因式分解(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x²

2025/08/19·StepFun can make mistakes, check important info.

因式分解(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^2

Reason

思考过程

首先，问题是因式分解： $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ 。我需要将这个多项式分解成更简单的因式。

观察表达式： $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ 。直接展开这四个一次项相乘会很麻烦，所以我应该寻找一种更聪明的方法。

注意到这些项： $x + 1$ , $x + 2$ , $x + 3$ , $x + 6$ 。让我看看它们之间的关系。例如， $(x + 1) + (x + 6) = 2 x + 7$ ，而 $(x + 2) + (x + 3) = 2 x + 5$ ，这似乎没有直接帮助。

或许我可以分组配对。常见的策略是将四个因式分成两组，每组两个，然后相乘。

试试配对： $(x + 1)$ 和 $(x + 6)$ ，以及 $(x + 2)$ 和 $(x + 3)$ 。

计算： $(x + 1) (x + 6) = x^{2} + 6 x + x + 6 = x^{2} + 7 x + 6$

类似地， $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6$

所以表达式变成了： $(x^{2} + 7 x + 6) (x^{2} + 5 x + 6) + x^{2}$

现在，我有一个两个二次项的乘积，再加上 $x^{2}$ 。这看起来还是有点复杂。

设 $a = x^{2} + 6 x + 6$ ，但等等，两个二次项都有常数项6，但一次项系数不同。

注意两个二次项： $x^{2} + 7 x + 6$ 和 $x^{2} + 5 x + 6$ 。它们都有 $x^{2} + 6$ 部分。

设 $u = x^{2} + 6$ ，那么第一个是 $u + 7 x$ ，第二个是 $u + 5 x$ 。

所以乘积是： $(u + 7 x) (u + 5 x) = u^{2} + 5 ux + 7 ux + 35 x^{2} = u^{2} + 12 ux + 35 x^{2}$

但 $u = x^{2} + 6$ ，所以代入：

$(x^{2} + 6)^{2} + 12 x (x^{2} + 6) + 35 x^{2} + x^{2}$ ？等等，不对。

原始表达式是 $(x^{2} + 7 x + 6) (x^{2} + 5 x + 6) + x^{2}$ ，而我有 $(u + 7 x) (u + 5 x) = u^{2} + 12 ux + 35 x^{2}$ ，然后加上 $x^{2}$ ，所以总表达式是：

$u^{2} + 12 ux + 35 x^{2} + x^{2} = u^{2} + 12 ux + 36 x^{2}$

现在， $u = x^{2} + 6$ ，所以：

$(x^{2} + 6)^{2} + 12 x (x^{2} + 6) + 36 x^{2}$

这看起来很熟悉；它像一个完全平方。

回忆 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ 。

在这里，我有 $x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x (x^{2} + 6) + ...$ 等等，最好展开所有内容。

所以， $u^{2} = (x^{2} + 6)^{2} = x^{4} + 12 x^{2} + 36$

$12 ux = 12 x (x^{2} + 6) = 12 x^{3} + 72 x$

而 $36 x^{2}$ 是来自之前的。

总表达式： $u^{2} + 12 ux + 36 x^{2} = (x^{4} + 12 x^{2} + 36) + (12 x^{3} + 72 x) + 36 x^{2} = x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x^{2} + 72 x + 36$ ？等等。

列出所有项：

从 $u^{2}$ ： $x^{4} + 12 x^{2} + 36$

从 $12 ux$ ： $12 x^{3} + 72 x$

从 $36 x^{2}$ ： $36 x^{2}$

所以总和： $x^{4} + 12 x^{3} + (12 x^{2} + 36 x^{2}) + 72 x + 36 = x^{4} + 12 x^{3} + 48 x^{2} + 72 x + 36$

但原始表达式是 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ ，我应该验证一下这个展开是否正确。

或许有更好的方法。回到配对。

我注意到 $(x + 1)$ 和 $(x + 6)$ 的和是 $2 x + 7$ ， $(x + 2)$ 和 $(x + 3)$ 的和是 $2 x + 5$ ，但不确定。

另一个想法：将项移位，使它们对称。例如，看到 1,2,3,6，平均数是 (1+2+3+6)/4 = 12/4=3，所以也许设 $y = x + 3$ ，使表达式关于 y 对称。

设 $y = x + 3$ ，那么：

$x + 1 = y - 2$

$x + 2 = y - 1$

$x + 3 = y$

$x + 6 = y + 3$

所以表达式变成： $(y - 2) (y - 1) y (y + 3) + (y - 3)^{2}$ ，因为 $x = y - 3$ ，所以 $x^{2} = (y - 3)^{2}$

原始： $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2} = (y - 2) (y - 1) y (y + 3) + (y - 3)^{2}$

现在， $(y - 2) (y - 1) y (y + 3)$ ，我可以配对为 $[(y - 2) (y + 3)]$ 和 $[(y - 1) y]$

计算： $(y - 2) (y + 3) = y^{2} + 3 y - 2 y - 6 = y^{2} + y - 6$

$(y - 1) y = y^{2} - y$

所以乘积： $(y^{2} + y - 6) (y^{2} - y)$

注意 $(y^{2} + y - 6) (y^{2} - y) = (y^{2} - y) (y^{2} + y - 6)$

设 $z = y^{2} - y$ ，但也许直接相乘。

$(y^{2} - y) (y^{2} + y - 6) = y^{2} (y^{2} + y - 6) - y (y^{2} + y - 6) = y^{4} + y^{3} - 6 y^{2} - y^{3} - y^{2} + 6 y = y^{4} - 7 y^{2} + 6 y$

计算：

$y^{2} \times y^{2} = y^{4}$

$y^{2} \times y = y^{3}$

$y^{2} \times (- 6) = - 6 y^{2}$

然后 $- y \times y^{2} = - y^{3}$

$- y \times y = - y^{2}$

$- y \times (- 6) = 6 y$

所以总和： $y^{4} + y^{3} - 6 y^{2} - y^{3} - y^{2} + 6 y = y^{4} + (y^{3} - y^{3}) + (- 6 y^{2} - y^{2}) + 6 y = y^{4} - 7 y^{2} + 6 y$

是的。

所以， $(y - 2) (y - 1) y (y + 3) = y^{4} - 7 y^{2} + 6 y$

然后整个表达式是这个加上 $(y - 3)^{2} = y^{2} - 6 y + 9$

所以总表达式： $y^{4} - 7 y^{2} + 6 y + y^{2} - 6 y + 9 = y^{4} - 6 y^{2} + 9$

哦！太好了！所以是 $y^{4} - 6 y^{2} + 9$

现在，这是一个关于 y 的多项式，而且很容易因式分解。

$y^{4} - 6 y^{2} + 9 = (y^{2})^{2} - 2 \times 3 \times y^{2} + 3^{2} = (y^{2} - 3)^{2}$

完全平方。

所以， $(y^{2} - 3)^{2}$

现在，回忆 $y = x + 3$ ，所以代回：

$((x + 3)^{2} - 3)^{2}$

计算 $(x + 3)^{2} - 3 = x^{2} + 6 x + 9 - 3 = x^{2} + 6 x + 6$

所以，整个表达式是 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$

但这是因式分解吗？它是一个平方，但也许可以进一步分解，如果可能的话。

在实数范围内， $x^{2} + 6 x + 6$ 的判别式是 $36 - 24 = 12 > 0$ ，所以它可以分解为 $(x + 3 - 3) (x + 3 + 3)$ ，但通常因式分解意味着在有理数或整数上，有有理系数。

问题只是说“因式分解”，没有指定数域，但通常在这种语境中，我们考虑有理系数。

$x^{2} + 6 x + 6$ 的根是 $\frac{- 6 \pm 36 - 24}{2} = \frac{- 6 \pm 12}{2} = \frac{- 6 \pm 2 3}{2} = - 3 \pm 3$ ，不是有理数，所以也许就保留为 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 。

但让我确认这是否正确。

原始表达式： $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$

根据以上，应该是 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$

让我用一个数值验证一下。

设 x=0：左边： $(1) (2) (3) (6) + 0 = 36$

右边： $(0 + 0 + 6)^{2} = 36$ ，正确。

x=1：左边： $(2) (3) (4) (7) + 1 = 2 * 3 = 6 ， 6 * 4 = 24 ， 24 * 7 = 168 ， + 1 = 169$

右边： $(1 + 6 + 6)^{2} = 1 3^{2} = 169$ ，正确。

x=-1：左边： $(0) (1) (2) (5) + 1 = 0 + 1 = 1$

右边： $(1 - 6 + 6)^{2} = (1)^{2} = 1$ ，正确。

x=-2：左边： $(- 1) (0) (1) (4) + 4 = 0 + 4 = 4$

右边： $(4 - 12 + 6)^{2} = (- 2)^{2} = 4$ ，正确。

x=-3：左边： $(- 2) (- 1) (0) (3) + 9 = 0 + 9 = 9$

右边： $(9 - 18 + 6)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ ，正确。

所以，它等于 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$

现在，为了因式分解，由于它是一个平方，我可以写成 $[(x^{2} + 6 x + 6)]^{2}$ ，但也许他们想要完全分解成线性因式，但正如我们看到的，它需要无理数。

在上下文中，可能 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 是可接受的，或者我可以写成 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 。

但让我看看是否可以写成两个因式的乘积。

由于它是平方，所以是 $(a)^{2} ，其中 a = x^{2} + 6 x + 6$ 。

但 a 本身不能在线性有理系数下分解。

也许我可以在不引入 y 的情况下做到这一点。

另一个方式：注意到在原始配对中，我有 $(x^{2} + 7 x + 6) (x^{2} + 5 x + 6) + x^{2}$

而之前我得到了 $u^{2} + 12 ux + 36 x^{2} ，其中 u = x^{2} + 6$ ，即 $(x^{2} + 6)^{2} + 12 x (x^{2} + 6) + (6 x)^{2}$ ，等等。

$u^{2} + 12 ux + 36 x^{2} = (u + 6 x)^{2}$ ，因为 ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，这里 a=u，b=6x，所以 2ab=2u6x=12u x，是的。

所以 $(u + 6 x)^{2} = (x^{2} + 6 + 6 x)^{2} = (x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ ，和之前一样。

所以，因式分解形式是 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$

也许他们想要展开或写成其他形式，但我觉得这样就可以了。

为了更简洁，但我觉得这样没问题。

所以，因式分解是 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$

但为了确认，在答案中，也许我应该写出来。

或者，由于它是平方，但仍然是一个因式。

另一个想法：也许可以写成 $(x^{2} + 6 x + 6) (x^{2} + 6 x + 6)$ ，但这是重复的。

我认为 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 是标准形式。

也许他们想分成线性因式，但那样会有无理数。

例如， $x^{2} + 6 x + 6 = (x + 3 - 3) (x + 3 + 3)$ ，所以整个是 $[(x + 3 - 3) (x + 3 + 3)]^{2} = (x + 3 - 3)^{2} (x + 3 + 3)^{2}$ ，但这可能太复杂了。

我认为对于大多数目的， $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 是合适的。

所以，我会把这个作为答案。

但让我再检查一下原始表达式。

原始表达式是 (x+1)(x+2)(x+3)(x+6) + x^2

而我得到 (x^2 + 6x + 6)^2

x^2 + 6x + 6 在 x=0 时是 6，平方是 36，匹配。

也许我可以写成 \left( x^2 + 6x + 6 \right)^2

在答案框中。

但题目是中文的，但我觉得没问题。

也许他们想要没有平方的形式，但那样就不是因式分解了。

另一个想法：也许可以因式分解成二次式，但它已经是一个二次式的平方。

或者我可以考虑是否还有其他方法。

假设我考虑 (x+1)(x+6) 和 (x+2)(x+3)，就像我之前做的那样。

(x+1)(x+6) = x^2 + 7x + 6

(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6

设 a = x^2 + 6x + 6，那么 x^2 + 7x + 6 = a + x，因为 a + x = x^2 + 6x + 6 + x = x^2 + 7x + 6

类似地，x^2 + 5x + 6 = a - x，因为 a - x = x^2 + 6x + 6 - x = x^2 + 5x + 6

哦！所以 (x^2 + 7x + 6) = a + x，且 (x^2 + 5x + 6) = a - x

所以乘积 (a + x)(a - x) = a^2 - x^2

那么整个表达式是 (a + x)(a - x) + x^2 = a^2 - x^2 + x^2 = a^2

所以确实是 a^2，其中 a = x^2 + 6x + 6

所以，毫无疑问，它是 (x^2 + 6x + 6)^2

所以，因式分解形式就是 (x^2 + 6x + 6)^2

我认为这就是答案。

要因式分解表达式 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ ，可以通过代数操作将其简化为一个完全平方。

首先，将四个一次项配对：

$(x + 1) (x + 6) = x^{2} + 7 x + 6$
$(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$

于是原表达式变为：

$(x^{2} + 7 x + 6) (x^{2} + 5 x + 6) + x^{2}$

设 $a = x^{2} + 6 x + 6$ ，则：

$x^{2} + 7 x + 6 = a + x$
$x^{2} + 5 x + 6 = a - x$

代入后：

$(a + x) (a - x) + x^{2} = a^{2} - x^{2} + x^{2} = a^{2}$

其中 $a = x^{2} + 6 x + 6$ ，因此：

$a^{2} = (x^{2} + 6 x + 6)^{2}$

验证：当 $x = 0$ 时，原表达式为 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 + 0^{2} = 36$ ，而 $(0 + 0 + 6)^{2} = 36$ ；当 $x = 1$ 时，原表达式为 $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 + 1^{2} = 169$ ，而 $(1 + 6 + 6)^{2} = 1 3^{2} = 169$ ，均一致。

因此，因式分解结果为：

$\boxed{(x^{2} + 6x + 6)^{2}}$

该表达式已为完全平方形式，且 $x^{2} + 6 x + 6$ 在有理数范围内不可进一步分解（判别式为 $6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 12$ ，非完全平方）。