抛硬币游戏公平性分析

抛硬币游戏公平性分析

2026/02/02·StepFun can make mistakes, check important info.

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帮我解答下

Reason

思考过程

首先，问题是关于抛硬币游戏的公平性。游戏规则是：连续抛硬币，如果序列是“正正反”，小明赢；如果序列是“反反正”，小红赢。问游戏是否公平，以及谁赢的概率大。

每个硬币抛的时候，正面（正）和反面（反）的概率都是 0.5，且抛硬币是独立的。

我需要计算小明赢的概率和小红赢的概率，然后比较它们。

步骤 1: 定义状态和概率

抛硬币序列是随机的，每个位置正或反的概率都是 1/2。
小明赢的条件是序列出现“正正反”（即前两个正，第三个反）。
小红赢的条件是序列出现“反反正”（即第一个反，第二个反，第三个正）。

但游戏是“连续不断抛一个硬币”，序列是连续的，所以我们需要考虑在无限序列中，这些模式第一次出现的位置。但问题没有指定游戏何时结束，所以我假设我们关注序列的前三个抛掷结果，因为“正正反”和“反反正”都是三个硬币的序列。

问题说“在序列中，如果正正反，小明赢；如果反反正，小红赢”。它没有说如果前三个不满足这些，会继续抛吗？但通常在这种问题中，我们考虑序列的早期部分，或者游戏在第一个匹配模式时结束。但这里，两个模式都是三个硬币的，所以可能我们只考虑前三个抛掷。

让我仔细读：“连续不断抛一个硬币，在序列中，如果正正反，小明赢；如果反反正，小红赢”。它没有指定如果序列不是以这些开始，会发生什么。但既然游戏是基于序列中出现这些模式，我们可能需要考虑在无限序列中，模式出现的概率。

但为了简化，或许我们假设游戏只检查前三个抛掷。因为如果前三个不匹配，游戏可能继续，但问题没有说清楚。另一个方式是考虑在长期序列中，模式出现的概率，但由于序列是无限的，每个位置都可能出现模式，但我们需要第一个出现的时间。

但问题似乎更简单，可能只关注初始序列的前三个抛掷。让我检查问题：“在序列中”，但结合上下文，可能意味着当序列达到三个硬币时，检查是否符合条件。

我认为最合理的解释是：抛三个硬币，如果序列是“正正反”，小明赢；如果是“反反正”，小红赢；如果都不是，游戏可能平局或继续，但问题没有指定，所以我们可能假设只抛三次，然后决定赢家。

但问题说“连续不断抛”，所以序列可能更长。然而，对于“正正反”和“反反正”，它们都是三个硬币的模式，所以如果前三个不是这些，我们抛第四个，但第四个抛后，序列变成四个硬币，但模式是三个硬币的，所以我们需要在序列中查找子序列“正正反”或“反反正”出现的位置。

这有点复杂。或许在这种上下文中，游戏在第一个三个硬币序列匹配时结束。

但为了简单，既然问题没有指定，我假设我们只考虑前三个抛硬币的结果。如果前三个是“正正反”，小明赢；如果前三个是“反反正”，小红赢；如果都不是，比如“正正正”或“反反反”等，那么可能没有赢家，但问题问谁赢的概率大，所以我们需要概率。

但概率中，P(前三个是正正反) 和 P(前三个是反反正)，以及如果都不是，游戏可能继续，但为了比较概率，我们需要看谁在游戏中获胜的概率，这可能需要考虑序列何时结束。

另一个想法：或许“在序列中”意味着我们抛硬币直到其中一个模式出现，然后赢家决定。但两个模式长度相同，所以第一个出现的概率可以直接计算。

但为了简单，我首先计算前三个抛硬币的特定序列的概率。

每个抛硬币是独立的，P(正) = P(反) = 1/2。

所以，P(序列是正正反) = P(第一个正) * P(第二个正) * P(第三个反) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8

同样，P(序列是反反正) = P(第一个反) * P(第二个反) * P(第三个正) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8

所以，P(小明赢) = P(正正反) = 1/8

P(小红赢) = P(反反正) = 1/8

但还有其他可能的序列，比如正正正、正反反等，概率各1/8，但那些序列没有赢家，所以如果游戏只抛三次，那么P(赢家) = P(正正反) + P(反反正) = 1/8 + 1/8 = 1/4，P(无赢家) = 1 - 1/4 = 3/4，但问题没有提到平局或继续。

或许游戏是抛硬币直到其中一个模式出现。既然模式都是三个硬币，游戏会在前三抛时决定，除非前三个既不是正正反也不是反反正，但模式是三个硬币的，所以如果前三个不匹配，我们抛第四个，但第四个抛后，序列是四个硬币，我们需要检查子序列，比如位置2-4或1-3和2-4等。

这变得混乱了。让我想一个标准的方法。

在这种概率问题中，对于两个模式，我们通常计算每个模式在随机序列中第一个出现的概率。

但这里两个模式长度相同，都是三个硬币。

设模式A: 正正反

模式B: 反反正

每个位置出现模式A或B的概率都是1/8，但它们是互斥的吗？不，因为序列不能同时是正正反和反反正，所以对于固定位置，P(A) = 1/8, P(B) = 1/8, P(neither) = 6/8 = 3/4 for a given set of three tosses.

但游戏可能继续抛硬币直到其中一个模式出现在序列中。

由于序列是无限的，模式几乎必然会出现，但我们需要谁先赢，即哪个模式先出现。

但模式长度相同，所以第一个模式出现在位置1-3的概率取决于前三个抛硬币。

具体来说，如果前三个抛硬币是A或B，则游戏在第一次抛时就结束。

P(游戏在前三抛结束) = P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/8 + 1/8 = 1/4，因为A和B互斥。

如果前三抛既不是A也不是B，那么我们抛第四枚硬币，现在序列是四个抛币，我们需要检查是否在位置2-4有模式，等等。

但位置2-4的序列是第二个、第三个、第四个抛币。

所以对于位置k的序列，是第k、k+1、k+2次抛币。

游戏在第一个k使得第k-2、k-1、k次抛币组成A或B时结束，其中k>=3。

但由于模式长度相同，第一个出现的位置是某个k>=3。

为了找到P(A先出现)和P(B先出现)。

由于序列是i.i.d.，且模式长度相同，P(A先出现)应该等于P(第一个事件是A) + P(前三抛无模式且之后A先出现)，但“之后”是马尔可夫链。

一个更好的方法是考虑状态。

让我定义状态基于当前的前两个抛币，因为下一个抛币可以完成一个模式。

状态可以定义为最后两次抛币的结果，这决定了如果下一个是正面或反面会发生什么。

设状态为 (X,Y)，其中 X 和 Y 是最后两次抛币的结果，X 是倒数第二次，Y 是最近一次。

但游戏开始时，前两次抛币后，我们还没有完整的序列。

列出所有可能的状态。

由于模式是三个硬币，状态可以由最后两个硬币定义，这决定了下一个硬币如何完成模式。

定义状态 S_{xy}，其中 x 和 y 是最后两次抛币的结果，每个可以是 H（正）或 T（反）。

但游戏开始时，在两次抛币后，我们处于某个状态。

在零次或一次抛币后，我们无法组成一个模式。

所以，我们从初始状态开始。

让我定义状态：

状态 0：初始状态，还没有抛币。
抛第一次硬币后：状态 H1 或 T1，取决于结果。

但也许更好地考虑游戏结束时的吸收状态。

由于我们只关心哪个模式先出现，我们可以设置吸收状态：A 赢、B 赢，以及可能还有平局，但最终其中一个会先出现。

但在这个例子中，由于模式长度相同，并且硬币是公平的，P(A 先出现) 应该等于 P(B 先出现)，因为对称性？但模式不同，所以可能不是对称的。

模式 A：H H T

模式 B：T T H

现在，在序列中，P(H) = P(T) = 1/2。

但状态取决于最后的结果。

让我定义状态为最后两次抛币的结果，但游戏开始时，在两次抛币之后，我们处于一个状态。

设状态为 (last, current)，但“last”是上一次的抛币。

定义状态为当前最后两个硬币的值。

初始状态：在抛掷之前，没有硬币。

第一次抛掷后：我们有一个硬币，但需要两个硬币才能开始检查模式。

在两次抛掷之后，我们有两个硬币，但没有完整的模式，因为模式需要三个。

所以，在两次抛掷之后，我们处于一个状态，该状态由最后两个硬币定义，然后第三个抛掷可能完成一个模式。

列出所有两次抛掷后的可能状态。

两个抛掷后可能的序列：HH，HT，TH，TT。

每个的概率是 1/4。

现在，对于每种状态，第三个抛币可能触发一个模式。

如果当前状态是 HH（最后两次是 HH），那么如果下一个是 T，则序列是 H H T，即模式 A，小明获胜。

如果下一个是 H，则序列是 H H H，没有模式，我们继续，但最后两个是 H H（因为最后一个 H 和新的 H），所以状态保持 HH。

类似地，如果当前状态是 HT：最后两个是 H 然后 T。

如果下一个是 H，序列是 H T H，不是 A 或 B。

新的最后两个是：T 和 H，所以是状态 TH。

如果下一个是 T，序列是 H T T，不是 A 或 B。

新的最后两个是：T 和 T，所以是状态 TT。

如果当前状态是 TH：最后两个是 T 然后 H。

如果下一个是 H，序列是 T H H，不是 A 或 B。

新的最后两个是：H 和 H，状态 HH。

如果下一个是 T，序列是 T H T，不是 A 或 B。

新的最后两个是：H 和 T，状态 HT。

如果当前状态是 TT：最后两个是 T 然后 T。

如果下一个是 H，序列是 T T H，即模式 B，小红获胜。

如果下一个是 T，序列是 T T T，没有模式，最后两个是 T T，状态保持 TT。

所以，吸收状态：当模式出现时，游戏结束。

具体来说，当第三个抛币完成模式 A 或 B 时，游戏结束。

在状态图中，我们有状态：HH、HT、TH、TT，以及吸收状态 A_win、B_win。

但 A_win 和 B_win 是当模式被完成时。

从每个状态，第三个抛币会导致转换。

让我列出转换：

当前状态 | 下一个抛币 | 结果序列 | 下一个状态 | 是否获胜？

从 HH：
- 抛 T：序列 H H T → A_win（小明获胜）
- 抛 H：序列 H H H → 无获胜，下一个状态 HH
从 HT：
- 抛 H：序列 H T H → 无获胜，下一个状态 TH（最后两个是 T H）
- 抛 T：序列 H T T → 无获胜，下一个状态 TT（最后两个是 T T）
从 TH：
- 抛 H：序列 T H H → 无获胜，下一个状态 HH（最后两个是 H H）
- 抛 T：序列 T H T → 无获胜，下一个状态 HT（最后两个是 H T）
从 TT：
- 抛 H：序列 T T H → B_win（小红获胜）
- 抛 T：序列 T T T → 无获胜，下一个状态 TT

游戏可以从初始状态开始。

第一次抛币后，我们有一个硬币，但还没有最后两个。所以我们需要在两次抛币后开始。

所以，在两次抛币之后，我们处于一个随机状态：HH、HT、TH 或 TT，每个概率为 1/4。

然后，从那里开始，我们进行第三次抛币，并按照上述规则进行。

如果第三次抛币导致 A_win 或 B_win，游戏结束。

否则，我们进入下一次的状态，并继续抛币，依此类推。

现在，我们需要找到从每个状态出发，A 获胜或 B 获胜的概率。

由于我们关心的是谁先获胜，以及游戏是否公平。

设 P_s 为从状态 s 开始，A 获胜的概率。

类似地，Q_s 为从状态 s 开始，B 获胜的概率。

但游戏总是以 A 或 B 获胜而结束，因为模式最终会出现，例如，从 TT 状态，如果一直抛 T，但如果在 TT 状态后抛 H，B 获胜；如果抛 T，仍然是 TT，所以最终会抛 H 或 T，但 P(TT 后抛 H) = 1/2，所以 B 获胜。其他状态也类似。

实际上，从任何状态出发，最终都会达到 A_win 或 B_win，因为序列是随机的，模式会出现。

例如，从 HH 出发，如果一直抛 H，会停留在 HH，但永远不会获胜，但模式 H H T 还没有出现，但最终如果抛 T，A 就会获胜。由于 P(T) = 1/2 > 0，最终会抛 T，所以从 HH 出发，A 几乎必然获胜，但可能不会立即发生。

在状态 HH 中，如果抛 T，A 获胜；如果抛 H，停留在 HH，所以从 HH 开始，A 获胜的概率是 1，但时间可能很长。

B 获胜的概率：从 HH 开始，可能吗？模式 B 是 T T H，但最后两个是 H H，所以如果下一个是 T，但序列是 H H T，是 A 获胜，不是 B。如果抛 H，序列是 H H H，没有 B。所以从 HH 开始，B 不可能获胜，因为最后两个是 H，而 B 需要以 T 开头。实际上，从 HH 状态，唯一能获胜的是 A，当抛 T 时，而 B 永远不可能从该状态获胜。

类似地，从 TT 状态，只有当抛 H 时 B 才能获胜，而 A 不可能获胜。

从 HT 或 TH 状态，两者都可能发生，但概率不同。

让我定义每个状态的获胜概率。

设 A_s 为从状态 s 开始，A 获胜的概率。

B_s 为从状态 s 开始，B 获胜的概率。

状态：HH，HT，TH，TT

从 HH：

以概率 1/2，抛 T，A 获胜，所以 A = 1
以概率 1/2，抛 H，转到 HH（状态不变）

如果抛 H，我们回到 HH，所以从 HH 开始，A 获胜的概率是：以 1/2 的概率立即获胜，或者以 1/2 的概率回到起点，因此 A_HH = (1/2)*1 + (1/2)*A_HH

所以 A_HH = 1/2 + (1/2) A_HH

然后 A_HH - (1/2)A_HH = 1/2 => (1/2)A_HH = 1/2 => A_HH = 1

类似地，B_HH = 0，因为 A 总是获胜。

从 TT：

以概率 1/2，抛 H，B 获胜，所以 B = 1
以概率 1/2，抛 T，转到 TT

所以 B_TT = (1/2)*1 + (1/2) B_TT => B_TT = 1/2 + (1/2)B_TT => (1/2)B_TT = 1/2 => B_TT = 1

A_TT = 0

现在，从 HT：

以概率 1/2，抛 H：序列 H T H，无获胜，转到状态 TH
以概率 1/2，抛 T：序列 H T T，无获胜，转到状态 TT

所以，从 HT 开始，A 获胜的概率：A_HT = P(转到 TH) * A_TH + P(转到 TT) * A_TT

但 A_TT = 0，所以 A_HT = (1/2) A_TH + (1/2) * 0 = (1/2) A_TH

类似地，B_HT = P(转到 TH) * B_TH + P(转到 TT) * B_TT = (1/2) B_TH + (1/2) * 1

因为 B_TT = 1

现在，从 TH：

以概率 1/2，抛 H：序列 T H H，无获胜，转到状态 HH
以概率 1/2，抛 T：序列 T H T，无获胜，转到状态 HT

所以 A_TH = P(转到 HH) * A_HH + P(转到 HT) * A_HT = (1/2) * 1 + (1/2) A_HT

因为 A_HH = 1

B_TH = P(转到 HH) * B_HH + P(转到 HT) * B_HT = (1/2) * 0 + (1/2) B_HT = (1/2) B_HT

现在，我们有方程。

首先，A_HT = (1/2) A_TH ...(1)

A_TH = (1/2)(1) + (1/2) A_HT = 1/2 + (1/2) A_HT ...(2)

B_HT = (1/2) B_TH + (1/2)(1) ...(3)

B_TH = (1/2) B_HT ...(4)

我们需要解决 A 和 B 的概率。

但 A 和 B 是相关的，不过我们可以分别求解。

此外，对于每个状态，A_s + B_s 可能不是 1，因为可能不会立即获胜，但最终会获胜。

从 HT 开始，A_HT + B_HT 应该为 1，因为最终 A 或 B 会获胜。

TH 也是类似的情况。

从 HT 或 TH 开始，游戏可能会回到 HT 或进入其他状态，但最终会结束。

现在，解这些方程。

首先，对于 A：

从(1)：A_HT = (1/2) A_TH

从(2)：A_TH = 1/2 + (1/2) A_HT

将(1)代入(2)：

A_TH = 1/2 + (1/2)(1/2 A_TH) = 1/2 + (1/4) A_TH

所以 A_TH - (1/4)A_TH = 1/2

(3/4) A_TH = 1/2

A_TH = (1/2) / (3/4) = (1/2)*(4/3) = 4/6 = 2/3

然后从(1)：A_HT = (1/2)(2/3) = 1/3

现在对于 B：

从(4)：B_TH = (1/2) B_HT

从(3)：B_HT = (1/2) B_TH + 1/2

将(4)代入(3)：

B_HT = (1/2)(1/2 B_HT) + 1/2 = (1/4) B_HT + 1/2

B_HT - (1/4)B_HT = 1/2

(3/4) B_HT = 1/2

B_HT = (1/2) / (3/4) = (1/2)*(4/3) = 4/6 = 2/3

然后从(4)：B_TH = (1/2)(2/3) = 1/3

现在，检查 A_HT + B_HT = 1/3 + 2/3 = 1，正确。

A_TH + B_TH = 2/3 + 1/3 = 1，也好。

现在，回到游戏。

游戏在两次抛掷后开始，我们处于一个状态：HH、HT、TH 或 TT，每个概率为 1/4。

然后，从那里，我们进行抛掷，直到有人获胜。

A 获胜的总概率（小明）：从初始状态开始，A 获胜的概率。

由于我们在两次抛掷后以相等概率处于任意状态，因此：

P(A 赢) = P(状态 HH) * A_HH + P(状态 HT) * A_HT + P(状态 TH) * A_TH + P(状态 TT) * A_TT

= (1/4)(1) + (1/4)(1/3) + (1/4)(2/3) + (1/4)(0)

= (1/4) + (1/4)(1/3) + (1/4)(2/3) + 0

计算：第一项 1/4 = 3/12

第二项 (1/4)(1/3) = 1/12

第三项 (1/4)(2/3) = 2/12

总和：3/12 + 1/12 + 2/12 = 6/12 = 1/2

同样地，P(B 赢) = P(状态 HH) * B_HH + P(状态 HT) * B_HT + P(状态 TH) * B_TH + P(状态 TT) * B_TT

= (1/4)(0) + (1/4)(2/3) + (1/4)(1/3) + (1/4)(1)

= 0 + (1/4)(2/3) = 2/12 + (1/4)(1/3) = 1/12 + (1/4)(1) = 3/12

所以 2/12 + 1/12 + 3/12 = 6/12 = 1/2

因此，P(小明赢) = 1/2，P(小红赢) = 1/2，所以游戏是公平的。

但之前我考虑前三个抛掷时，P(A) = 1/8，P(B) = 1/8，但那是条件在前三个抛掷下的概率，如果游戏可能更长，则不同。

但在这个完整游戏中，P(A 赢) = 1/2，P(B 赢) = 1/2。

但问题是要看谁赢的概率更大，但这里是相等的。

但在这个计算中，我们考虑了游戏在第一次出现模式时结束，但模式可能出现在不同的位置。

在吸收状态下，当模式完成时，游戏结束。

在状态 HH，如果抛 T，A 在位置 3 获胜。

如果抛 H，停留在 HH，然后最终当抛 T 时，在某个位置 k 获胜，但模式 H H T 出现在位置 k-2, k-1, k，其中第 k 次是 T。

但无论如何，从 HH 开始，A 总是获胜。

类似地，从 TT 开始，B 总是获胜。

从 HT 或 TH 开始，概率各为 1/2。

但由于初始状态是等概率的，总体 P(A 赢) = 1/2。

但让我用另一种方法确认。

考虑前三个抛掷。

P(前三次是 H H T) = 1/8，A 赢。

P(前三次是 T T H) = 1/8，B 赢。

P(前三次是其他情况)：概率 6/8 = 3/4。

如果前三个是 H H H，概率 1/8，那么最后两个是 H H，所以状态为 HH，从那里开始，A 以概率 1 获胜。

类似地，如果前三个是 T T T，概率 1/8，状态为 TT，B 以概率 1 获胜。

如果前三个是 H T H，概率 1/8，最后两个是 T H，状态为 TH，从那里开始，A 赢的概率是 2/3，B 是 1/3。

序列：H T H，最后两个是 T 和 H，所以状态是 TH。

类似地，如果前三个是 H T T，概率 1/8，最后两个是 T T，状态是 TT，B 以概率 1 获胜。

如果前三个是 T H H，概率 1/8，最后两个是 H H，状态是 HH，A 以概率 1 获胜。

如果前三个是 T H T，概率 1/8，最后两个是 H T，状态是 HT，A 赢的概率是 1/3，B 是 2/3。

但前三个是 T T H 时，B 赢，所以 P(A 赢) 为 0。

类似地，前三个是 T T T，状态为 TT，P(A 赢) = 0。

现在，列出：

如果前三个是 H H T：A 赢，概率 1/8
前三个是 H H H：概率 1/8，然后从 HH 开始，P(A 赢) = 1
前三个是 H T H：概率 1/8，状态为 TH，P(A 赢) = A_TH = 2/3
前三个是 H T T：概率 1/8，状态为 TT，P(A 赢) = 0
前三个是 T H H：概率 1/8，状态为 HH，P(A 赢) = 1
前三个是 T H T：概率 1/8，状态为 HT，P(A 赢) = A_HT = 1/3
前三个是 T T H：概率 1/8，B 赢，P(A 赢) = 0
前三个是 T T T：概率 1/8，状态为 TT，P(A 赢) = 0

所以 P(A 赢) = (1/8)(1) + (1/8)(1) + (1/8)(2/3) + (1/8)(0) + (1/8)(1) + (1/8)(1/3) + (1/8)(0) + (1/8)(0)

计算：项：

(1/8) * 1 = 1/8

(1/8) * (2/3) = 2/24 = 1/12

(1/8) * 0 = 0

(1/8) * 1 = 1/8

(1/8) * (1/3) = 1/24

(1/8) * 0 = 0

现在，1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2？等等，不对：

列出所有非零项：

HHT：1/8
HHH：1/8
HTH：2/3 * 1/8 = 2/24 = 1/12
THH：1/8
THT：1/3 * 1/8 = 1/24

现在，1/8 = 3/24

1/8 = 3/24

1/12 = 2/24

1/8 = 3/24

1/24 = 1/24

总和：3/24 + 3/24 + 2/24 + 3/24 + 1/24 = (3+3+2+3+1)/24 = 12/24 = 1/2

是的，P(A 赢) = 1/2

类似地，P(B 赢) 应该是对称的。

所以，总体上，P(小明赢) = P(A 赢) = 1/2，P(小红赢) = P(B 赢) = 1/2。

因此，游戏是公平的，两人获胜的概率相同。

但在这个问题中，小明赢是“正正反”，小红赢是“反反正”。

在序列中，位置可能重要，但在这个计算中，是相等的。

也许题主是打算只考虑前三个抛硬币，但那样的话，P(小明赢) = P(正正反) = 1/8，P(小红赢) = P(反反正) = 1/8，但P(没有赢家) = 6/8，所以如果游戏可能平局，那就不公平，但问题没有说明平局情况。

但题目中说“游戏公平吗？谁赢的几率大？”所以可能我们需要考虑游戏会进行直到有人赢。

在那种情况下，如上所述，是公平的。

由于模式长度相同，并且硬币是公平的，但模式不同，不过在这个例子中，由于初始状态对称，结果是公平的。

注意，对于模式 H H T 和 T T H，在公平硬币下，每个模式第一次出现的概率是相同的，但一般来说，对于两个模式，如果它们的概率相同，但重叠可能会影响，但这里模式长度相同，没有重叠，所以 P(第一个模式出现) 应该是相同的。

但在这个例子中，从计算来看，是相等的。

所以，我认为游戏是公平的，P(小明赢) = P(小红赢) = 1/2。

因此，答案是游戏是公平的，两人获胜的概率相同。

但题目是中文的，不过我想我可以用英文或中文回答。

用户要求“只用一种语言输出”，并且“输出语言的优先级排序：Query中明确提到某一种语言（立刻使用明确提到的语言输出）> > Query占比最多的语言 > 默认兜底用中文回答”

在查询中，是中文的，所以可能输出中文。

但用户说“帮我解答下”，所以我应该输出答案。

所以，最终答案。

这个抛硬币游戏的规则是：小明在序列出现“正正反”时获胜，小红在序列出现“反反正”时获胜。游戏会连续抛硬币，直到其中一个模式首次出现为止。

通过分析，每个硬币抛掷的结果是独立的，且正面（正）和反面（反）的概率各为 $\frac{1}{2}$ 。定义状态基于最后两次抛掷的结果（状态包括 HH、HT、TH、TT），并计算从每个状态开始，小明（A）或小红（B）获胜的概率。

从状态 HH 开始：A 获胜概率为 1（因为最终会出现“正正反”），B 获胜概率为 0。
从状态 TT 开始：B 获胜概率为 1（因为最终会出现“反反正”），A 获胜概率为 0。
从状态 HT 开始：A 获胜概率为 $\frac{1}{3}$ ，B 获胜概率为 $\frac{2}{3}$ 。
从状态 TH 开始：A 获胜概率为 $\frac{2}{3}$ ，B 获胜概率为 $\frac{1}{3}$ .

游戏在两次抛掷后开始，初始状态（HH、HT、TH、TT）各以概率 $\frac{1}{4}$ 出现。因此，小明获胜的整体概率为：

$P (小明赢) = (\frac{1}{4} \times 1) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{4} \times 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} + 0 = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} .$

小红获胜的整体概率为：

$P (小红赢) = (\frac{1}{4} \times 0) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} \times 1) = 0 + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} .$

因此，游戏是公平的，小明和小红获胜的概率相同，各为 $\frac{1}{2}$ 。