首先，理解题目中的“DK”性质：函数 $f(x)$ 在区间 $[m,n]$（$m<n$）上的最小值为 $t$，若 $t\le m$ 恒成立，则称 $f(x)$ 在该区间上具有“DK”性质。

（1）判断 $f(x)=x^2-2x+2$ 在 $[1,2]$ 上是否具有“DK”性质

步骤1：求函数在 $[1,2]$ 上的最小值 $t$
函数 $f(x)=x^2-2x+2$ 是开口向上的二次函数（二次项系数 $a=1>0$），其对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$。

• 对称轴 $x=1$ 在区间 $[1,2]$ 的左端点，因此函数在 $[1,2]$ 上单调递增（开口向上，对称轴左侧递减，右侧递增，此处对称轴是区间左端点，故整个区间单调递增）。
• 单调递增区间的最小值在左端点 $x=1$ 处取得，计算得：

$f(1)=1^2-2\times 1+2=1-2+2=1$

因此，区间 $[1,2]$ 上的最小值 $t=1$。

步骤2：验证 $t\le m$ 是否成立
区间 $[m,n]$ 中 $m=1$，需判断 $t\le m$ 即 $1\le 1$ 是否成立。
由于 $1\le 1$ 恒成立，因此函数 $f(x)=x^2-2x+2$ 在 $[1,2]$ 上具有“DK”性质。

（2）若 $f(x)=x^2-ax+2$ 在 $[a,a+1]$ 上具有“DK”性质，求 $a$ 的取值范围

步骤1：分析二次函数的基本性质
函数 $f(x)=x^2-ax+2$ 是开口向上的二次函数（$a^2>0$），对称轴为 $x=\frac{a}{2}$。

步骤2：求区间 $[a,a+1]$ 上的最小值 $t$
区间长度为1，对称轴 $x=\frac{a}{2}$ 的位置决定了最小值点（左端点、对称轴、右端点）。分三种情况讨论：

情况1：对称轴在区间左侧（$\frac{a}{2}\le a$）

解不等式 $\frac{a}{2}\le a$，得 $a\ge 0$。
此时，函数在 $[a,a+1]$ 上单调递增（开口向上，对称轴左侧递减，右侧递增，此处对称轴在区间左侧，故整个区间单调递增），最小值在左端点 $x=a$ 处，即：

$t=f(a)=a^2-a\cdot a+2=2$

情况2：对称轴在区间内（$a\le \frac{a}{2}\le a+1$）

解不等式组：

• $a\le \frac{a}{2}$ 得 $a\le 0$；
• $\frac{a}{2}\le a+1$ 得 $a\ge -2$。
  因此，$a\in [-2,0]$。
  此时，函数在 $[a,a+1]$ 上的最小值在对称轴 $x=\frac{a}{2}$ 处，即：

$t=f\left(\frac{a}{2}\right)={\left(\frac{a}{2}\right)}^2-a\cdot \frac{a}{2}+2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+2=-\frac{a^2}{4}+2$

情况3：对称轴在区间右侧（$\frac{a}{2}\ge a+1$）

解不等式 $\frac{a}{2}\ge a+1$，得 $a\le -2$。
此时，函数在 $[a,a+1]$ 上单调递减（开口向上，对称轴在区间右侧，故整个区间单调递减），最小值在右端点 $x=a+1$ 处，即：

$t=f(a+1)=(a+1{)}^2-a(a+1)+2=a^2+2a+1-a^2-a+2=a+3$

步骤3：根据“DK”性质 $t\le m$ 列不等式求解
区间 $[m,n]$ 中 $m=a$，需满足 $t\le a$，分情况讨论：

情况1：$a\ge 0$，$t=2$

不等式 $2\le a$ 即 $a\ge 2$。
结合前提 $a\ge 0$，得 $a\ge 2$。

情况2：$a\in [-2,0]$，$t=-\frac{a^2}{4}+2$

不等式 $-\frac{a^2}{4}+2\le a$，整理得：

$a^2+4a-8\ge 0$

解二次不等式 $a^2+4a-8\ge 0$，求根得：

$a=\frac{-4\pm \sqrt{16+32}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}}{2}=-2\pm 2\sqrt{2}$

二次函数 $a^2+4a-8$ 开口向上，因此解集为 $a\le -2-2\sqrt{2}$ 或 $a\ge -2+2\sqrt{2}$。
结合前提 $a\in [-2,0]$，$-2+2\sqrt{2}\approx 0.828$ 在 $[0,0]$ 外，无交集，故此情况无解。

情况3：$a\le -2$，$t=a+3$

不等式 $a+3\le a$，化简得 $3\le 0$，显然不成立，故此情况无解。

步骤4：合并所有解

仅情况1有解，即 $a\ge 2$。

最终答案

（1）函数 $f(x)=x^2-2x+2$ 在 $[1,2]$ 上具有“DK”性质；
（2）$a$ 的取值范围为 $[2,+\infty )$。

$\boxed{[2,+\infty )}$