首先，分析分段函数 $f(x)$ 的定义：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}+2020,& x\le 0\\ 2021,& x>0\end{array}$

步骤1：分析 $f(x^2-3)$ 和 $f(-2x)$ 的表达式

要解 $f(x^2-3)\le f(-2x)$，需先确定 $x^2-3$ 和 $-2x$ 所在的区间（因为 $f(x)$ 的分段由 $x\le 0$ 或 $x>0$ 决定）。

（1）分析 $f(x^2-3)$

$x^2-3$ 的符号由 $x^2$ 与 3 的大小决定：

• 当 $x^2-3\le 0$（即 $|x|\le \sqrt{3}$）时，$f(x^2-3)=e^{-(x^2-3)}+2020$；
• 当 $x^2-3>0$（即 $|x|>\sqrt{3}$）时，$f(x^2-3)=2021$。

（2）分析 $f(-2x)$

$-2x$ 的符号由 $x$ 的正负决定：

• 当 $-2x\le 0$（即 $x\ge 0$）时，$f(-2x)=e^{-(-2x)}+2020=e^{2x}+2020$；
• 当 $-2x>0$（即 $x<0$）时，$f(-2x)=2021$。

步骤2：分情况讨论不等式 $f(x^2-3)\le f(-2x)$

根据 $x$ 的正负和 $x^2-3$ 的符号，将 $x$ 分为 $x<0$、$0\le x\le \sqrt{3}$、$x>\sqrt{3}$ 三类，分别分析：

情况1：$x<0$

此时 $-2x>0$（因 $x$ 负，$-2x$ 正），故 $f(-2x)=2021$。

对于 $f(x^2-3)$：

• 若 $|x|>\sqrt{3}$（即 $x<-\sqrt{3}$），则 $x^2-3>0$，$f(x^2-3)=2021$；
• 若 $|x|\le \sqrt{3}$（即 $-\sqrt{3}\le x<0$），则 $x^2-3\le 0$，$f(x^2-3)=e^{-(x^2-3)}+2020$。

子情况1.1：$x<-\sqrt{3}$

$f(x^2-3)=2021$，$f(-2x)=2021$，不等式 $2021\le 2021$ 恒成立，故 $x<-\sqrt{3}$ 是解。

子情况1.2：$-\sqrt{3}\le x<0$

$f(x^2-3)=e^{-(x^2-3)}+2020$，$f(-2x)=2021$，需满足：

$e^{-(x^2-3)}+2020\le 2021$

化简得：

$e^{-(x^2-3)}\le 1$

因指数函数 $e^t$ 单调递增，故 $-(x^2-3)\le 0$，即 $x^2\ge 3$。但此子情况中 $|x|\le \sqrt{3}$，即 $x^2\le 3$，仅当 $x^2=3$ 时等式成立。

$x<0$，故 $x=-\sqrt{3}$。此时 $f(x^2-3)=e^0+2020=2021$，$f(-2x)=2021$，满足 $2021\le 2021$。因此，$x=-\sqrt{3}$ 是解。

情况2：$0\le x\le \sqrt{3}$

此时 $-2x\le 0$（因 $x\ge 0$，$-2x\le 0$），故 $f(-2x)=e^{2x}+2020$。

对于 $f(x^2-3)$：
因 $0\le x\le \sqrt{3}$，则 $x^2\le 3$，故 $x^2-3\le 0$，$f(x^2-3)=e^{-(x^2-3)}+2020$。

不等式变为：

$e^{-(x^2-3)}+2020\le e^{2x}+2020$

两边消去2020，得：

$e^{-(x^2-3)}\le e^{2x}$

因指数函数单调递增，故：

$-(x^2-3)\le 2x$

化简得：

$x^2+2x-3\ge 0$

解二次不等式 $x^2+2x-3\ge 0$，因式分解为 $(x+3)(x-1)\ge 0$，解得 $x\le -3$ 或 $x\ge 1$。

但此情况中 $0\le x\le \sqrt{3}$（$\sqrt{3}\approx 1.732$），故 $x\ge 1$ 且 $x\le \sqrt{3}$，即 $1\le x\le \sqrt{3}$。

情况3：$x>\sqrt{3}$

此时 $x^2-3>0$，故 $f(x^2-3)=2021$；
又 $x>0$，故 $-2x<0$，$f(-2x)=e^{2x}+2020$。

不等式变为：

$2021\le e^{2x}+2020$

化简得：

$e^{2x}\ge 1$

因指数函数单调递增，故 $2x\ge 0$，即 $x\ge 0$，此情况中 $x>\sqrt{3}$ 已满足，故 $x>\sqrt{3}$ 是解。

步骤3：合并所有解集

综合三类情况的解：

• 情况1：$x<-\sqrt{3}$ 或 $x=-\sqrt{3}$；
• 情况2：$1\le x\le \sqrt{3}$；
• 情况3：$x>\sqrt{3}$。

合并后，解集为 $x\le -\sqrt{3}$ 或 $x\ge 1$。

最终结论

满足 $f(x^2-3)\le f(-2x)$ 的 $x$ 的取值集合为 $(-\infty ,-\sqrt{3}]\cup [1,+\infty )$。

$\boxed{(-\infty ,-\sqrt{3}]\cup [1,+\infty )}$