后 P = ρ g h,h 相同,所以 P甲 = ρ甲 g h > ρ乙 g h = P乙,所以甲更大。

但选项中有“C、一样大”,但这里密度不同,所以不一样。

或许有人误解,认为液面等高,所以压强相同,但忽略了密度不同。

但密度不同是因为质量相同但体积不同。

题目说“液体种类不同,质量相同”,种类不同意味着密度可能不同,但这里通过体积不同来体现。

在乙中,体积大,所以密度小。

但压强公式中,h 是相同的,所以 P 与 ρ 成正比。

所以 P甲 更大。

但让我看选项,A 是甲更大。

或许有人以为在倾斜试管中,压强不同。

但根据流体静力学,压强只取决于竖直深度。

所以我认为 A 正确。

但题目是“易错题”,可能有些陷阱。

另一个想法:试管底部是平的还是什么?但假设是平的,压强均匀。

或许在倾斜试管中,底部受力面积不同,但压强是压力除以面积,但压力取决于压强和面积,但问题问的是压强,不是压力。

问题:“液体对试管底部的压强”,所以是压强,不是总压力。

压强是单位面积上的力,所以对于给定点,压强只取决于深度。

在底部,同深度,但密度不同。

所以 P 不同。

或许对于乙试管,由于倾斜,底部点的深度不同?但底部是平面,假设试管是圆柱形,底部是平的,那么各点深度不同,但底部中心的深度是 h,同甲一样。

通常,我们考虑底部中心的深度。

在图片中,液面等高,所以底部深度相同。

所以我认为 P甲 > P乙。

所以答案应该是 A。

但让我检查是否有错误。

质量相同:m甲 = m乙。

体积:V甲 = S h(甲竖直)

V乙:对于倾斜试管,体积是 S * (h / sinθ) 或类似,但总之 V乙 > V甲,如果倾斜。

在图片中,乙试管倾斜,所以 V乙 更大。

但密度 ρ = m/V,所以 ρ乙 < ρ甲。

P = ρ g h,h 相同,g 相同,所以 P甲 > P乙。

因此,甲更大。

选项:A. 甲更大

所以我认为正确。

但题目是“易错题”,可能常见错误是认为液面等高,压强就相同,忽略密度差异。

或者误以为体积相同。

但这里质量相同,体积不同。

所以最终答案应该是 A。

解题过程

要解决这个问题,需结合液体压强公式密度公式,分析已知条件,逐步推导。以下是详细步骤:

1. 明确液体压强公式和关键变量

液体压强的计算公式为:

其中:

  • 是压强
  • 是液体密度
  • 是重力加速度(常量,约 9.8 m/s²)
  • 是液体的竖直深度(从液面到点的竖直距离)

问题要求比较两试管底部液体的压强 。根据公式,压强取决于

2. 分析已知条件和等量关系

  • 已知条件

    • 两只试管相同:假设试管为均匀圆柱形,底面积相同(记为 )。
    • 液体种类不同,质量相同:
    • 液面等高:从图片看,两试管液面处于同一水平线,因此液体深度相同,即
    • 是常量,相同。
  • 等量关系

    • 深度 相同()。
    • 质量 相同()。
    • 相同。
  • 需要探究的变量:密度 。因为 成正比(当 固定时)。

3. 推导密度关系

密度公式为:

其中 是液体体积。

  • 对于甲试管(竖直放置):
    液体形成竖直柱体,体积 (底面积 乘深度 )。

  • 对于乙试管(倾斜放置):
    试管倾斜,但液面深度仍为 (竖直高度相同)。由于试管倾斜,液体沿试管方向的长度 大于竖直深度 (即 )。因此,体积
    从图片看,乙试管倾斜角度 ,sinθ < 1),所以 ,因此:

质量 相同(),密度与体积成反比:

因为 ,所以:

4. 综合推导压强关系

将密度关系代入压强公式:

由于 相同,且 ,因此:

5. 结论

液体对试管底部的压强,甲试管更大。

最终答案

A、甲更大

易错点分析

  • 常见错误:误认为液面等高( 相同)就直接得出压强相同(选项 C),忽略了密度差异。
  • 另一个错误:可能误判体积关系。例如,认为倾斜试管中液体体积更小(从图片直观感受),但实际由于倾斜,相同深度下体积更大(如计算所示),导致密度更小,压强更小。
  • 正确思路:牢记液体压强只取决于竖直深度 和密度 ,需结合质量相同和体积关系推导密度。