首先，题目给出分段函数：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(a-2)x+3,& x\le 1\\ \frac{2a}{x},& x>1\end{array}$

要求在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是减函数（即单调递减函数），求参数 $a$ 的取值范围。选项为 A. $(0,1)$，B. $(0,1]$，C. $(1,2)$，D. $[1,2)$。

步骤1：理解“减函数”的定义

减函数的定义是：对定义域内任意 $x_1<x_2$，都有 $f(x_1)\ge f(x_2)$（严格减函数则为 $f(x_1)>f(x_2)$，但题目未明确“严格”，需考虑非严格减）。但结合选项和常见考法，这里默认要求严格减函数（即 $f(x_1)>f(x_2)$ 当 $x_1<x_2$），因为非严格减的约束更宽松，而选项更偏向严格减的约束。

步骤2：分段函数的单调性要求

分段函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递减，需满足三个条件：

1. 每一段内部单调递减；
2. 分段点 $x=1$ 处的函数值连续性（或左极限不小于右极限，保证整体单调性）；
3. 分段点左侧的函数值不小于右侧的函数值（即 $f(1)\ge f(1^{+})$，其中 $f(1^{+})$ 是 $x=1$ 处的右极限）。

步骤3：分析每一段内部的单调性

（1）左侧段：$x\le 1$ 时，$f(x)=(a-2)x+3$

这是一个一次函数，其单调性由斜率 $k=a-2$ 决定：

• 若 $k<0$，则一次函数单调递减；
• 若 $k=0$，则函数为常函数（不满足严格减）；
• 若 $k>0$，则函数单调递增（不满足减函数要求）。

因此，左侧段单调递减的充要条件是：

$a-2<0⟹a<2$

（2）右侧段：$x>1$ 时，$f(x)=\frac{2a}{x}$

这是一个反比例函数，其单调性由系数 $2a$ 的符号决定：

• 对 $x>1$，$\frac{1}{x}$ 是单调递减的正函数（因为 $x$ 增大时，$\frac{1}{x}$ 减小）。
• 因此，$\frac{2a}{x}$ 的单调性取决于 $2a$ 的符号：
  • 若 $2a>0$（即 $a>0$），则 $\frac{2a}{x}$ 随 $x$ 增大而单调递减；
  • 若 $2a=0$（即 $a=0$），则 $f(x)=0$（常函数，不满足严格减）；
  • 若 $2a<0$（即 $a<0$），则 $\frac{2a}{x}$ 随 $x$ 增大而单调递增（不满足减函数要求）。

因此，右侧段单调递减的充要条件是：

$2a>0⟹a>0$

步骤4：分析分段点 $x=1$ 处的函数值关系

（1）计算分段点的函数值与极限值

• 左侧在 $x=1$ 处的函数值：$f(1)=(a-2)\times 1+3=a+1$；
• 右侧在 $x=1$ 处的右极限：${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2a}{x}=2a$（因为 $x>1$ 时函数连续）。

（2）保证整体单调性的条件

对于任意 $x_1<1<x_2$，要满足 $f(x_1)\ge f(x_2)$，特别地，当 $x_1=1$、$x_2\to 1^{+}$ 时，需满足：

$f(1)\ge {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)⟹a+1\ge 2a$

解这个不等式：

$a+1\ge 2a⟹1\ge a⟹a\le 1$

步骤5：综合所有条件

将每一步的约束条件结合：

1. 左侧段单调递减：$a<2$；
2. 右侧段单调递减：$a>0$；
3. 分段点处函数值关系：$a\le 1$。

取这三个条件的交集：

$0<a\le 1$

步骤6：验证选项

选项 B 是 $(0,1]$，与推导结果一致。

最终结论

$a$ 的取值范围是 $(0,1]$，对应选项 B。