因式分解(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x²

2025/08/22·StepFun can make mistakes, check important info.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^2，因式分解

（舞台中央，一位中年数学教授，名为李明，正在他的书房中，此时，一位年轻学生张华敲门进入。）

张华: 李教授，您好！我最近遇到了一个因式分解的难题，希望您能帮我解决。问题是因式分解表达式 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ 。

李明: 嗯，张华，因式分解是代数中的一个重要技巧。你先把这个表达式写下来，我们一起分析。所以我们要分解的表达式是 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ 。

首先，我们可以尝试重新排列和分组这些项，看看能否发现一些模式。注意这些括号里的项，它们是等差数列的相邻项，可以尝试将它们配对，比如将第一个和最后一个配对，第二个和倒数第二个配对。

张华: 好的，李教授。那我们这样配对试试。我们将 $(x + 1)$ 和 $(x + 6)$ 一对， $(x + 2)$ 和 $(x + 3)$ 一对。因此，表达式可以重写为：

$[(x + 1) (x + 6)] [(x + 2) (x + 3)] + x^{2}$

李明: 很好，张华。接下来，我们分别计算每一对的乘积。先看第一对 $(x + 1) (x + 6)$ ：

$(x + 1) (x + 6) = x^{2} + 6 x + x + 6 = x^{2} + 7 x + 6$

再看第二对 $(x + 2) (x + 3)$ ：

$(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6$

因此，原表达式变为：

$(x^{2} + 7 x + 6) (x^{2} + 5 x + 6) + x^{2}$

张华: 接下来，李教授，我们应该如何处理这个乘积再加上 $x^{2}$ 的情况呢？

李明: 你提的问题很好。我们先设 $y = x^{2} + 6 x + 6$ 。那么我们可以将 $x^{2} + 7 x + 6$ 和 $x^{2} + 5 x + 6$ 用 $y$ 来表示。注意：

$x^{2} + 7 x + 6 = y + x$

$x^{2} + 5 x + 6 = y + x - 2 x = y - x$

这样，我们的表达式就变成了：

$(y + x) (y - x) + x^{2}$

这看起来像一个平方差的形式，我们知道 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 。所以，

$(y + x) (y - x) = y^{2} - x^{2}$

代回到表达式中，我们有：

$y^{2} - x^{2} + x^{2} = y^{2}$

张华: 太妙了，李教授，通过您的代换，我们简化了很多。既然最后得到了 $y^{2}$ ，那我们只需把 $y$ 换回原来的 $x$ 的表达式即可。记得 $y = x^{2} + 6 x + 6$ ，所以，

$y^{2} = (x^{2} + 6 x + 6)^{2}$

这意味着整个表达式 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ 因式分解后为 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 。

李明: 非常好，张华，你理解得很透彻。为了确保我们没有遗漏，我们展开 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 来验证它是否与原始表达式匹配。不过，从我们的步骤和逻辑来看，我们已经正确地进行了因式分解。

因此，通过巧妙的配对和代换，我们成功地将原始表达式因式分解了。

为了验证我们的因式分解结果，我们可以定义原始表达式和因式分解后的表达式，然后检查它们是否相等。以下是用 Python 进行验证的代码：

python

运行这段代码，如果输出显示两个表达式相等，那么我们的因式分解就是正确的。因式分解的结果为 $(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ ，因此最终答案是：

$(x^{2} + 6 x + 6)^{2}$ 。